3.E: Geometría Diferencial (Ejercicios)

1. Consideremos un espacio-tiempo que es localmente exactamente como el espacio-tiempo lorentziano estándar descrito en el capítulo 2, pero que tiene una estructura global que difiere de la siguiente manera de la que hemos asumido implícitamente. Este espacio-tiempo tiene propiedad global G: Que dos partículas materiales tengan líneas mundiales que coincidan en el evento A, con cierta velocidad relativa distinta de cero; entonces puede haber algún evento B en el futuro cono de luz de A en el que las líneas mundiales de las partículas coincidan nuevamente. Esto suena como una descripción de algo que esperaríamos que sucediera en el espacio-tiempo curvo, pero veamos si eso es necesario. Queremos saber si esto viola las propiedades de espacio plano L1-L5 en el Apéndice C, si esas propiedades se toman como locales.
   1. Demostrar que no los viola, mediante el uso de un modelo en el que el espacio “se envuelve” como un cilindro.
   2. Consideremos ahora la posibilidad de interpretar L1-L5 como declaraciones globales. ¿Los espacio-tiempos con propiedad G siempre violan L3 si L3 se toma globalmente?
2. Por lo general en la relatividad escogemos unidades en las que c = 1. Supongamos, sin embargo, que queremos usar unidades SI. La convención es que las coordenadas se escriben con índices superiores, de manera que, fijando las coordenadas cartesianas habituales en 1+1 dimensiones del espacio-tiempo, se anota un desplazamiento infinitesimal entre dos eventos (ds ^t, ds ^x). En las unidades SI, los dos componentes de este vector tienen diferentes unidades, lo que puede parecer extraño pero es perfectamente legal. Describir la forma de la métrica, incluyendo las unidades de sus elementos. Describir el vector de índice inferior ds _a.
3. (a) Explique por qué las siguientes expresiones no tienen buena gramática: U _aa, x _a y ^a, p ^a −q ^a. (Recordemos nuestra convención notacional de que los índices latinos representan índices abstractos, de modo que no tendría sentido, por ejemplo, interpretar U _aa como un elemento diagonal ath de U en lugar de como una suma implícita).
   b) ¿Cuál de estos podría ser también una tontería en términos de unidades?
4. Supongamos que un alpinista describe su ubicación usando coordenadas\((\theta, \phi, h)\), representando colatitud, longitud y altitud. Inferir las unidades de los componentes de ds ^a y de los elementos de g _ab y g ^ab. _{Dado que las unidades de trabajo mecánico deben ser newton-metros (ejemplo 5), inferir los componentes de un vector de fuerza F a y su versión de índice superior F ^a.}
5. Generalizar Figura 2.1.8 (2) a tres dimensiones.
6. Supongamos que tienes una colección de lápices, algunos de los cuales han sido afilados más veces que otros para que sean más cortos. Los arrojas todos al suelo en orientaciones aleatorias, y luego se te permite deslizarlos por ahí pero no girarlos. Alguien te pide que hagas una definición de si un juego dado de tres lápices “cancela” o no. Si todos los lápices son tratados por igual (es decir, el orden no importa), y si respetamos la invarianza rotacional de la geometría euclidiana, entonces se verá obligado a reinventar la adición de vectores y definir la cancelación de lápices p, q y r como p + q + r = 0. Hacer algo similar con “lápiz” sustituido por “un par de líneas orientadas como en la Figura 2.1.8 (2).
7. Describir la cantidad g ^a _a. (Tenga en cuenta el índice repetido.)
8. En el Ejemplo 17 se discute la discontinuidad que resultaría si se intentara definir una coordenada de tiempo para el sistema GPS que se sincronizó globalmente de acuerdo con los observadores en el marco giratorio, en el sentido de que los observadores vecinos pudieran verificar la sincronización intercambiando señales electromagnéticas. Calcular esta discontinuidad en el ecuador, y estimar el error resultante en la posición que experimentarían los usuarios de GPS.
9. Resolver la siguiente paradoja.
   La ecuación [3] pretende dar la métrica obtenida por un observador en la superficie de un disco giratorio. Se muestra que esta métrica conduce a un valor no euclidiano para la relación de la circunferencia de un círculo a su radio, por lo que la métrica es claramente no euclidiana. Por lo tanto, un observador local debería ser capaz de detectar violaciones al teorema de Pitágoras.
   Y sin embargo esta métrica se derivó originalmente por una serie de cambios de coordenadas, partiendo de la métrica euclidiana en coordenadas polares, como se deriva en el ejemplo 8. La Sección 3.4 argumentó que las mediciones intrínsecas disponibles en la relatividad no son capaces de detectar un cambio arbitrario suave, uno a uno de las coordenadas. Esto contradice nuestra conclusión anterior de que existen violaciones detectables localmente del teorema de Pitágoras.
10. Este problema se ocupa de las propiedades de la métrica [3].
    1. Un pulso de luz colimada se emite desde el centro del disco en cierta dirección. ¿La pista espacial del pulso forma un geodésico de esta métrica?
    2. Caracterizar el comportamiento de las geodésicas cerca de r =\(\frac{1}{\omega}\).
    3. Un observador en reposo con respecto a la superficie del disco propone verificar la naturaleza no euclidiana de la métrica haciendo pruebas locales en las que se forman triángulos rectos a partir de rayos láser, y se detectan violaciones del teorema de Pitágoras. ¿Funcionará esto?
11. En las primeras décadas de la relatividad, muchos físicos tenían la costumbre de hablar como si la transformación de Lorentz describiera lo que un observador realmente “vería” ópticamente, por ejemplo, con un ojo o una cámara. Este no es el caso, porque hay un efecto adicional debido a la aberración óptica: los observadores en diferentes estados de movimiento no están de acuerdo sobre la dirección desde la que se originó un rayo de luz. Esto es análogo a la situación en la que una persona que conduce en un descapotable observa gotas de lluvia que caen del cielo en ángulo, aunque un observador en la acera las vea como cayendo verticalmente. En 1959, Terrell y Penrose proporcionaron independientemente análisis correctos, ¹⁷ mostrando que en realidad un objeto puede aparecer contraído, expandido o girado, dependiendo de si se acerca al observador, pasa o retrocede. El caso de una esfera es especialmente interesante. Considere los siguientes cuatro casos:
    1. La esfera no está rotando. El centro de la esfera está en reposo. El observador se mueve en línea recta.
    2. La esfera no gira, sino que su centro se mueve en línea recta. El observador está en reposo.
    3. La esfera está en reposo y no gira. El observador se mueve a su alrededor en un círculo cuyo centro coincide con el de la esfera.
    4. La esfera gira, con su centro en reposo. El observador está en reposo.
       
       Penrose demostró que en el caso A, el contorno de la esfera todavía se ve como un círculo, aunque las regiones de la superficie de la esfera aparecen distorsionadas.
       ¿Qué podemos decir sobre la generalización a los casos B, C y D?
12. Este problema involucra una partícula relativista de masa m que también es una onda, como lo describe la mecánica cuántica. Dejar c = 1 y\(\hbar\) = 1 a lo largo. Partiendo de las relaciones de Broglie E =\(\omega\) y p = k, donde k es el número de onda, encuentra la relación de dispersión conectándose\(\omega\) a k Calcular la velocidad del grupo y verificar que sea consistente con las relaciones habituales p = m\(\gamma\) v y E = m\(\gamma\) para m > 0. ¿Qué sale mal si intentas asociar v con la velocidad de fase?

Referencias

¹⁷ James Terrell, “Invisibilidad de la contracción de Lorentz”, Revisión Física 116 (1959) 1045. Roger Penrose, “La forma aparente de una esfera relativisticamente conmovedora”, Actas de la Cambridge Philosophical Society 55 (1959) 139.