8.3: Impulsos y Rotaciones

Objetivos de aprendizaje

• Explicar las rotaciones y los potenciadores

Un pariente mío se enamoró. Ella y su novio compraron una casa en los suburbios y tuvieron un bebé. Piensan que se casarán en algún momento posterior. Ingeniera por formación, dice que no quiere quedar obsesionada con el “orden de las operaciones”. Para algunas operaciones matemáticas, el orden no importa:\(5 + 7\) es el mismo que\(7 + 5\).

Rotaciones

Fgure\(\PageIndex{1}\) demuestra que el orden de las operaciones sí importa para las rotaciones. Girando alrededor del\(x\) eje y luego\(y\) produce un resultado diferente al\(y\) seguido de\(x\). Decimos que las rotaciones son no conmutativas. Es por ello que, en la mecánica newtoniana, no tenemos un vector de desplazamiento angular\(∆θ\); se supone que los vectores son aditivos y la adición de vectores es conmutativa. Para rotaciones pequeñas, sin embargo, la discrepancia causada por elegir un orden de operaciones en lugar del otro se vuelve pequeña (de orden\(θ^2\)), por lo que podemos definir un vector de desplazamiento infinitesimal\(dθ\), cuya dirección viene dada por la regla de la derecha, y una velocidad angular\(ω = dθ/dt\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Realizar las rotaciones en un orden da un resultado, 3, mientras que invertir el orden da un resultado diferente, 5.

Como ejemplo de cómo funciona esto para rotaciones pequeñas, tomemos el vector

\[(0,0,1)\]

y aplicar las operaciones que se muestran en la Figura\(\PageIndex{1}\), pero con rotaciones de sólo\(θ = 0.1\) radianes en lugar de\(90\) grados. La rotación por este ángulo alrededor del\(x\) eje viene dada por la transformación

\[(x,y,z) → (x,y \cos θ - z \sin θ,y \sin θ + z \cos θ)\]

y aplicar esto al vector original da esto:

\[(0.00000,-0.09983,0.99500)\; \; \; (\text{after }x)\]

Después de una rotación adicional por el mismo ángulo, esta vez alrededor del\(y\) eje, tenemos

\[(0.09933,-0.09983,0.99003) \; \; \; (\text{after }x, \text{then }y)\]

Comenzando de nuevo desde el vector original en la Figura\(\PageIndex{1.1}\) y haciendo las operaciones en el orden opuesto da estos resultados:

\[(0.09983,0.00000,0.99500) \; \; \; (\text{after }y)\]

\[(0.09983,-0.09933,0.99003) \; \; \; (\text{after }y, \text{then }x)\]

La discrepancia entre (\(\PageIndex{1.3}\)) y (\(\PageIndex{1.5}\)) es una rotación por casi\(0.005\) radianes en el\(xy\) plano. Como se afirma, esto está en el orden de\(θ^2\) (de hecho, es casi exactamente\(θ^2/2\)). Un solo ejemplo nunca puede probar nada, pero este es un ejemplo de la regla general de que las rotaciones a lo largo de diferentes ejes no se desplazan, y para ángulos pequeños la discrepancia es una rotación en el plano definido por los dos ejes, con una magnitud cuyo tamaño máximo es del orden de\(θ^2\).

Impulsa

Algo similar sucede para los potenciadores. En\(3 + 1\) dimensiones, comenzamos con el vector

\[(0,1,0,0)\]

apuntando a lo largo del\(x\) eje. Un impulso de Lorentz con\(v = 0.1\) (Ecuación 1.4.1) en la\(x\) dirección da

\[(0.10050,1.00504,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }x)\]

y un segundo impulso, ahora en la\(y\) dirección, produce esto:

\[(0.10101,1.00504,0.01010,0.00000) \; \; \; (\text{after }x, \text{then }y)\]

Comenzando de nuevo desde (\(\PageIndex{6}\)) y haciendo los boosts en el orden opuesto, tenemos

\[(0.00000,1.00000,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }y)\]

\[(0.10050,1.00504,0.00000,0.00000) \; \; \; (\text{after }y, \text{then }x)\]

La discrepancia entre (\(\PageIndex{8}\)) y (\(\PageIndex{10}\)) es una rotación en el\(xy\) plano casi\(0.01\) radianes. Este es un ejemplo de un hecho más general, que es que los impulsores a lo largo de diferentes ejes no se desplazan, y para ángulos pequeños la discrepancia es una rotación en el plano definido por los dos impulsores, con una magnitud cuyo tamaño máximo es del orden de\(v^2\), en unidades de radianes.

Thomas Precesión

La figura\(\PageIndex{2}\) muestra la consecuencia física más importante de todo esto. El giroscopio se envía alrededor del perímetro de un cuadrado, con impulsos proporcionados por golpecitos de martillo en las esquinas. Cada impulso puede modelarse como un impulso de Lorentz, anotado, por ejemplo,\(L_x\) para un impulso en la\(x\) dirección. La serie de cuatro operaciones se puede escribir como\(L_yL_xL_{-y}L_{-x}\), utilizando la convención notacional de que la primera operación aplicada es la del lado derecho de la lista. Si los impulsores fueran conmutativos, podríamos intercambiar las dos operaciones a mitad de la lista, dando\(L_yL_{-y}L_xL_{-x}\). El\(L_x\) desharía el\(L_{-x}\), y el\(L_y\) desharía el\(L_{-y}\). Pero los potenciadores no son conmutativos, por lo que el vector que representa la orientación del giroscopio se gira en el\(xy\) plano. Este efecto se llama la precesión de Thomas, después de Llewellyn Thomas (1903-1992). La precesión de Thomas es un efecto puramente relativista, ya que un giroscopio newtoniano no cambia su eje de rotación a menos que se someta a un par; si los potenciadores se logran por fuerzas que actúan en el centro del giroscopio, entonces no hay una explicación no relativista del efecto.

Figura\(\PageIndex{2}\): De manera no relativista, el giroscopio no debe girar siempre y cuando todas las fuerzas del martillo se transmitan a él en su centro de masa.

Claramente deberíamos ver el mismo efecto si el movimiento de la cecina en Fgure\(\PageIndex{2}\) fue reemplazado por un movimiento circular uniforme, y algo similar debería suceder en cualquier caso en el que un objeto giratorio experimente una fuerza externa. En el límite de bajas velocidades, la expresión general para la velocidad angular de la precesión es\(Ω = a×v\), y en el caso del movimiento circular\(Ω = \frac{1}{2}v^2ω\), donde\(ω\) está la frecuencia del movimiento circular.

Si queremos ver este efecto de precesión en la vida real, debemos buscar un sistema en el que ambos\(v\) y\(a\) sean grandes. Un átomo es tal sistema. El modelo Bohr, introducido en 1913, marcó la primera descripción cuantitativamente exitosa, aunque conceptualmente confusa, de los niveles de energía atómica del hidrógeno. Continuando tomando\(c = 1\), la escala general de las energías se calculó para ser proporcional a\(mα^2\), donde\(m\) está la masa del electrón, y\(α\) es la constante de estructura fina, definida anteriormente. A mayor resolución, se encuentra que cada nivel de energía excitada se divide en varios subniveles. Las transiciones entre estos estados cercanos se encuentran en la región milimétrica del espectro de microondas. La escala energética de esta fina estructura es\(∼ mα^4\). Esto se reduce por un factor de\(α^2\) en comparación con las transiciones de luz visible, de ahí el nombre de la constante. Uhlenbeck y Goudsmit mostraron en 1926 que era de esperar una división en este orden de magnitud debido a la interacción magnética entre el protón y el momento magnético del electrón, orientado a lo largo de su espín. El efecto que calcularon, sin embargo, fue demasiado grande por un factor de dos.

Figura\(\PageIndex{3}\): Los estados en hidrógeno están etiquetados con números thei\(l\) y\(s\) cuánticos, representando sus momentos orbitales y angulares de espín en unidades de\(\hbar\). El estado con\(s = +1/2\) tiene su momento angular de giro alineado con su momento angular orbital, mientras que el\(s = -1/2\) estado tiene los dos momentos angulares en direcciones opuestas. La dirección y el orden de magnitud de la división entre los dos\(l = 1\) estados se explica con éxito por las interacciones magnéticas con el protón, pero el efecto calculado es demasiado grande por un factor de 2. La precesión relativista de Thomas cancela la mitad del efecto.

La explicación del misterioso factor de dos había sido, de hecho, implícita en un cálculo de 1916 de Willem de Sitter, una de las primeras aplicaciones de la relatividad general. De Sitter trató el sistema tierra-luna como un giroscopio, y encontró la precesión de su eje de rotación, que se debió en parte a la curvatura del espacio-tiempo y en parte por el tipo de rotación descrito anteriormente en esta sección. El efecto sobre el movimiento de la luna no fue acumulativo, y solo fue de aproximadamente un metro, que era demasiado pequeño para ser medido en ese momento. En 1927, sin embargo, Thomas aplicó razonamientos similares al átomo de hidrógeno, con el vector de espín del electrón jugando el papel de giroscopio. Dado que el espín del electrón es\(\hbar /2\), la división de energía es\(\pm (\hbar /2) \Omega\), dependiendo de si el espín del electrón está en la misma dirección que su movimiento orbital, o en la dirección opuesta. Esto es menor que la escala de energía bruta del átomo\(\hbar \omega\) por un factor de\(v^2/2\), que es\(∼ α^2\). La precesión de Thomas cancela la mitad del efecto magnético, llevando la teoría de acuerdo con el experimento.

Uhlenbeck recordó más tarde: “... cuando escuché por primera vez sobre [la precesión de Thomas], me pareció increíble que un efecto relativista pudiera dar un factor de 2 en lugar de algo de orden\(v/c\)... Incluso los cognoscenti de la teoría de la relatividad (¡incluido Einstein!) quedaron bastante sorprendidos. ”