4.4: Las leyes de transformación de los tensores

Es posible que deseemos representar un vector en más de un sistema de coordenadas, y convertir de un lado a otro entre las dos representaciones. En la relatividad general, la transformación de las coordenadas no necesita ser lineal, como en las transformaciones de Lorentz; puede ser cualquier función suave, uno a uno. Por simplicidad, sin embargo, comenzamos por considerar el caso unidimensional, y asumiendo que las coordenadas están relacionadas de manera afín,

\[x'^{\mu} = ax^{\mu} + b.\]

La adición de la constante\(b\) es meramente un cambio en la elección del origen, por lo que no tiene ningún efecto sobre los componentes del vector, pero la dilatación por el factor\(a\) da un cambio en la escala, lo que resulta en\(v'^{\mu} = av^{\mu}\) un vector contravariante. En el caso especial donde\(v\) es un desplazamiento infinitesimal, esto es consistente con el resultado encontrado por diferenciación implícita de la transformación de coordenadas. Para un vector contravariante,\(v'_{\mu} = \frac{1}{a} v_{\mu}\). Generalizando a más de una dimensión, y a una transformación posiblemente no lineal, tenemos

\[v'^{\mu} = v^{\kappa} \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}} \label{[1]}\]

\[v'_{\mu} = v_{\kappa} \frac{\partial x'^{\kappa}}{\partial x^{\mu}} \label{[2]}\]

Obsérvese la inversión de la derivada parcial en una ecuación comparada con la otra. Debido a que estas ecuaciones describen un cambio de un sistema de coordenadas a otro, claramente dependen del sistema de coordenadas, por lo que usamos índices griegos en lugar de los latinos que indicarían una ecuación independiente de coordenadas. Obsérvese que la letra\(\mu\) en estas ecuaciones siempre aparece como un índice referente a las nuevas coordenadas,\(\kappa\) a las antiguas. Por esta razón, podemos salirnos con la suya dejando caer los primos y escribir, por ejemplo, en\(v^{\mu} = \frac{v^{\kappa} \partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}\) lugar de\(v'\) contar con el contexto para mostrar que\(v^{\mu}\) es el vector expresado en las nuevas coordenadas,\( v^{\kappa}\) en las antiguas. Esto se vuelve especialmente natural si comenzamos a trabajar en un sistema de coordenadas específico donde las coordenadas tienen nombres. Por ejemplo, si transformamos de coordenadas (t, x, y, z) a (a, b, c, d), entonces es claro que\(v^t\) se expresa en un sistema y\(v^c\) en el otro.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Recordemos que las transformaciones de calibre permitidas en la relatividad general no son cualquier transformación de coordenadas; deben ser (1) suaves y (2) uno a uno. Relacionar ambos requisitos con las características de las leyes de transformación vectorial anteriores.

En la Ecuación\ ref {[2]},\(\mu\) aparece como un subíndice en el lado izquierdo de la ecuación, pero como un superíndice a la derecha. Esto parecería violar nuestras reglas de notación, pero la interpretación aquí es que en expresiones de la forma\(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\) y\(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\), los superíndices y subíndices deben entenderse como volteados. De manera similar, la Ecuación\ ref {[1]} parece tener la suma implícita sobre κ escrita sin gramaticalmente, con ambos\(\kappa\) apareciendo como superíndices. Normalmente sólo tenemos sumas implícitas en las que el índice aparece una vez como superíndice y una vez como subíndice. Con nuestra nueva regla para interpretar índices en la parte inferior de los derivados, se ve que la suma implícita está escrita correctamente. Esta regla es similar a la de analizar las unidades de derivadas escritas en notación Leibniz, con, por ejemplo,\(\frac{d^{2} x}{dt^{2}}\) tener unidades de metros por segundo al cuadrado. Es decir, el volteo de los índices como este se requiere para la consistencia para que todo funcione correctamente cuando cambiemos nuestras unidades de medida, haciendo que todos nuestros componentes vectoriales sean reescalados.

Una cantidad\(v\) que se transforma según las ecuaciones\ ref {[1]} o\ ref {[2]} se denomina tensor rank-1, que es lo mismo que un vector.

Ejemplo 17: La transformación de la identidad

En el caso de la transformación de identidad\(x'^{\mu} = x^{\mu}\), la Ecuación\ ref {[1]} da claramente v' = v, ya que todas las derivadas parciales mixtas\(\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}\) con\(\mu \neq \kappa\) son cero, y todas las derivadas para\(\kappa = \mu\) igual 1.

En Ecuación\ ref {[2]}, es tentador escribir

\[\frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} = \frac{1}{\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\kappa}}} \quad (wrong!),\]

¡pero esto daría infinitos resultados para los términos mixtos! Sólo en el caso de funciones de una sola variable es posible voltear derivadas de esta manera; no funciona para derivadas parciales. Para evaluar estas derivadas parciales, tenemos que invertir la transformación (que en este ejemplo es trivial de lograr) y luego tomar las derivadas parciales.

La métrica es un tensor de rango 2, y se transforma de manera análoga:

\[g_{\mu \nu} = g_{\kappa \lambda} \frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x'^{\nu}}\]

escribir g en lugar de g' a la izquierda, porque el contexto deja clara la distinción).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Autocomprobación: Escribe las expresiones similares para\(g^{\mu \nu}, g^{\mu}_{\nu}\), y\(g^{\nu}_{\mu}\), que están completamente determinadas por las reglas gramaticales para escribir superíndices y subíndices. Interpretar el caso de un tensor rank-0.

Ejemplo 18: ¿Un sistema de coordenadas acelerado?

Veamos el efecto en la métrica lorentziana g de la transformación

\[t' = t \qquad x' = x + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

La transformación inversa es

\[t = t' \qquad x = x' - \frac{1}{2} at'^{2} \ldotp\]

La ley de transformación del tensor da

\[g'_{t' t'} = 1 - (at')^{2}\]

\[g'_{x' x'} = -1\]

\[g'_{x' t'} = -at' \ldotp\]

Claramente sucede algo malo en\(at' = ±1\), cuando la velocidad relativa sobrepasa a la velocidad de la luz: el\(t'\) componente de la métrica se desvanece y luego invierte su signo. Esto sería físicamente irrazonable si consideramos esto como una transformación del marco lorentziano del observador A en el marco de referencia acelerado del observador B a bordo de una nave espacial que siente una aceleración constante. Varias cosas impiden tal interpretación:

1. B no puede exceder la velocidad de la luz.
2. Incluso antes de que B llegue a la velocidad de la luz, la coordenada\(t'\) no puede corresponder al tiempo adecuado de B, que está dilatado.
3. Debido a la dilatación del tiempo, A y B no coinciden en la velocidad a la que B se está acelerando. Si B mide su propia aceleración como a', A la juzgará como a < a', con a → 0 a medida que B se acerca a la velocidad de la luz.

No hay nada inválido en el sistema de coordenadas (t', x'), pero tampoco tiene ninguna interpretación físicamente interesante.

Ejemplo 19: Aceleración constante físicamente significativa

Para hacer una versión físicamente más significativa del ejemplo 18, necesitamos usar el resultado del ejemplo 4. La derivación algo desordenada de la transformación de coordenadas es dada por Semay. ¹¹ El resultado es

\[t' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \sinh at\]

\[x' = \left(x + \dfrac{1}{a}\right) \cosh at\]

La aplicación de la ley de transformación del tensor da (problema 7):

\[g'_{t' t'} = (1 + ax')^{2}\]

\[g'_{x' x'} = -1\]

A diferencia del resultado del ejemplo 18, éste nunca se porta mal. El tema estrechamente relacionado de un campo gravitacional uniforme en la relatividad general se considera en el problema 7.

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¹¹ arxiv.org/abs/fisics/0601179

Ejemplo 20: Señales de temporización precisas

La relación entre el potencial A y los campos E y B dados en la sección 4.2 puede escribirse en forma manifiestamente covariante como

\[F_{ij} = \partial _{[i}A_{j]}\]

donde F, llamado tensor electromagnético, es un tensor antisimétrico de rango dos cuyos seis componentes independientes corresponden de cierta manera con los componentes de los tres vectores E y B. Si F desaparece completamente en cierto punto del espacio-tiempo, entonces la forma lineal de las leyes de transformación del tensor garantiza que desaparecerá en todos los sistemas de coordenadas, no solo en uno. El sistema GPS aprovecha este hecho en la transmisión de señales de temporización de los satélites a los usuarios. La onda electromagnética se modula de manera que los bits que transmite están representados por inversiones de fase de la onda. En estas inversiones de fase, F se desvanece, y esta desaparición es cierta independientemente del movimiento de la unidad del usuario o su posición en el campo gravitacional de la tierra. Cf. problema 17.

Ejemplo 21: Momentum quiere un índice más bajo

^{_{En el ejemplo 5, vimos que una vez que elegimos arbitrariamente escribir medidas de regla en tres espacios euclidianos como\(\Delta\) x a en lugar de\(\Delta\) x a, se hizo natural pensar en la fuerza newtoniana threevector como “querer” ser anotado con un índice más bajo.}} Podemos hacer algo similar con el momentum 3- o 4-vector. El lagrangiano es un escalar relativista, y en la mecánica lagrangiana el impulso se define por\(p_{a} = \frac{\partial L}{\partial v^{a}}\). El índice superior en el denominador de la derecha se convierte en un índice inferior a la izquierda por el mismo razonamiento que se empleó en la notación de las leyes de transformación del tensor. La segunda ley de Newton muestra que esto es consistente con el resultado del ejemplo 5.