8.2: Momentum Angular

Objetivos de aprendizaje

• Explicar el momento angular

De manera no relativista, el momento angular de una partícula con impulso\(p\), en una posición\(r\) relativa a algún punto arbitrariamente fijo, es\(L = r×p\). Cuando generalizamos esta ecuación a la relatividad, nos encontramos con una serie de cuestiones. Problemas debidos a la relatividad especial:

1. El producto cruzado vectorial solo tiene sentido en tres dimensiones, por lo que no está bien definido en la relatividad especial (sección 7.6)
2. Suponiendo que nos alejemos del número 1, ¿cómo sabemos que esta cantidad se conserva?

Y de la relatividad general:

3. En la relatividad general, solo los desplazamientos espaciales o espacio-temporales infinitesimalmente pequeños\(dr\) pueden tratarse como vectores. Los más grandes no pueden. Esto se debe a que el espacio-tiempo puede ser curvo, y los vectores no se pueden usar para definir desplazamientos en un espacio curvo (por ejemplo, la superficie de la tierra).
4. Si el espacio tiene una topología no trivial, entonces es posible que no podamos definir una orientación (sección 7.6)

Para los puntos 3 y 4, nos referimos a Hawking y Ellis en la sección 3.5. El número 2 se aborda en la sección 9.3. Para el número 2 necesitaremos el tensor estres-energía, que se describirá en el capítulo 9. Para que no te sientas totalmente engañado, resolveremos el problema número 1 en esta sección en sí, pero antes de hacerlo, consideremos un ejemplo interesante que se puede manejar con matemáticas más simples.

El modelo relativista de Bohr

Si queremos ver un interesante ejemplo del mundo real de momento angular relativista, necesitamos algo que gire a velocidades relativistas. A grandes escalas tenemos ejemplos astrofísicos como las estrellas de neutrones y los discos de acreción de agujeros negros, pero estos involucran gravedad y por lo tanto requerirían una relatividad general. A escalas microscópicas tenemos sistemas como hadrones, núcleos, átomos y moléculas. Estos son cuánto-mecánicos, y la mecánica cuántica relativista es un tema difícil que está más allá del alcance de este libro, pero podemos eludir ese tema utilizando el modelo Bohr del átomo. En el modelo Bohr de hidrógeno, asumimos que el electrón tiene una órbita circular gobernada por las leyes de Newton, no irradia, y tiene su momento angular cuantificado en unidades de\(\hbar \). Generalicemos el modelo Bohr aplicando la relatividad.

Será conveniente definir la constante\(\alpha = \frac{ke^2}{\hbar }\), conocida como la constante de estructura fina, donde\(k\) está la constante de Coulomb y\(e\) es la carga fundamental. La constante de estructura fina es sin unidades y es aproximadamente\(1/137\). Es esencialmente una medida de la fuerza de la interacción electromagnética, y en el modelo Bohr también resulta ser la velocidad del electrón (en unidades de\(c\)) en el estado fundamental del hidrógeno. Debido a que esta velocidad es pequeña en comparación con\(1\), esperamos que las correcciones relativistas en el hidrógeno sean pequeñas, de tamaño relativo\(α^2\). Pero tenemos una interesante oportunidad de llegar a alguna física adicional y más emocionante si consideramos un átomo similar a hidrógeno, es decir, un ion con\(Z\) protones en el núcleo y solo un electrón. La elevación de\(Z\) las manivelas sube la escala de energía y por lo tanto aumenta la velocidad también.

Combinando la ley de fuerza de Coulomb con el resultado del Ejemplo 4.5.1, para un movimiento circular uniforme, tenemos

\[\dfrac{kZe^2}{r} = m\gamma v^2\]

donde el factor de\(γ\) es la corrección relativista. El impulso del electrón es perpendicular al radio vector, por lo que asumimos por el momento que (como resulta ser cierto), el momento angular viene dado por\(L = rp = mvγr\), donde nuevamente\(γ\) aparece un factor de corrección relativista de. Esto se cuantifica, así que vamos\(L = l\hbar\), donde\(l\) es un entero. Resolver estas ecuaciones da

\[v = \frac{Z\alpha }{l} \label{eq1}\]

\[r = \frac{l^2 \hbar}{mZ\alpha \gamma }\]

Estos difieren de las versiones no relativistas solo por el factor de\(γ\) en la segunda ecuación. La energía eléctrica es\(U = -kZe^2/r\), y la energía cinética\(K = m(γ - 1)\) (con\(c = 1\)). Nos resultará conveniente trabajar con la energía de unión (positiva) en unidades de la masa del electrón. Llama a esta cantidad\(\varepsilon\). Después de un poco de álgebra, el resultado es

\[\varepsilon = 1 - \sqrt{1 - v^2}\]

Sorprendentemente, este es también el resultado exacto dado por la mecánica cuántica relativista si resolvemos la ecuación de Dirac para el estado fundamental, o si tomamos un estado de alta energía (casi sin consolidar) con el valor máximo de\(l\), como es apropiado para una órbita circular semiclásica. Entonces podemos ver que a pesar de que nuestra mecánica cuántica era cruda, nuestra relatividad tiene cierto sentido y da resultados razonables. Para pequeños\(Z\), una aproximación de la serie Taylor da

\[E = v^2/2 + v^4/8 + ...\]

donde el término de cuarto orden representa la corrección relativista.

Hasta ahora tan bueno, pero ahora ¿y si subimos el valor de\(Z\) para hacer fuertes los efectos relativistas? Algo muy perturbador sucede cuando hacemos\(Z \gtrsim 137 \approx 1/\alpha\). En el estado de tierra obtenemos\(v > 1\) y un número complejo para\(\varepsilon\). Claramente algo se ha roto, y nuestros resultados ya no tienen sentido. Podríamos estar inclinados a descartar esto como consecuencia de nuestro modelo crudo, pero recuerden, nuestros cálculos sucedieron para dar el mismo resultado que la ecuación de Dirac, que tiene una mecánica cuántica relativista real horneada. Deberíamos tomar este desglose como evidencia de un colapso físico real. La interpretación es la siguiente.

Según la mecánica cuántica, el vacío no es realmente un vacío. Los pares partícula-antipartícula están continuamente apareciendo en el espacio vacío y luego se reaniquilan entre sí. Su creación temporal es una violación de la conservación de la energía masiva, pero sólo una violación temporal, y esto lo permite la forma tiempo-energía del principio de incertidumbre de Heisenberg,\(\Delta E \Delta t \gtrsim h\), siempre y cuando\(∆t\) sea breve. Es como si robaremos algo de dinero, pero la policía no nos atrapa siempre y cuando lo volvamos a poner antes de que alguien se dé cuenta. Debido a que estas partículas están solo temporalmente en nuestro universo, las llamamos partículas virtuales, a diferencia de partículas reales que tienen una existencia potencialmente permanente y pueden ser detectadas como blips en un contador Geiger.

Pero cuando el vacío contiene un campo eléctrico que está más allá de cierta fuerza crítica, se hace posible crear un par electrón-antielectrón, dejar que las cargas opuestas se separen y liberen energía, y pagar la deuda energética sin tener que reaniquilar las partículas. Esto se conoce como “chispeando el vacío”. Al momento de escribir este artículo, solo se\(118\) han descubierto núcleos con\(Z\) hasta aproximadamente, y en todo caso el\(Z\) valor crítico de\(1/α ≈ 137\) fue sólo una estimación aproximada. Pero al chocar núcleos pesados como el plomo, uno puede formar al menos temporalmente un sistema compuesto inestable con un alto\(Z\), y se están haciendo intentos de buscar el efecto predicho en el laboratorio.

El tensor de momento angular

Como se mencionó anteriormente, no existe tal cosa como un producto cruzado vectorial en cuatro dimensiones, por lo que la definición no relativista de momento angular como\(L = r×p\) necesita ser modificada para ser utilizable en la relatividad.

Dado un vector de posición\(r^a\) y un vector de impulso\(p^b\), esperamos con base tanto en unidades como en el principio de correspondencia que una definición relativista de momento angular debe ser algún tipo de producto de los vectores. Con base en las reglas de notación de índice, aquí no tenemos mucho margen de maniobra. Los únicos productos que podemos formar son\(r^a p^b\), que es un\(2\) tensor de rango, o\(r^a p_a\), un escalar. Dado que el momento angular no relativista es un trivector, el principio de correspondencia nos dice que su encarnación relativista no puede ser un escalar —simplemente no habría suficiente información en un escalar para decirnos las cosas que nos dice el vector de momento angular no relativista: qué eje es la rotación aproximadamente, y en qué dirección es la rotación.

El tensor\(r^a p^b\) también tiene un problema, pero uno que se puede arreglar. Supongamos que en cierto marco de referencia una partícula de masa\(m \neq 0\) está en reposo en el origen. Entonces su posición de cuatro vectores en el momento\(t\) es\((t,0,0,0)\), y su vector de energía-impulso es\((m,0,0,0)\). Estos vectores son paralelos. El tensor\(r^a p^b\) es distinto de cero y no se conserva a medida que el tiempo florece, pero claramente queremos que se conserve el momento angular de una partícula aislada. Otro ejemplo sería si, en un momento determinado en el tiempo, tuviéramos\(r = (0,x,0,0)\) y\(p = (E,p,0,0)\), con ambos\(x\) y\(p\) positivos. El movimiento de esta partícula está directamente lejos del origen, por lo que su momento angular debe ser cero por simetría, pero de nuevo\(r^a p^b\) es distinto de cero.

La manera de solucionar el problema es forzar al producto de los vectores de posición e impulso a ser un tensor antisimétrico:

\[L^{ab} = r^a p^b - r^b p^a\]

Antisimétrico significa que\(L^{ab} = -L^{ba}\), de manera que los elementos en lados opuestos de la diagonal principal son los mismos excepto los signos opuestos. Una comprobación rápida muestra que esto da el resultado cero esperado en ambos ejemplos anteriores. Un componente como\(L^{yz}\) mide la cantidad de rotación en el\(y-z\) plano. En un contexto no relativista, habríamos descrito esto como un\(x\) componente\(L_x\) del trivector de momento angular, porque una rotación del\(y-z\) plano alrededor del origen es una rotación alrededor del\(x\) eje —tal rotación mantiene el\(x\) eje fijo. Pero en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, una rotación en el\(y-z\) plano mantiene fijo todo el\(t-x\) plano, por lo que la noción de rotación “alrededor de un eje” se descompone. (Observe el patrón: en dos dimensiones giramos alrededor de un punto, en tres dimensiones la rotación es alrededor de una línea, y en cuatro dimensiones giramos alrededor de un plano fijo.) En la sección 9.3, mostramos que\(L^{ab}\) se conserva.

Si colocamos el tensor de momento angular en formato de matriz, se ve así:

\[\begin{pmatrix} 0 & L^{tx} & L^{ty} & L^{tz}\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}\]

Los ceros en la diagonal principal se deben a la antisimetría en la definición. He dejado espacios en blanco debajo de la diagonal principal porque aunque esos componentes pueden ser distintos de cero, solo contienen una copia (negada) de la información dada por los que están por encima de la diagonal. Podemos ver que en realidad solo hay\(6\) piezas de información en esta\(4×4\) matriz, y ya hemos interpretado físicamente el cúmulo triangular de tres componentes espacio-espaciales en la parte inferior derecha.

¿Por qué tenemos la fila en la parte superior, que consiste en los componentes tiempo-espacio, y qué significan físicamente? Una respuesta aguda sería que esto es algo muy profundo que tiene que ver con el hecho de que, como se describe en la Sección 8.3, la rotación y el movimiento lineal no están tan limpiamente separados en la relatividad como lo están en la física no relativista. Una respuesta más directa es que en la mayoría de las situaciones estos componentes en realidad no son muy interesantes. Considera una nube de partículas etiquetadas\(i = 1\) a través\(n\). Entonces para un componente representativo de la fila superior tenemos el valor total

\[L^{tx} = \sum t_i p_{i}^{x} - \sum x_i E_i\]

Ahora supongamos que fijamos cierta superficie de simultaneidad a la vez\(t\). La suma se convierte en

\[L^{tx} = t\sum p_{i}^{x} - \sum x_i E_i\]

Aquí hay información, pero no es información emocionante sobre el momento angular, es información aburrida sobre la posición y el movimiento del centro de masa del sistema. Si fijamos un marco de referencia en el que el impulso total es cero, es decir, el marco del centro de masa, entonces tenemos\(\sum p_{i}^{x} = 0\). Definamos también la posición del centro de masa como la posición promedio ponderada por masa-energía, más que la media ponderada en masa, como haríamos en la mecánica newtoniana. Entonces el\(\sum x_{i}E_i\) es una constante relativa a la posición del centro de masa, y si nos gusta podemos hacerla igual a cero eligiendo el origen de nuestras coordenadas espaciales para que coincidan con el centro de masa.

Con estas opciones tenemos un tensor de momento angular mucho más simple:

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ & 0 & L^{xy} & L^{xz}\\ & & 0 & L^{yz}\\ & & & 0 \end{pmatrix}\]

Si lo deseamos, podemos espolvorear un poco de azúcar notacional encima de todo esto usando el tensor Levi-Civita descrito en opcional Sección 7.6. Definamos un nuevo tensor\(^\star L\) según

\[^\star L_{ij} = \frac{1}{2}\epsilon _{ijkl}L^{kl}\]

Entonces para un observador con vector de velocidad\(o^µ\), la cantidad\(o_{\mu }^\star L^{\mu \nu }\) tiene la forma\ ((0, L^ {yz}, L^ {zx}, L^ {xy}). Es decir, sus componentes espaciales son exactamente las cantidades que hubiéramos esperado para el trivector de momento angular no relativista (utilizando el momento relativista correcto).