3.9: Interpretación de la Independencia Coordinada

En esta sección se discuten algunas de las cuestiones que surgen en la interpretación de la independencia coordinada. Se puede omitir en una primera lectura.

¿Es obvia la independencia de coordenadas?

A menudo se escuchan declaraciones como las siguientes de los relativistas: “Coordinar la independencia no es realmente un principio físico. No es más que una afirmación obvia sobre la relación entre las matemáticas y el universo físico. Obviamente el universo no viene equipado con coordenadas. Nosotros le imponemos esas coordenadas, y la forma en que lo hacemos nunca puede ser dictada por la naturaleza”. El lector impresionable que se siente tentado a decir: “Ah, sí, eso es obvio”, debería considerar que estaba lejos de ser obvio para Newton (“El tiempo absoluto, verdadero y matemático, de sí mismo, y de su propia naturaleza fluye igual sin tener en cuenta nada externo.”), ni tampoco era obvio para Einstein. Levi-Civita empujó a Einstein en la dirección de la independencia de coordenadas en 1912. Einstein se esforzó por hacer una teoría independiente de las coordenadas, pero por las razones descritas en la sección 3.6, se convenció de que ese era un callejón sin salida. En 1914-15 publicó teorías que no eran coordinadas independientes, que escucharás a los relativistas describir como callejones sin salida “obvios” porque carecen de cualquier interpretación geométrica. Me parece que se necesita una intuición muy refinada para considerar intuitivamente “obvio” un tema con el que Einstein luchó como Jacob luchando con Elohim.

¿Es trivial Coordinar Independencia?

También se ha alegado que coordinar la independencia es trivial. Para medir la justicia de esta denuncia, distingamos entre dos razones para preocuparse por la independencia coordinada:

1. La independencia de coordenadas nos dice que cuando resolvemos problemas, debemos evitar anotar cualquier ecuación en notación que no sea manifiestamente intrínseca, y evitar interpretar esas ecuaciones como si las coordenadas tuvieran un significado intrínseco. Violar este consejo no garantiza que hayas cometido un error, pero hace que sea mucho más difícil saber si lo has hecho o no.
2. La independencia de coordenadas se puede utilizar como criterio para juzgar si una teoría en particular es probable que tenga éxito.

Nadie cuestiona la primera justificación. El segundo es un poco más complicado. Al exponer la teoría general sistemáticamente en un artículo de 1916, ¹⁴ Einstein escribió: “Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse mediante ecuaciones que mantienen buenas para todos los sistemas de coordenadas, es decir, son covariantes con respecto a cualquier sustitución cualquiera que sea (generalmente covariante)”. Es decir, estaba explicando por qué, en retrospectiva, su teoría dependiente de coordenadas de 1914-1915 tenía que ser un callejón sin salida.

El único problema con esto es que la forma de Einstein de plantear el criterio no dio en el clavo matemáticamente. Como Hilbert destacó, “Todos los niños en las calles de Gotinga entienden más sobre la geometría de cuatro dimensiones que Einstein. Sin embargo, a pesar de eso, Einstein hizo el trabajo y no los matemáticos”. Lo que Einstein tenía en mente era que una teoría como la mecánica newtoniana no sólo carece de independencia de coordenadas, sino que también sería imposible de poner en una forma independiente de coordenadas sin hacerla parecer irremediablemente complicada y fea, como ponerle lápiz labial a un cerdo. Pero Kretschmann demostró en 1917 que cualquier teoría podía ponerse en forma coordinada independiente, y Cartan demostró en 1923 que esto se podía hacer para la mecánica newtoniana de una manera que no salió particularmente fea. Los físicos de hoy son más propensos a plantear la distinción en términos de “independencia de fondo” (es decir, que una teoría no debe expresarse en términos de un supuesto fondo geométrico) o falta de una “geometría previa” (lo que significa que la curvatura del espacio-tiempo debe provenir de la solución de ecuaciones de campo más bien que ser impuesto por fiat). Pero estos conceptos también se han resistido a la formulación matemática precisa. ¹⁵ Mi sensación es que esta idea general de independencia coordinada o independencia de fondo es como el principio de equivalencia: un principio conceptual crucial que no pierde su importancia solo porque no podemos ponerlo en una caja matemática con una cinta y un lazo. Por ejemplo, los teóricos de cuerdas toman como una seria crítica a su teoría que no es manifiestamente independiente de antecedentes, y uno de sus objetivos es demostrar que tiene una independencia de fondo que simplemente no es obvia en la superficie.

Independencia de coordenadas como opción de calibre

Es instructivo considerar la independencia de coordenadas desde el punto de vista de una teoría de campo. La gravedad newtoniana puede describirse de tres maneras equivalentes: como un campo gravitacional g, como un potencial gravitacional\(\phi\), o como un conjunto de líneas de campo gravitacional. Las líneas de campo nunca son incidentes entre sí, y localmente el campo satisface la ecuación de Poisson. El campo electromagnético tiene propiedades de polarización diferentes a las del campo gravitacional, por lo que lo describimos usando los dos campos (E, B), un par de potenciales, ¹⁶ o dos conjuntos de líneas de campo. Existen condiciones de incidencia similares y ecuaciones de campo local (ecuaciones de Maxwell). Los campos gravitacionales en la relatividad tienen propiedades de polarización desconocidas para Newton, pero la situación es cualitativamente similar a los dos casos anteriores. Consideremos ahora la analogía entre el electromagnetismo y la relatividad. En el electromagnetismo, son los campos los que son directamente observables, por lo que esperamos que los potenciales tengan algunas propiedades extrínsecas. Podemos, por ejemplo, redefinir nuestra tierra eléctrica,\(\Phi \rightarrow \Phi + C\), sin consecuencias observables. Como se discute con más detalle en la Sección 5.6, incluso es posible modificar los potenciales electromagnéticos de una manera totalmente arbitraria y no lineal que cambia de punto a punto en el espacio-tiempo. A esto se le llama una transformación de calibre. En relatividad, las transformaciones de calibre son las transformaciones de coordenadas suaves. Estas transformaciones de calibre distorsionan las líneas de campo sin hacer que se corten entre sí.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dado que las líneas de campo magnético nunca pueden cruzarse, un patrón de campo magnético contiene información independiente de coordenadas en forma de anudado de las líneas. Esta figura muestra el patrón de campo magnético de la estrella SU Aurigae, medido por imágenes Zeeman-Doppler (Petit at al.). Las líneas blancas representan líneas de campo magnético que se cierran sobre sí mismas en las inmediaciones de la estrella; las líneas azules son las que se extienden hacia el medio interestelar.

Nota

Existe el potencial eléctrico familiar\(\phi\), medido en voltios, pero también un potencial vectorial A, que puede haber encontrado o no. Brevemente, el campo eléctrico viene dado no por\(− \nabla \phi\) sino por\(− \nabla \phi − \frac{\partial A}{\partial t}\), mientras que el campo magnético es el rizo de A. Esto se introduce con mayor extensión en la sección 4.2.

Referencias

¹⁵ Giulini, “Algunas observaciones sobre las nociones de covarianza general e independencia de fondo”, arxiv.org/abs/gr-qc/0603087v1