9.2: Índice de refracción

La materia se compone de cargas eléctricas. Esto es algo así como un milagro. No podemos entenderlo sin la mecánica cuántica. En un mundo puramente clásico, no habría átomos ni moléculas estables. Debido a la mecánica cuántica, el mundo no colapsa y podemos construir trozos estables de materia compuestos por igual número de cargas positivas y negativas. En un pedazo de materia en equilibrio, la carga y la corriente están muy cerca de cero cuando se promedian sobre cualquier región lisa grande. Sin embargo, ante la presencia de campos eléctricos y magnéticos externos, como los producidos por una onda electromagnética, las cargas a partir de las cuales se construye la materia pueden moverse. Esto da lugar a lo que se llaman cargas y corrientes “atadas”, distinguibles de las cargas “libres” que no forman parte de la materia misma. Estas cargas y corrientes ligadas afectan la relación entre los campos eléctricos y magnéticos. En un material homogéneo e isotrópico, que es una forma elegante de describir un material que no tiene ningún eje preferido, los efectos de la materia (promediados sobre grandes regiones) pueden incorporarse reemplazando las constantes\(\epsilon_{0}\) y\(\mu_{0}\) por la permitividad y permeabilidad,\(\epsilon\) y \(\mu\). Luego, las ecuaciones de Maxwell para ondas electromagnéticas, (8.35) - (8.37), se modifican a ¹\ [
\ begin {recopiladas}\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial E_ {x}} {\ parcial y} =-\ frac {\ parcial B_ {z}} {\ parcial t},\ quad\ frac {\ parcial\ E_ {z}} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ z parcial} =-\ frac {\ parcial B_ {x}} {\ t parcial},\
\ frac {\ parcial E_ {x}} {\ z parcial} -\ frac {\ parcial E_ {z}} {\ parcial x} =-\ frac {\ parcial B_ {y}} {\ t parcial},
\ final {reunidos}\]

\ [\ comenzar {reunido}
\ frac {\ parcial B_ {y}} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial B_ {x}} {\ parcial y} =\ mu\ épsilon\ frac {\ parcial E_ {z}} {\ parcial t},\ quad\ frac {\ parcial B_ {z}} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial _ {y}} {\ z parcial} =\ mu\ épsilon\ frac {\ parcial E_ {x}} {\ t parcial},\
\ frac {\ parcial B_ {x}} {\ z parcial} -\ frac {\ parcial B_ {z}} {\ parcial x} =\ mu\ épsilon\ frac {\ parcial E_ {y}} {\ parcial t},
\ final {reunido}\]

\[\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0 .\]

Ahora (8.41) - (8.47) están satisfechos con las sustituciones correspondientes,\[\epsilon_{0} \rightarrow \epsilon, \quad \mu_{0} \rightarrow \mu .\]

En particular, la relación de dispersión, (8.47), se convierte\[\omega^{2}=\frac{1}{\mu \epsilon} k^{2},=\frac{\mu_{0} \epsilon_{0}}{\mu \epsilon} c^{2} k^{2} .\]

así que las ondas electromagnéticas se propagan con velocidad\[v=\frac{\omega}{k}=c \sqrt{\frac{\mu_{0} \epsilon_{0}}{\mu \epsilon}} ,\]

y (8.48) se convierte\[\beta_{y}^{\pm}=\pm \sqrt{\mu \epsilon} \varepsilon_{x}^{\pm}, \quad \beta_{x}^{\pm}=\mp \sqrt{\mu \epsilon} \varepsilon_{y}^{\pm} .\]

El factor\[n=\sqrt{\frac{\mu \epsilon}{\mu_{0} \epsilon_{0}}}\]

se llama el índice de refracción del material. \(1 / n\)es la relación entre la velocidad de la luz en el material y la velocidad de la luz en el vacío. En términos de\(n\), podemos escribir (9.52) como\[\beta_{y}^{\pm}=\pm \frac{n}{c} \varepsilon_{x}^{\pm}, \quad \beta_{x}^{\pm}=\mp \frac{n}{c} \varepsilon_{y}^{\pm} .\]

Tenga en cuenta también que podemos reescribir (9.50) en la siguiente forma útil:\[k=n \frac{\omega}{c} .\]

Para frecuencia fija, el número de onda es proporcional al índice de refracción. Para la mayoría de los materiales transparentes,\(\mu\) está muy cerca de 1, y puede ser ignorado. Pero\(\epsilon\) puede ser muy diferente a 1, y a menudo es bastante importante. Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio ordinario es de aproximadamente 1.5 (varía ligeramente con la frecuencia, pero discutiremos las consecuencias interesantes y familiares de esto más adelante, cuando tratemos las olas en tres dimensiones).

Reflexión desde un límite dieléctrico

Consideremos ahora una onda plana en la\(+ z\) dirección en un universo que está lleno de un material dieléctrico con índice de refracción\(n=\sqrt{\epsilon / \epsilon_{0}}\), para\(z < 0\) y lleno de otro material dieléctrico con índice de refracción\(n^{\prime}=\sqrt{\epsilon^{\prime} / \epsilon_{0}}\), para\(z > 0\). El límite entre los dos dieléctricos, el plano\(z = 0\), es análogo al límite entre dos regiones de la cuerda en la Figura\( 9.1\). Por lo tanto, esperaríamos alguna reflexión de esta superficie.

Debido a que el campo eléctrico en una onda electromagnética plana es perpendicular a su dirección de movimiento, sabemos que en este caso que está en el\(y\) plano\(x\) -. No importa en qué dirección apunte en el plano el campo eléctrico de nuestra onda de\(y\) avión entrante.\(x\) Eso queda claro por la simetría. El sistema se ve igual si lo giramos alrededor del\(z\) eje, así siempre podemos rotar hasta que nuestro\(\vec{e}_{+}\) vector esté apuntando en alguna dirección conveniente, digamos la\(x\) dirección. Es entonces bastante obvio que las ondas reflejadas y transmitidas también tendrán sus campos eléctricos en la\(\pm x\) dirección. En realidad, podemos convertir esto en un argumento de simetría también. Si reflejamos el sistema en el\(x\)\(z\) plano, tanto la onda entrante como el dieléctrico no cambian, pero cualquier\(y\) componente de las ondas transmitidas o reflejadas cambiaría de signo. Así estos componentes deben desaparecer, por simetría. Los campos magnéticos funcionan de otra manera, debido al producto cruzado de los vectores en su definición. Así podemos escribir\ [\ begin {alineado}
E_ {x} (z, t) =A e^ {i (k z-\ omega t)} +R A e^ {i (-k z-\ omega t)} &\ text {for} z<0,\\
B_ {y} (z, t) =\ frac {n} {c} A e^ {i (k z-\ omega t)} -\ frac {n} {c} R A e^ {i (-k z-\ omega t)}
\ final {alineado}\]

y\ [\ begin {alineado}
E_ {x} (z, t) =\ tau A e^ {i (k z-\ omega t)} &\\
B_ {y} (z, t) &=\ frac {n^ {\ prime}} {c}\ tau A e^ {i (k z-\ omega t)}
\ end {alineado}\ quad\ texto {para} z>0,\]

donde hemos continuado nuestra convención de llamar a la amplitud de la onda entrante\(A\). Aquí,\(A\) cuenta con unidades de campo eléctrico. En (9.56) y (9.57), hemos utilizado (9.54) para obtener el\(B\) campo del\(E\) campo.

Para calcular\(R\) y\(\tau\), necesitamos las condiciones de contorno en\(z = 0\). Para ello volvemos a Maxwell. La única manera de obtener una discontinuidad en el campo eléctrico es tener una hoja de carga. En un dieléctrico, la carga se acumula en el límite solo si hay una polarización perpendicular al límite. En este caso, los campos eléctricos, y por lo tanto las polarizaciones, son paralelos al límite, y así el\(E\) campo es continuo en\(z = 0\). La única manera de obtener una discontinuidad del campo magnético,\(B\), es tener una hoja de corriente. Si no\(\mu\) fueran iguales a 1 en uno de los materiales, entonces tendríamos una magnetización distinta de cero, y tendríamos que preocuparnos por las láminas actuales en el límite. Sin embargo, debido a que estos son solo dieléctricos, y\(\mu = 1\) en ambos, no hay magnetización y el\(B\) campo es continuo en\(z = 0\) también. Así podemos leer de inmediato las condiciones de límite:\[1+R=\tau, \quad n(1-R)=n^{\prime} \tau .\]

Debido a (9.55), la condición de límite (9.58) es equivalente a\[1+R=\tau, \quad k(1-R)=k^{\prime} \tau ,\]

que se ve exactamente como (9.9) y (9.10). Simplemente podemos hacernos cargo de los resultados de (9.11),\[\tau=\frac{2}{1+k^{\prime} / k}, \quad R=\frac{1-k^{\prime} / k}{1+k^{\prime} / k}\]

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¹ Véase Purcell, capítulo 10.