4.5: Pruebas experimentales

Universalidad del Comportamiento Tensor

Las técnicas desarrolladas en este capítulo nos permiten hacer una variedad de nuevas predicciones que se pueden probar por experimento. En general, el tratamiento matemático de todos los observables en la relatividad como tensores significa que todos los observables deben obedecer las mismas leyes de transformación. Esta es una afirmación sumamente estricta, pues requiere que una amplia variedad de sistemas físicos muestren un comportamiento idéntico. Por ejemplo, ya mencionamos en la sección 2.5 el experimento de la sonda de gravedad B de 2007 (discutido en detalle en las secciones 5.5 y 6.2), en el que se observó que cuatro giroscopios a bordo de un satélite habían precedido debido a efectos relativistas especiales y generales. Los giroscopios eran sistemas electromecánicos complicados, pero la precesión predicha fue completamente independiente de estas complicaciones. Argumentamos que si dos tipos diferentes de giroscopios mostraran comportamientos diferentes, entonces la discrepancia resultante nos permitiría trazar un campo vectorial misterioso. Este campo sería una característica incorporada del espacio-tiempo (no producido por ningún objeto físico cercano), y como todos los observables en la relatividad general se supone que son tensores, el campo tendría que transformarse como tensor. Digamos que este tensor era de rango 1. Dado que la ley de transformación del tensor es lineal, un tensor distinto de cero nunca se puede transformar en un tensor que se desvanece en otro sistema de coordenadas. Pero por el principio de equivalencia, cualquier propiedad especial, local del espacio-tiempo puede hacerse desaparecer transformándose en un marco de referencia de caída libre, en el que el espacio-tiempo es tiene una geometría lorentziana genérica. Por lo tanto, el misterioso nuevo campo debería desaparecer en tal marco. Esto es una contradicción, por lo que concluimos que diferentes tipos de giroscopios no pueden diferir en su comportamiento.

Este es un ejemplo de una nueva forma de afirmar el principio de equivalencia: no hay forma de asociar un campo tensor preferido con el espacio-tiempo. ¹²

Nota

Esta afirmación del principio de equivalencia, junto con las otras que hemos encontrado, se resume en el Apéndice C.

Velocidad de la luz que difiere de c

En una teoría invariante de Lorentz, interpretamos c como una propiedad del espacio-tiempo subyacente, no de las partículas que lo habitan. Una forma en la que la invarianza de Lorentz podría ser violada sería si diferentes tipos de partículas tuvieran diferentes velocidades máximas. En 1997, Coleman y Glashow sugirieron una prueba sensible para tal efecto. ¹³

Suponiendo la invarianza de Lorentz, un fotón no puede descomponerse en un electrón y un positrón (ejemplo 12):

\[ \gamma → e^{+} + e^{−}\]

Supongamos, sin embargo, que las partículas de material tienen una velocidad máxima c _m = 1, mientras que los fotones tienen una velocidad máxima c _p > 1. Entonces el cuatro vector de impulso del fotón, (E,\(\frac{E}{c_{p}}\)) es similar al tiempo, por lo que sí existe un marco en el que su triple impulso es cero. La detección de gammas de cósmicra de fuentes distantes con energías del orden de 10 TeV pone un límite superior en la tasa de decaimiento, lo que implica

\[c_p −1 \lesssim 10^{−15}.\]

Se puede poner un límite aún más estricto a la posibilidad de c _p < 1. Cuando una partícula cargada se mueve a través de un medio a una velocidad mayor que la velocidad de la luz en el medio, resulta radiación Cerenkov. Si\(c_p\) es menor que 1, entonces la radiación Cerenkov podría ser emitida por partículas cargadas de alta energía en un vacío, y las partículas perderían energía rápidamente. La observación de protones de rayos cósmicos con energías ∼ 10 ⁸ TeV requiere

\[c_p − 1 \lesssim −10^{−23}.\]

Materia Degenada

Las propiedades directas del impulso cuatro vectores tienen implicaciones sorprendentemente de largo alcance para la materia sujeta a presiones extremas, como en una estrella que consume todo su combustible para la fusión nuclear y colapsa. Estas implicaciones fueron consideradas inicialmente demasiado exóticas para ser tomadas en serio por los astrónomos. Para una perspectiva histórica, consideremos que en 1916, cuando Einstein publicó la teoría de la relatividad general, se creía que la Vía Láctea constituía todo el universo; se creía que las “nebulosas espirales” estaban dentro de ella, en lugar de ser objetos similares exteriores a ella. Los únicos tipos de estrellas cuya estructura se entendía incluso vagamente fueron las que eran más o menos análogas a nuestro propio sol. (No se sabía que la fusión nuclear era su fuente de energía). El término “enana blanca” no había sido inventado, y se desconocían las estrellas de neutrones.

Una estrella ordinaria y pequeña como el nuestro propio sol tiene suficiente hidrógeno para sostener reacciones de fusión durante miles de millones de años, manteniendo un equilibrio entre su gravedad y la presión de sus gases. Cuando se agota el hidrógeno, tiene que comenzar a fusionar elementos más pesados. Esto lleva a un periodo de fluctuaciones relativamente rápidas en la estructura. La fusión nuclear avanza hasta la formación de elementos tan pesados como el oxígeno (Z = 8), pero las temperaturas no son lo suficientemente altas como para superar la fuerte repulsión eléctrica de estos núcleos para crear aún más pesados. Parte de la materia se sopla, pero finalmente cesan las reacciones nucleares y la estrella colapsa bajo la atracción de su propia gravedad.

Para entender lo que sucede en tal colapso, tenemos que entender el comportamiento de los gases bajo presiones muy altas. En general, una superficie A dentro de un gas está sujeta a colisiones en un tiempo t desde las n partículas que ocupan el volumen V = Avt, donde v es la velocidad típica de las partículas. La presión resultante viene dada por P ∼\(\frac{npv}{V}\), donde p es el momento típico.

Definición

• Gas no degenerado: En un gas ordinario como el aire, las partículas son no relativistas, entonces\(v = \frac{p}{m}\), y la energía térmica por partícula es\(\frac{p^{2}}{2m} ∼ kT\), entonces la presión es\(P ∼ \frac{nkT}{V}\).
• Gas no relativista y degenerado: Cuando un gas fermiónico está sujeto a una presión extrema, los efectos dominantes que crean presión son cuántico-mecánicos. Debido al principio de exclusión de Pauli, el volumen disponible para cada partícula es\(∼ \frac{V}{n}\), por lo que su longitud de onda no es más que\(∼ (\frac{V}{n})^{1/3}\), conduciendo a\(p = \frac{h}{\lambda} ∼ h(\frac{n}{V})^{1/3}\). Si las velocidades de las partículas siguen siendo no relativistas, entonces\(v = \frac{p}{m}\) aún se mantiene, por lo que la presión se vuelve\(P ∼ (\frac{h^{2}}{m})(\frac{n}{V})^{5/3}\).
• Gas relativista, degenerado: Si la compresión es lo suficientemente fuerte como para causar un movimiento altamente relativista para las partículas, entonces v ≈ c, y el resultado es\(P ∼ hc(\frac{n}{V})^{4/3}\).

A medida que una estrella con la masa de nuestro sol colapsa, llega a un punto en el que los electrones comienzan a comportarse como un gas degenerado, y el colapso se detiene. El objeto resultante se llama enana blanca. Una enana blanca debe ser un cuerpo extremadamente compacto, aproximadamente del tamaño de la Tierra. Debido a su pequeña superficie, debería emitir muy poca luz. En 1910, antes de que se hicieran las predicciones teóricas, Russell, Pickering y Fleming descubrieron que 40 Eridani B tenían estas características. Russell recordó: “Yo sabía lo suficiente al respecto, incluso en estos días paleozoicos, para darme cuenta de inmediato que había una inconsistencia extrema entre lo que entonces habríamos llamado valores 'posibles' del brillo y densidad de la superficie. Debo haber demostrado que no solo estaba perplejo sino caído, ante esta excepción a lo que parecía una regla muy bonita de características estelares; pero Pickering me sonrió y me dijo: 'Son solo estas excepciones las que llevan a un avance en nuestro conocimiento', ¡y así las enanas blancas entraron al reino del estudio!”

S. Chandrasekhar demostró en esa década de 1930 que había un límite superior a la masa de una enana blanca. Recapitularemos brevemente su cálculo en forma condensada de orden de magnitud. La presión en el núcleo de la estrella es P ∼ ρgr ∼ GM2/R4, donde M es la masa total de la estrella. La estrella contiene aproximadamente el mismo número de neutrones, protones y electrones, por lo que M = Knm, donde m es la masa del electrón, n es el número de electrones, y K ≈ 4000. Para las estrellas cercanas al límite, los electrones son relativistas. Al establecer la presión en el núcleo igual a la presión de degeneración de un gas relativista, encontramos que el límite de Chandrasekhar es\(∼ (\frac{hc}{G})^{3/2} (Km)^{−2} = 6M_{\odot}\). Un cálculo menos descuidado da algo más como 1.4M. La autoconsistencia de esta solución se investiga en el problema de tarea 15.

Figura\(\PageIndex{1}\) - Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995)

¿Qué pasa con una estrella cuya masa está por encima del límite de Chandrasekhar? A medida que las reacciones de fusión nuclear parpadean, el núcleo de la estrella se convierte en una enana blanca, pero una vez que la fusión cesa por completo esto no puede ser un estado de equilibrio. Consideremos ahora las reacciones nucleares

\[n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}\]

\[p + e^{-} \rightarrow n + \nu,\]

que ocurren debido a la débil fuerza nuclear. El primero de estos libera 0.8 MeV, y tiene una vida media de 14 minutos. Esto explica por qué los neutrones libres no se observan en números significativos en nuestro universo, por ejemplo, en los rayos cósmicos. La segunda reacción requiere una entrada de 0.8 MeV de energía, por lo que un átomo de hidrógeno libre es estable. La enana blanca contiene núcleos bastante pesados, no protones individuales, pero parecerían aplicarse consideraciones similares. Un núcleo puede absorber un electrón y convertir un protón en un neutrón, y en este contexto el proceso se llama captura de electrones. Ordinariamente este proceso solo ocurrirá si el núcleo es deficiente en neutrones; una vez que alcanza una relación neutronto-protón que optimiza su energía de unión, la captura de neutrones no puede continuar sin una fuente de energía para hacer que la reacción vaya. En el ambiente de una enana blanca, sin embargo, existe tal fuente. La aniquilación de un electrón abre un agujero en el “mar de Fermi”. Ahora hay un estado en el que se permite que caiga otro electrón sin violar el principio de exclusión, y el efecto cae en cascada hacia arriba. En una estrella con una masa por encima del límite de Chandrasekhar, este proceso se completa hasta su finalización, y cada protón se convierte en neutrón. El resultado es una estrella de neutrones, que es esencialmente un núcleo atómico (con Z = 0) ¡con la masa de una estrella!

La evidencia observacional de la existencia de estrellas de neutrones llegó en 1967 con la detección por Bell y Hewish en Cambridge de una misteriosa señal de radio con un periodo de 1.3373011 segundos. La observabilidad de la señal se sincronizó con la rotación de la tierra en relación con las estrellas, más que con el tiempo legal del reloj o la rotación de la tierra en relación con el sol. Esto llevó a la conclusión de que su origen estaba en el espacio más que en la tierra, y Bell y Hewish originalmente la denominaron LGM-1 para “hombrecitos verdes”. El descubrimiento de una segunda señal, desde una dirección diferente en el cielo, los convenció de que en realidad no era una señal artificial generada por extraterrestres. Bell publicó la observación como apéndice de su tesis doctoral, y pronto se interpretó como una señal de una estrella de neutrones. Las estrellas de neutrones pueden estar altamente magnetizadas, y debido a esta magnetización pueden emitir un haz direccional de radiación electromagnética que barre a través del cielo una vez por período de rotación: el “efecto faro”. Si la tierra se encuentra en el plano del haz, se puede detectar una señal periódica, y la estrella se denomina púlsar. Es bastante fácil ver que el corto periodo de rotación dificulta explicar un púlsar como cualquier tipo de objeto giratorio menos exótico. En la aproximación de la mecánica newtoniana, un cuerpo esférico de densidad\(\rho\), que gira con un período\(T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}\), tiene gravedad aparente cero en su ecuador, ya que la gravedad es lo suficientemente fuerte como para acelerar un objeto de manera que siga una trayectoria circular por encima de un punto fijo en la superficie ( problema 14). En realidad, los cuerpos astronómicos de tamaño planetario y mayor se mantienen unidos por su propia gravedad, por lo que tenemos\(T \gtrsim \frac{1}{\sqrt{G \rho}}\) para cualquier cuerpo que no se separe espontáneamente debido a su propia rotación. En el caso del púlsar Bell-Hewish, esto implica\(\rho \gtrsim 10^{10}\) kg/m ³, que es mucho mayor que la densidad de la materia normal, y también 10-100 veces mayor que la densidad típica de una enana blanca cercana al límite de Chandrasekhar.

Un límite superior en la masa de una estrella de neutrones se puede encontrar de una manera totalmente análoga al cálculo del límite de Chandrasekhar. La única diferencia es que la masa de un neutrón es mucho mayor que la masa de un electrón, y los neutrones son las únicas partículas presentes, por lo que no hay factor de K. Suponiendo el resultado más preciso de 1.4M _\(\odot\)para el límite de Chandrasekhar en lugar de nuestro descuidado, e ignorando el interacción de los neutrones a través de la fuerza nuclear fuerte, podemos inferir un límite superior en la masa de una estrella de neutrones:

\[1.4 M_{\odot} \left(\dfrac{Km_{e}}{m_{n}}\right)^{2} \approx 5 M_{\odot}\]

Las incertidumbres teóricas en tal estimación son bastante grandes. Tolman, Oppenheimer y Volkoff lo estimaron originalmente en 1939 como 0.7M _\(\odot\), mientras que las estimaciones modernas están más en el rango de 1.5 a 3M _\(\odot\). Estos son significativamente inferiores a nuestra estimación bruta de 5M _\(\odot\), principalmente porque la naturaleza atractiva de la fuerte fuerza nuclear tiende a tirar de la estrella hacia el colapso. Resultados inequívocos son actualmente imposibles debido a las incertidumbres al extrapolar el comportamiento de la fuerza fuerte del régimen de núcleos ordinarios, donde ha sido relativamente bien parametrizada, al ambiente exótico de una estrella de neutrones, donde la densidad es significativamente diferente y no hay protones presente. Hay una variedad de efectos que pueden ser difíciles de anticipar o de calcular. Por ejemplo, Brown y Bethe encontraron en 1994 ¹⁴ que podría ser posible que el límite de masa se revisara drásticamente debido al proceso e ^{− → K −} +\(\nu_{e}\), que es imposible en el espacio libre debido a la conservación de energía, pero podría ser posible en una estrella de neutrones. Observacionalmente, casi todas las estrellas de neutrones parecen estar en un rango de masa sorprendentemente pequeño, entre 1.3 y 1.45M _\(\odot\), pero en 2010 se _\(\odot\)descubrió una estrella de neutrones con una masa de 1.97 ± .04 M, descartando la mayoría de los modelos de estrellas de neutrones que incluían materia exótica. ¹⁵

Para las estrellas con masas por encima del límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff, las predicciones teóricas se vuelven aún más especulativas. Se ha propuesto una variedad de objetos extraños, incluyendo estrellas negras, gravastares, estrellas de quark, estrellas de bosón, bolas Q y estrellas electrodébiles.

Parece probable, sin embargo, tanto por motivos teóricos como observacionales, que los objetos con masas de alrededor de 3 a 20 masas solares terminen como agujeros negros; ver sección 6.3.

Referencias

¹³ arxiv.org/abs/hep-ph/9703240

¹⁴ H.A. Bethe y G.E. Brown, “Restricciones observacionales sobre la masa estelar máxima de neutrones”, Astrophys. J. 445 (1995) L129. G.E. Brown y H.A. Bethe, “Un escenario para un gran número de agujeros negros de baja masa en la galaxia”, Astrophys. J. 423 (1994) 659. Ambos trabajos están disponibles en adsabs.harvard.edu.

¹⁵ Demorest et al., arxiv.org/abs/1010.5788v1.