1.E: Teoría Geométrica del Espacio-Tiempo (Ejercicios)

Problemas

1. En la mecánica clásica, se escucha el término “la aceleración de la gravedad”, que literalmente no tiene sentido, ya que son los objetos los que aceleran. Explique por qué la utilidad de este término depende del principio de equivalencia.
2. La sonda espacial New Horizons se comunica con la tierra mediante microondas con una frecuencia de aproximadamente 10 GHz. Estimar los tamaños de los siguientes cambios de frecuencia en esta señal, cuando la sonda vuela por Plutón en 2015, a una velocidad de ∼ 10 UA/año:
   1. el desplazamiento Doppler debido a la velocidad de la sonda;
   2. el desplazamiento Doppler debido a la velocidad orbital de la Tierra;
   3. el desplazamiento Doppler gravitacional.
3. Los axiomas E1-E5 de Euclides no bastan para demostrar que hay un número infinito de puntos en el plano, y por lo tanto necesitan ser complementados por un axioma extra que lo establezca (a menos que uno encuentre las realizaciones no estándar con finitamente muchos puntos para ser lo suficientemente interesantes como para estudiar por su propio bien). Demostrar que los axiomas de geometría ordenada O1-O4 no tienen este problema.
4. En la novela de ciencia ficción Have Spacesuit — Will Travel, de Robert Heinlein, Kip, un estudiante de secundaria, responde a una llamada de socorro por radio, se encuentra con un platillo volador, y es noqueado y secuestrado por extraterrestres. Al despertar, se encuentra en una celda cerrada con llave con una joven llamada Peewee. Peewee afirma que están a bordo de una nave espacial acelerada. “Si esto fuera una nave espacial”, piensa Kip. “El piso se sentía tan sólido como el concreto e inmóvil”.
   El principio de equivalencia se puede afirmar de diversas maneras. Anteriormente, se afirmó como (1) la masa gravitacional e inercial son siempre proporcionales entre sí. Una formulación alternativa es (2) que Kip no tiene forma, por experimentos u observaciones dentro de su celda sellada, de determinar si se encuentra en una nave espacial acelerada o en la superficie de un planeta, experimentando su campo gravitacional.
   1. Demostrar que cualquier violación a la declaración 1 también lleva a una violación de la declaración 2.
   2. Si hubiéramos pretendido construir una teoría geométrica de la gravedad aproximadamente a lo largo de las líneas de los axiomas O1-O4, ¿qué axioma se viola en este escenario?
5. El reloj A se sienta sobre un escritorio. El reloj B se lanza al aire desde la misma altura que el escritorio y luego vuelve a bajar. Compara los tiempos transcurridos.
6. (a) Encontrar la diferencia de velocidad entre un reloj en el centro de la tierra y un reloj en el polo sur. (b) Cuando una antena en la tierra recibe una señal de radio de una sonda espacial que se encuentra en una órbita hiperbólica en el sistema solar exterior, la señal mostrará tanto un desplazamiento cinemático al rojo como un desplazamiento azul gravitacional. Comparar los órdenes de magnitud de estos dos efectos.
7. Considere las siguientes situaciones físicas: (1) un objeto cargado yace sobre un escritorio en el planeta tierra; (2) un objeto cargado orbita la tierra; (3) un objeto cargado se libera sobre la superficie terrestre y se deja caer directamente hacia abajo; (4) un objeto cargado es sometido a una aceleración constante por un motor de cohete en el exterior espacio. En cada caso, queremos saber si la carga irradia. Analizar la física en cada caso (a) con base en la conservación de la energía; (b) determinando si el movimiento del objeto es inercial en el sentido pretendido por Isaac Newton; (c) utilizando la interpretación más directa del principio de equivalencia (es decir, no preocuparse por los temas discutidos en p. que rodean la ambigua definición de localidad).
8. Consideremos la situación física representada en la Figura 1.5.12. Sea ag la aceleración gravitacional y a _r la aceleración de la partícula cargada debido a la radiación. Entonces\(\frac{a_{r}}{a_{g}}\) mide la violación del principio de equivalencia. El objetivo de este problema es hacer una estimación de orden de magnitud de esta relación en el caso de un neutrón y un protón en órbita terrestre baja.
   1. Dejar m la masa de cada partícula, y q la carga de la partícula cargada. Sin hacer un cálculo completo como los de los DeWitts y Grøn y Næss, usa ideas generales sobre el escalado de frecuencia de la radiación (ver sección 9.2) para encontrar la proporcionalidad que da la\(\frac{a_{r}}{a_{g}}\) dependencia de q, m, y cualquier parámetro conveniente de la órbita.
   2. Con base en consideraciones de unidades, inserte las constantes universales necesarias en su respuesta de la parte a.
   3. El resultado de la parte b seguirá estando apagado por algún factor sin unidad, pero esperamos que esto sea de unidad de orden. Bajo este supuesto, hacer una estimación de orden de magnitud de la violación del principio de equivalencia en el caso de un neutrón y un protón en órbita terrestre baja.