1.6: El principio de equivalencia (Parte 2)

Cambios gravitacionales al rojo

Anteriormente, vimos evidencia experimental de que la tasa de flujo del tiempo cambia con la altura en un campo gravitacional. Ahora podemos ver que esto es requerido por el principio de equivalencia.

Por el principio de equivalencia, no hay manera de distinguir entre los resultados experimentales obtenidos en un laboratorio acelerado y los encontrados en un laboratorio inmerso en un campo gravitacional. ³⁰ En un laboratorio acelerando hacia arriba, un fotón se emitía desde el suelo y se desplazaría Doppler hacia frecuencias más bajas cuando se observaba en el techo, debido al cambio en la velocidad del receptor durante el tiempo de vuelo del fotón. El efecto viene dado por

\[\dfrac{\Delta E}{E} = \dfrac{\Delta f}{f} = \dfrac{ay}{c^{2}}\]

donde\(a\) está la aceleración del laboratorio,\(y\) es la altura del piso al techo, y\(c\) es la velocidad de la luz.

Nota

El problema 4 verifica, en un ejemplo específico, que esta forma de afirmar el principio de equivalencia está implícita por la que se indicó anteriormente.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Autocomprobación: Verifica esta declaración.

Figura\(\PageIndex{13}\) - 1. Un fotón se emite hacia arriba desde el piso del elevador. El elevador acelera hacia arriba. 2. Para cuando se detecta el fotón en el techo, el elevador ha cambiado su velocidad, por lo que el fotón se detecta con un desplazamiento Doppler.

Por el principio de equivalencia, encontramos que cuando tal experimento se realiza en un campo gravitacional g, debe haber un efecto gravitacional sobre la energía de un fotón igual a\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{gy}{c^{2}}\). Dado que la cantidad gy es el potencial gravitacional (energía gravitacional por unidad de masa), la pérdida fraccional de energía del fotón es la misma que la pérdida de energía (newtoniana) experimentada por un objeto material de masa m y energía cinética inicial mc ².

La interpretación es la siguiente. El electromagnetismo clásico requiere que las ondas electromagnéticas tengan inercia. Por ejemplo, si una onda plana golpea una superficie óhmica, como en la Figura 1.5.14, el campo eléctrico de la ola excita las corrientes oscilantes en la superficie. Estas corrientes experimentan entonces una fuerza magnética del campo magnético de la onda, y la aplicación de la regla de la derecha muestra que la fuerza resultante está en la dirección de propagación de la onda. Así la onda de luz actúa como si tuviera impulso. El principio de equivalencia dice que lo que tenga inercia también debe participar en interacciones gravitacionales. Por lo tanto, las ondas de luz deben tener peso, y deben perder energía cuando suben a través de un campo gravitacional.

Figura 1.5.15. Ver Nichols y Hull,” La presión debida a la radiación”, Phys. Rev. (Serie I) 17 (1903) 26.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Autocomprobación: Verifica la aplicación de la regla de la derecha descrita anteriormente.

Figura\(\PageIndex{15}\) - Un dibujo simplificado del experimento de 1903 de Nichols y Hull que verificó el impulso previsto de las ondas de luz. Dos espejos circulares fueron colgados de una fina fibra de cuarzo, dentro de una campana evacuada. Un haz de luz de 150 mW se iluminó en uno de los espejos durante 6 s, produciendo una pequeña rotación, la cual fue medible por una palanca óptica (no mostrada). La fuerza estuvo dentro de 0.6% del valor teóricamente predicho de 0.001 µN. A modo de comparación, un recorte corto de un solo cabello humano pesa ∼ 1\(\mu\) N.

Interpretación adicional:

• La cantidad\(mc^2\) es famosa, incluso entre personas que no saben qué\(m\) y\(c\) representan. Este es el primer indicio de dónde viene. El relato completo se da en la sección 4.2.
• La relación p =\(\frac{E}{c}\) entre la energía y el impulso de una onda de luz sigue directamente de las ecuaciones de Maxwell, por el argumento anterior; sin embargo, veremos en la sección 4.2 que según la relatividad esta relación debe sostenerse para cualquier partícula sin masa
• Lo que hemos encontrado concuerda con el principio de correspondencia de Niels Bohr, que establece que cuando una nueva teoría física, como la relatividad, reemplaza a una antigua, como la física newtoniana, la nueva teoría debe coincidir con la antigua bajo las condiciones experimentales en las que la vieja teoría había sido verificada por experimentos. La masa gravitacional de un haz de luz con energía\(E\) es\(\frac{E}{c^{2}}\), y como c es un gran número, no es de extrañar que el peso de los rayos de luz nunca se hubiera detectado antes de que Einstein intentara detectarlo.
• Este libro describe una teoría particular de la gravedad, la teoría de la relatividad general de Einstein. Hay otras teorías de la gravedad, y algunas de ellas, como la teoría de Brans-Dicke, hacen tan bien como la relatividad general al estar de acuerdo con los datos experimentales disponibles actualmente. Nuestra predicción de los desplazamientos gravitacionales Doppler de luz solo dependía del principio de equivalencia, que es un ingrediente de la relatividad general. Las pruebas experimentales de esta predicción solo prueban el principio de equivalencia; no permiten distinguir entre una teoría de la gravedad y otra si ambas teorías incorporan el principio de equivalencia.
• Si un objeto como un transmisor de radio o un átomo en estado excitado emite una onda electromagnética con una frecuencia f, entonces el objeto puede considerarse como un tipo de reloj. Por lo tanto, podemos interpretar el desplazamiento gravitacional al rojo como una dilatación gravitacional del tiempo: una diferencia en la velocidad a la que fluye el mismo tiempo, dependiendo del potencial gravitacional. Esto es consistente con los resultados empíricos presentados en la Sección 1.2.

Ejemplo 3: La paradoja de Chiao revisitada

El principio de equivalencia dice que las ondas electromagnéticas tienen masa gravitacional así como masa inercial, por lo que parece claro que lo mismo debe sostenerse para los campos estáticos. En la paradoja de Chiao, la partícula cargada en órbita tiene un campo eléctrico que se extiende hasta el infinito. Cuando medimos la masa de una partícula cargada como un electrón, no hay manera de separar la masa de este campo de una contribución más localizada. El campo eléctrico “cae” a través del campo gravitacional, y el principio de equivalencia, que es local, no puede garantizar que todas las partes del campo roten uniformemente alrededor de la tierra, incluso en partes distantes del universo. El patrón del campo eléctrico se distorsiona, y esta distorsión provoca una reacción de radiación que retroreacciona sobre la partícula, provocando que su órbita se descomponga.

El experimento Libra-Rebka

El experimento de 1959 libras-Rebka en Harvard ³¹ fue una de las primeras pruebas relativistas de alta precisión del principio de equivalencia que se realizó en condiciones controladas, y en esta sección lo discutiremos en detalle.

Figura\(\PageIndex{16}\) - El experimento Libra-Rebka.

Cuando y está en el orden de magnitud de la altura de un edificio, el valor de\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{gy}{c^{2}}\) es ∼ 10 ⁻¹⁴, por lo que es necesario un experimento de extremadamente alta precisión para detectar un desplazamiento gravitacional al rojo. Una serie de otros efectos son lo suficientemente grandes como para oscurecerlo por completo, y de alguna manera deben ser eliminados o compensados. Estos se enumeran a continuación, junto con sus órdenes de magnitud en el diseño experimental finalmente asentado por Pound y Rebka.

(1) Ampliamiento Doppler clásico debido a la temperatura. El movimiento térmico provoca desplazamientos Doppler de los fotones emitidos, correspondientes a la componente aleatoria del vector de velocidad del átomo emisor a lo largo de la dirección de emisión.	∼ 10 ^−6
(2) El desplazamiento Doppler de retroceso. Cuando un átomo emite un fotón con energía E e impulso\(p = \frac{E}{c}\), la conservación del impulso requiere que el átomo retroceda con impulso\(p = − \frac{E}{c}\) y energía\(\frac{p^{2}}{2m}\). Esto provoca un desplazamiento Doppler descendente de la energía del fotón emitido. Un efecto similar ocurre sobre la absorción, duplicando el problema.	∼ 10 ^−12
(3) Ancho de línea natural. El principio de incertidumbre de Heisenberg dice que un estado con una vida media\(\tau\) debe tener una incertidumbre en su energía de al menos ∼\(\frac{h}{\tau}\), donde h es la constante de Planck.	∼ 10 ^−12
(4) Desplazamiento Doppler especial-relativista debido a la temperatura. La Sección 1.2 presentó evidencia experimental de que el tiempo fluye a un ritmo diferente dependiendo del movimiento del observador. Por lo tanto, el movimiento térmico de un átomo que emite un fotón tiene un efecto sobre la frecuencia del fotón, aunque el movimiento del átomo no esté a lo largo de la línea de emisión. Las ecuaciones necesarias para calcular este efecto no se derivarán hasta la sección 2.2; se da una estimación cuantitativa en el ejemplo 13. Por ahora, solo necesitamos saber que esto lleva a una dependencia de la temperatura en la frecuencia promedio de emisión, además del ensanchamiento de la curva de campana descrita por el efecto (1) anterior.	∼ 10 ^−14 por grado C

La forma más sencilla de mitigar el efecto (1) es utilizar fotones emitidos por un sólido. A primera vista esto parecería una mala idea, ya que los electrones en un sólido emiten un espectro continuo de luz, no un espectro discreto como los emitidos por los gases; esto se debe a que tenemos N electrones, donde N está en el orden del número de Avogadro, todos interactuando fuertemente entre sí, así por el principio de correspondencia el comportamiento cuánto-mecánico discreto debe ser promediado. Pero los protones y neutrones dentro de un núcleo no interactúan mucho en absoluto con los de otros núcleos, por lo que los fotones emitidos por un núcleo sí tienen un espectro discreto. La escala energética de las excitaciones nucleares está en el rango KeV o MeV, por lo que estos fotones son rayos X o rayos gamma. Además, la escala de tiempo de las vibraciones aleatorias de un núcleo en un sólido es extremadamente corta. Para una velocidad del orden de 100 m/s, y vibraciones con una amplitud de ∼ 10 ⁻¹⁰ m, el tiempo es de aproximadamente 10 ⁻¹² s. En muchos casos, esto es mucho más corto que la vida media del estado nuclear excitado que emite el rayo gamma, y por lo tanto el desplazamiento Doppler promedia a casi cero.

Figura\(\PageIndex{17}\) - Emisión de rayos gamma de 14 keV por ⁵⁷ Fe. El núcleo parental ⁵⁷ Co absorbe un electrón y se somete a un proceso de decaimiento de fuerza débil que lo convierte en ⁵⁷ Fe, en estado excitado. Con 85% de probabilidad, este estado decae a un estado justo por encima del estado fundamental, con una energía de excitación de 14 keV y una vida media de 10 ⁻⁷ s. Este estado finalmente decae, ya sea por emisión gamma o emisión de un electrón de conversión interna, al estado fundamental.

El efecto (2) sigue siendo mucho mayor que el tamaño de 10 ⁻¹⁴ del efecto a medir. Se puede evitar explotando el efecto Mössbauer, en el que un núcleo en una sustancia sólida a baja temperatura emite o absorbe un fotón de rayos gamma, pero con una probabilidad significativa el retroceso es absorbido no por el núcleo individual sino por una vibración de la red atómica en su conjunto. Dado que la energía de retroceso varía como\(\frac{p^{2}}{2m}\), la gran masa de la celosía conduce a una disipación muy pequeña de energía en la red de retroceso. Así, si un fotón es emitido y absorbido por núcleos idénticos en un sólido, y tanto para la emisión como para la absorción el impulso de retroceso es ocupado por la red en su conjunto, entonces hay un desplazamiento de energía insignificante. Se debe escoger un isótopo que emita fotones con energías de aproximadamente 10-100 keV. Los rayos X con energías inferiores a aproximadamente 10 keV tienden a ser absorbidos fuertemente por la materia y son difíciles de detectar, mientras que para las energías de rayos gamma de\(\gtrsim\) 100 keV el efecto m¨ossbauer no es suficiente para eliminar completamente el efecto de retroceso.

Si el efecto Mössbauer se lleva a cabo en un plano horizontal, se produce la absorción resonante. Cuando la fuente y el absorbedor están alineados verticalmente, p, los cambios de frecuencia gravitacional deben causar un desajuste, destruyendo la resonancia. Se puede mover la fuente a una velocidad pequeña (típicamente unos pocos mm/s) para agregar un desplazamiento Doppler a la frecuencia; al determinar la velocidad que compensa el efecto gravitacional, se puede determinar qué tan grande es el efecto gravitacional.

Figura\(\PageIndex{18}\) - Arriba: Un gráfico de velocidad versus tiempo para la fuente. La velocidad tiene tanto una componente constante como una oscilante con una frecuencia de 10-50 Hz. Se utilizó el componente constante v ₀ como forma de determinar la calibración del desplazamiento de frecuencia en función de las tasas de conteo. Los datos fueron adquiridos durante los periodos de cuarto de ciclo de máxima velocidad oscilatoria, 1 y 2. Abajo: Contar tasas en función de la velocidad, para v ₀ = 0 y v ₁ ≠ 0. La curva discontinua y los círculos negros representan las tasas de conteo que se habrían observado de no haber efecto gravitacional. El efecto gravitacional desplaza la curva de resonancia hacia un lado (curva sólida), resultando en una asimetría de las tasas de conteo (círculos abiertos). El cambio, y la asimetría resultante, son muy exagerados para la legibilidad; en realidad, el efecto gravitacional fue 500 veces menor que el ancho de la curva de resonancia.

La vida media típica para la desexcitación de un núcleo por emisión de un rayo gamma con energía E está en el rango de nanosegundos. Para medir un efecto gravitacional en el nivel 10 ⁻¹⁴, se quisiera tener un ancho de línea natural, (3), con\(\frac{\Delta E}{E}\)\(\lesssim\) 10 ⁻¹⁴, lo que requeriría una vida media de\(\gtrsim\) 10\(\mu\) s. En la práctica, Pound y Rebka encontraron que otros efectos, como (4) y electrón- interacciones de núcleos que dependían de la preparación de la muestra, tendían a poner núcleos en una muestra “desintonizados” con los de otra muestra en el nivel 10 ^{−13 -10 −12}, de manera que la resonancia no se pudo lograr a menos que el ancho de línea natural diera\(\frac{\Delta E}{E} \gtrsim\) 10 ⁻¹². Como resultado, se asentaron en un experimento en el que los gammas de 14 keV fueron emitidos por ⁵⁷ núcleos de Fe (Figura 1.5.17) en la parte superior de una torre de 22 metros, y absorbidos por ⁵⁷ núcleos de Fe en la parte inferior. La vida media de 100 ns del estado excitado conduce a\(\frac{\Delta E}{E}\) ∼ 10 ⁻¹². Esto es 500 veces mayor que el efecto gravitacional a medir, por lo que, como se describe con más detalle a continuación, el experimento dependió de mediciones de alta precisión de pequeños desplazamientos hacia arriba y hacia abajo de la curva de resonancia en forma de campana.

Los absorbentes fueron siete películas de hierro potenciadas isotópicamente en ⁵⁷ Fe, aplicadas directamente a las caras de siete detectores de centelleo de yoduro de sodio (parte inferior de la Figura 1.5.16). Cuando un rayo gamma incide sobre los absorbentes, pueden suceder varias cosas diferentes, de las cuales podemos salirnos con la suya considerando solo lo siguiente: (a) el rayo gamma es absorbido resonantemente en uno de los ⁵⁷ absorbentes de Fe, después de lo cual el núcleo excitado decae por reemisión de otro fotón (o un electrón de conversión), en una dirección aleatoria; (b) el rayo gamma pasa a través del absorbedor y luego produce ionización directamente en el cristal de yoduro de sodio. En el caso b, se detecta el rayo gamma. En caso de a, hay un 50% de probabilidad de que el fotón reemitido salga en dirección ascendente, de manera que no se pueda detectar. Así, cuando las condiciones son adecuadas para la resonancia, se espera una reducción en la tasa de conteo. El efecto M¨ossbauer nunca ocurre con 100% de probabilidad; en este experimento, alrededor de un tercio de los gammas incidentes sobre los absorbentes fueron absorbidos resonantemente.

La elección de y = 22 m estuvo dictada principalmente por errores sistemáticos. El experimento estuvo limitado por la fuerza de la fuente de rayos gamma. Para una fuente de una fuerza fija, la tasa de conteo en el detector a una distancia y sería proporcional a y ⁻², conduciendo a errores estadísticos proporcionales a\(1/ \sqrt{count\; rate} \propto y\). Dado que el efecto a medir también es proporcional a y, la relación señal/ruido fue independiente de y, sin embargo, efectos sistemáticos como (4) fueron más fáciles de monitorear y explicar cuando y era bastante grande. Un edificio de laboratorio en Harvard pasó a tener una torre de 22 metros, que se utilizó para el experimento. Para reducir la absorción de los gammas en los 22 metros de aire, se colocó en el pozo una bolsa larga y cilíndrica de mylar llena de gas helio, p.

La resonancia fue una curva en forma de campana con un mínimo a la frecuencia natural de emisión. Dado que la curva estaba en un mínimo, donde su derivada era cero, la sensibilidad de la tasa de conteo al desplazamiento gravitacional habría sido casi cero si la fuente hubiera sido estacionaria. Por lo tanto, fue necesario hacer vibrar la fuente hacia arriba y hacia abajo, para que los fotones emitidos fueran Doppler desplazados sobre los hombros de la curva de resonancia, donde la pendiente de la curva era grande. La asimetría resultante en las tasas de conteo se muestra en la Figura 1.5.18. Un esfuerzo adicional para cancelar posibles efectos sistemáticos se realizó intercambiando frecuentemente la fuente y el absorbedor entre la parte superior e inferior de la torre.

Para y = 22.6 m, el principio de equivalencia predice un desplazamiento fraccionario de frecuencia debido a la gravedad de 2.46 × 10 ⁻¹⁵. Libra y Rebka midieron el cambio para ser (2.56 ± 0.25) × 10 ⁻¹⁵. Los resultados estuvieron en concordancia estadística con la teoría, y verificaron el tamaño predicho del efecto con una precisión de 10%.

Figura_1.5.19b.png” />

Figura\(\PageIndex{19}\) - Libra y Rebka en la parte superior e inferior de la torre.

Referencias

³¹ Phys. Rev. Let. 4 (1960) 337