1.2: Coordenadas Minkowski

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Objetivos de aprendizaje

Definir coordenadas de Minkowski
Construir coordenadas de Minkowski en papel cuadriculado

A menudo es conveniente nombrar puntos en el espacio-tiempo usando coordenadas, y un tipo particular de nomenclatura, elegido por Einstein y Minkowski, es el predeterminado en la relatividad especial. Me referiré a las coordenadas de este sistema como coordenadas de Minkowski, y son lo que tengo en mente a lo largo de este libro cuando uso letras como\(t\) y\(x\) (o variaciones como\(x_0\)\(t_0\),, etc.) sin mayor explicación. Para definir las coordenadas de Minkowski en\(1 + 1\) dimensiones, necesitamos elegir:

Un acontecimiento que consideramos el origen,\((t,x) = (0,0)\)
Un observador-vector\(o\)
Un lado de la línea mundial del observador que llamaremos el\(x\) lado positivo, y dibujaremos a la derecha en diagramas.

Se requiere que el observador sea inercial, de modo que al hacer copias repetidas\(o\) y colocarlas punta a cola, obtengamos una cadena que se encuentra en la parte superior de la línea mundial del observador y representa garrapatas en el reloj del observador.

Minkowski coordina usar unidades con\(c = 1\). De manera explícita, definimos el vector único\(s\) que es ortogonal a\(o\), apunta en la dirección positiva y tiene una longitud de una marca de reloj. En términos prácticos, la ortogonalidad podría definirse por la sincronización de Einstein (ejemplo 1.1.4), y la longitud disponiendo que un eco de radar viaje a la punta de\(s\) y hacia atrás en dos ticks.

higo 1.2.1.png — Figura\(\PageIndex{1}\): Hermann Minkowski (18641909).

Ahora construimos una celosía de papel gráfico, figura\(\PageIndex{2}\), repitiendo los vectores\(o\) y \(s\). Esta cuadrícula define un nombre\((t,x)\) para cada punto en el espacio-tiempo. En general, vivimos en un universo con dimensiones\(3\) espaciales, o un espacio-tiempo\(3 + 1\) dimensional, pero las coordenadas permiten fácilmente esta generalización al elegir un evento\((t_0, x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0, 0)\) como origen. Observe sin embargo que si todos los fenómenos de interés ocurren en una sola línea, entonces las partes espaciales del sistema de coordenadas siempre se pueden rotar para que todos los eventos ocurran en el\(x\) eje -eje, y nuevamente podemos considerar un\(1 + 1\) espacio. Este será el caso de gran parte del libro, ya que permite una visualización y un análisis matemático más fáciles, e incluir las otras dos direcciones no es particularmente esclarecedor en la mayoría de los casos.

higo 1.2.2.png — Figura\(\PageIndex{2}\): Conjunto de coordenadas de Minkowski.