9.4: Lista de verificación del capítulo

Ahora deberías ser capaz de:

1. Analizar problemas de dispersión imponiendo condiciones de límite y calculando coeficientes de reflexión y transmisión;
2. Identificar una ola con algún reflejo, y diferenciarla de una onda pura itinerante o estacionaria;
3. Comprobar la conservación de energía en problemas de dispersión;
4. Analizar ondas planas electromagnéticas en un dieléctrico, y la reflexión desde un límite dieléctrico;
5. *Utilice matrices de transferencia para simplificar el análisis de dispersión desde más de un límite.

Problemas

9.1.

Arriba se muestra el límite entre dos sistemas semi-infinitos. A la izquierda, hay bloques idénticos de masa\(m\). A la derecha, hay bloques idénticos de masa\(M\). Están conectados como se muestra por resortes idénticos sin masa con constante de resorte\(K\), de tal manera que la separación de equilibrio entre bloques vecinos es\(a\). Considera el reflejo de una onda longitudinal viajera desde el límite entre estas dos regiones. Es decir, supongamos que en la región I hay una onda incidente de amplitud\(A\) viajando hacia la derecha y una onda reflejada viajando hacia la izquierda. En una notación compleja, el desplazamiento de la masa con posición de equilibrio\(x\) es\[\psi(x, l)=A e^{-i(\omega t-k x)}+R A e^{-i(\omega t+k x)}\]

para\(x \leq a\). ¿Cuál es la relación entre\(\omega\) y\(k\)?

En la región II, solo hay una onda transmitida:\[\psi(x, l)=A e^{-i(\omega t-k x)}+R A e^{-i(\omega t+k x)}\]

para\(x \geq 0\). ¿Cuál es la relación entre\(\omega\) y\(k^{\prime}\)? Encuentre las condiciones de contorno adecuadas que le permitan relacionarse\(\psi(x,t)\) en las dos regiones y resolver para\(R\) (no se moleste en simplificar el número complejo). Verifique su resultado tomando el límite de\(a\),\(m\) y\(M\) yendo a cero con\(m / a\) y\(M / a\) fijo y comparando con un sistema continuo apropiado.

9.2. Una línea infinita de péndulos acoplados soporta ondas viajeras, pero no tiene modos normales de onda estacionaria en los que el desplazamiento de los péndulos va a cero en el infinito. Considere, sin embargo, el sistema que se muestra a continuación:

Aquí el bloque 0 es libre de deslizarse longitudinalmente sin fuerza de restauración gravitacional, solo el acoplamiento debido a los resortes. Si los bloques tienen masa\(M\), la constante elástica de los resortes\(K\), la separación entre bloques vecinos es\(a\), y los péndulos tienen longitud\(\ell\), encuentra la frecuencia del modo normal de onda estacionaria del sistema en el que los desplazamientos son\(A e^{-\kappa x}\) para\(x \geq 0\) y \(A e^{\kappa x}\)para\(x \leq 0\). Pista: Considere el subsistema,\(-a \leq x \leq a\), como parte de un sistema infinito con condiciones de límite adecuadas. Entonces puedes obtener la respuesta directamente de la relación de dispersión.

9.3.

Considera una cuerda con densidad de masa lineal\(\rho\), dividida en dos piezas. Las dos mitades están unidas a un anillo sin masa que se desliza verticalmente sin fricción sobre una varilla en\(x = 0\). Una de las dos mitades se estira en\(x\) dirección negativa con tensión\(T\). El otro se estira en la\(x\) dirección positiva con tensión\(T^{\prime}\). Tenga en cuenta que la varilla vertical es necesaria para equilibrar las fuerzas horizontales sobre el anillo sin masa de las dos cuerdas con diferentes tensiones.

Supongamos que una ola viajera entra desde la\(x\) dirección negativa. Entonces el desplazamiento de las cadenas en las dos regiones es\ [\ begin {reunió}
\ psi (x, t) =A e^ {i k x} e^ {-i\ omega t} +R A e^ {-i k^ {\ prime} x} e^ {-i\ omega^ {\ prime} t}\ text {for} x\ leq 0\
\ psi (x, t) =\ tau e^ {i k^ {\ prime\ prime} x} e^ {-i\ omega^ {\ prime\ prime} t}\ texto {para} x \ geq 0.
\ end {reunido}\]

1. Encuentra k, k0, ω0, k00 y ω00 en términos de ω, T, T0 y ρ. Pista — ¡esto es fácil!
2. Anote las dos condiciones de contorno en x = 0 y encuentre R y τ.

9.4. Considera las ondas viajeras en un sistema infinito, parte del cual se muestra a continuación, para el movimiento longitudinal (horizontal) de los bloques.

Todos los bloques tienen masa\(m\), excepto el bloque 0 que es sin masa. Los resortes son sin masa y tienen constante de resorte\(K\). La separación entre bloques vecinos es\(a\). A la izquierda del bloque 0, que tomaremos para estar en\(x = 0\), hay una onda entrante y una reflejada, de manera que el desplazamiento longitudinal de los bloques para\(x \leq 0\) tiene la forma\[A e^{i k x-i \omega t}+R A e^{-i k x-i \omega t} .\]

A la derecha del bloque sin masa, hay una onda transmitida, de manera que el desplazamiento longitudinal de los bloques para\(x \geq 0\) tiene la forma\[T A e^{i k x-i \omega t} .\]

\(\omega\)y\(k\) están relacionados por la relación de dispersión\[\omega^{2}=\frac{4 K}{m} \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

1. Explicar la física de las condiciones de contorno en\(x = 0\).
2. Encontrar\(R\) y\(T\).

9.5. Considere un sistema semi-infinito de dos tipos de cuerdas masivas con diferentes densidades, que se muestran a continuación:

La densidad de la cadena en región\(I\) es\(\rho\) y en región\(II\) es\(\rho^{\prime}\). La tensión en ambas cuerdas es\(T\). Supongamos que el extremo at\(x = −L\) se hace oscilar en la dirección transversal con desplazamiento\(\chi \sin \omega t\). Esto produce una onda saliente (moviéndose hacia la derecha) en\(II\) una región sin onda entrante. Supongamos que\(\omega=\frac{\pi}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\rho}}\). Encuentra el desplazamiento en el punto\(x = 0\) en función del tiempo.

9.6. Si está haciendo un problema de reflexión y transmisión que involucra varias regiones diferentes, y por lo tanto requiere varias condiciones de límite, la matriz de transferencia es muy útil. Esto lo vio en el análisis de la dispersión de una película delgada.

Su asignación de computadora es extender este análisis para incorporar\(2 \pi\) tales condiciones de límite donde n es algún entero grande. En particular, considere una cadena continua con número de onda\(k_{2}\) para\(L \leq x \leq 2 L, 3 L \leq x \leq 4 L\), y\(\cdots\)\((2 n-1) L \leq x \leq 2 n L\), y\(k_{1}\) en otros lugares.

Figura\( 9.11\):\(n = 3\).

Tomar\(k_{1} = k\) y\(k_{2} = 2k\). Calcular la amplitud para la transmisión de una onda entrante en este sistema en función\(L\) de hacer la multiplicación apropiada de\(2n\) matrices. Para ello, debes programar tu computadora para multiplicar matrices complejas. Organiza tu programa de manera iterativa, para que puedas cambiar n fácilmente. Esto te permitirá comenzar con pequeños\(n\) e ir a más grandes\(n\) solo cuando estés seguro de que el programa está funcionando.

Si es posible, debe presentar los resultados en forma de una gráfica del valor absoluto del coeficiente de transmisión versus\(kL\), para\(0 \leq L \leq \pi / 2 k\). A medida que vas a lo más alto\(n\), sucede algo interesante. El coeficiente de transmisión cae casi a cero en una región de\(L\) valores. Incluso si no se puede producir una gráfica, debería poder encontrar el rango\(L\) para el cual la transmisión va a cero a medida que\(n\) se vuelve grande.

Pista: Para\(n = 3\), el resultado debe parecerse a la gráfica de la Figura\( 9.11\).