5.2: k y relaciones de dispersión

Hasta el momento, la separación de equilibrio entre los bloques\(a\),, no ha aparecido en el análisis. Todo lo que hemos dicho hasta ahora sería cierto aunque los resortes tuvieran longitudes aleatorias, siempre y cuando todas las constantes de resorte fueran las mismas. En tal caso, la “invarianza de la traducción espacial” que utilizamos para resolver el problema sería un dispositivo puramente matemático, llevando el sistema original a un sistema diferente con el mismo tipo de pequeñas oscilaciones. Por lo general, sin embargo, en aplicaciones físicas, la invarianza de la traslación espacial es real y todas las distancias entre bloques son las mismas. Entonces es muy útil etiquetar los bloques por su posición de equilibrio. Tomar\(x = 0\) para ser la posición de la pared izquierda (o el bloque 0). Entonces el primer bloque está en\(x = a\), el segundo en\(x = 2a\), etc., como se muestra en la Figura\( 5.3\). Podemos describir el desplazamiento de todos los bloques por una función\(\psi(x, t)\), donde\(\psi(ja, t)\) está el desplazamiento del bloque\(j\) th (el que tiene posición de equilibrio\(ja\)). Por supuesto, esta función no está muy bien definida porque solo nos importan sus valores en un conjunto discreto de puntos. Sin embargo, como veremos a continuación cuando discutamos la cuerda con cuentas, nos ayudará a entender lo que está pasando si dibujamos una curva suave a través de estos puntos.

Figura\( 5.3\): Los péndulos acoplados con bloques etiquetados por sus posiciones de equilibrio.

De la misma manera, podemos describir un modo normal del sistema mostrado en la Figura\( 5.1\) (o el sistema infinito de la Figura\( 5.2\)) como una función\(A(x)\) donde\[A(j a)=A_{j} .\]

En este lenguaje, la invarianza de la traducción espacial, (5.11), se convierte\[A(x+a)=\beta A(x) .\]

Es convencional escribir la constante\(\beta\) como exponencial\[\beta=e^{i k a} .\]

Cualquier número complejo distinto de cero puede escribirse como exponencial de esta manera. De hecho, podemos cambiar\(k\) por un múltiplo de\(2 \pi / a\) sin cambiar\(\beta\), así podemos elegir la parte real de\(k\) estar entre\(- \pi / a\) y\(\pi / a\)\[-\frac{\pi}{a}<\operatorname{Re} k \leq \frac{\pi}{a} .\]

Si ponemos (5.13) y (5.27) en (5.25), obtenemos\[A^{\beta}(j a)=e^{i k j a} .\]

Esto sugiere que tomamos la función que describe el modo normal correspondiente a (5.27) para ser\[A(x)=e^{i k x} .\]

El modo está determinado por el número\(k\) satisfactorio (5.28).

El parámetro\(k\) (cuando es real) se llama el número de onda angular del modo. Mide la ondulación del modo normal, en radianes por unidad de distancia. La “longitud de onda” del modo es la longitud más pequeña,\(\lambda\) (la letra griega lambda), de tal manera que un cambio de\(x\) por\(\lambda\) deja el modo sin cambios,\[A(x+\lambda)=A(x) .\]

En otras palabras, la longitud de onda es la longitud de un ciclo completo de la onda,\(2 \pi\) radianes. Así, la longitud de onda\(\lambda\), y el número de onda angular\(k\), están inversamente relacionados, con un factor de\(2 \pi\),\[\lambda=\frac{2 \pi}{k} \text { . }\]

En este lenguaje, los modos normales del sistema mostrado en la Figura\( 5.1\) son descritos por las funciones\[A^{n}(x)=\sin k x ,\]

con\[k=\frac{n \pi}{L} ,\]

donde\(L = (N +1)a\) es la longitud total del sistema. Lo importante de (5.33) y (5.34) es que no dependen de los detalles del sistema. Ni siquiera dependen de ellos\(N\). Los modos normales siempre tienen la misma forma, cuando el sistema tiene longitud\(L\). Por supuesto, a medida que\(N\) aumenta, aumenta el número de modos. Para L fija, esto sucede porque\(a = L/(N + 1)\) disminuye a medida que\(N\) aumenta y así aumenta el rango permitido de\(k\) (recuerde (5.28)).

Las formas (5.33) para los modos normales del sistema invariante de traslación espacial se denominan “ondas estacionarias”. Veremos con más detalle a continuación por qué la palabra “ola” es apropiada. La palabra “de pie” se refiere al hecho de que mientras las olas están cambiando con el tiempo, no parecen estar moviéndose en la\(x\) dirección, a diferencia de las “olas viajeras” que discutiremos en el capítulo 8 y más allá.

Relación de Dispersión

En términos del número de onda angular\(k\), la frecuencia del modo es (de (5.16) y (5.27))\[\omega^{2}=2 B-2 C \cos k a .\]

Tal relación entre\(k\) (en realidad\(k^{2}\) porque\(\cos k a\) es una función par de\(k\)) y\(\omega^{2}\) se llama una “relación de dispersión” (más adelante aprenderemos por qué el nombre es apropiado). La forma específica (5.35) es una característica del sistema infinito particular de la Figura\( 5.2\). Depende de las masas y constantes de resorte y longitudes y separaciones del péndulo.

Pero no depende de las condiciones limítrofes. En efecto, veremos a continuación que (5.35) será útil para condiciones de contorno muy diferentes a las del sistema mostrado en la Figura\( 5.1\).

La relación de dispersión depende únicamente de la física del sistema infinito.

En efecto, es sólo a través de la relación de dispersión que los detalles de la física del sistema infinito entran en el problema. La forma de los modos,\(e^{\pm i k x}\), ya está determinada por las propiedades generales de linealidad e invarianza de la traducción espacial.

Llamaremos (5.35) a la relación de dispersión para péndulos acoplados. Le hemos dado un nombre especial porque volveremos a él muchas veces en lo que sigue. La física esencial es que existen dos fuentes de fuerza restauradora: la gravedad, que tiende a mantener todas las masas en equilibrio; y los resortes de acoplamiento, que tienden a mantener fijas las separaciones entre las masas, pero no se ven afectadas si todas las masas son desplazadas por la misma distancia. En (5.35), las constantes siempre satisfacen\(B \geq C\), como se ve en (5.6).

El límite\(B = C\) es especialmente interesante. Esto sucede cuando no hay gravedad (o\(\ell \rightarrow \infty\)). La relación de dispersión es entonces\[\omega^{2}=2 B(1-\cos k a)=4 B \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

Tenga en cuenta que el modo con\(k = 0\) ahora tiene frecuencia cero, ya que todas las masas pueden ser desplazadas a la vez sin fuerza restauradora. ²

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² Ver apéndice\(C\).