4.7: Cosas que no son del todo tensores

Esta sección se puede omitir en una primera lectura.

Densidades de área, volumen y tensor

Nos hemos embarcado en un programa de redefinición de cada cantidad física posible como tensor, pero hasta ahora no hemos abordado área y volumen. ¿Hay, por ejemplo, un tensor de área en un plano localmente euclidiano? Se nos anima a esperar que exista tal cosa, porque en el Ejemplo 3 vimos que podíamos cocinar una medida de área sin otros ingredientes que los axiomas de geometría afina. ¿Qué tipo de tensor sería? Las nociones de vector y escalar de la mecánica de primer año se distinguen entre sí por el hecho de que uno tiene una dirección en el espacio y el otro no. Por lo tanto, esperamos que esa área sea un escalar, es decir, un tensor rank-0. Pero esto no puede ser correcto, por la siguiente razón. Bajo una reescalación de coordenadas cartesianas por un factor k, el área debe cambiar por un factor de k ². Pero por las leyes de transformación del tensor, se supone que un tensor de rango 0 es invariante bajo un cambio de coordenadas. Por lo tanto, concluimos que cantidades como área y volumen no son tensores.

En el lenguaje de vectores y escalares ordinarios en tres espacios euclidianos, una forma de expresar área y volumen es mediante el uso de productos punteados y cruzados. El área del paralelogramo abarcada por u y v se mide por el vector de área u × v, y de manera similar el volumen del paralelepípedo formado por u, v y w se puede calcular como el producto triple escalar u · ( v × w). Ambas cantidades se definen de tal manera que intercambiar dos de las entradas anula la salida. En geometría diferencial, sí tenemos un producto escalar, que se define contrayendo los índices de dos vectores, como en u ^a v _a. Si también tuviéramos un producto cruzado tensorial, podríamos definir tensores de área y volumen, por lo que concluimos que no existe un producto cruzado tensorial, es decir, una operación que multiplicaría dos tensores rank-1 para producir un tensor rank-1. Dado que una de las aplicaciones físicas más importantes del producto cruzado es calcular el momento angular L = r × p, encontramos que el momento angular en la relatividad no es un tensor o no un tensor de rank-1.

Cuando alguien te dice que es imposible hacer algo aparentemente sencillo, la respuesta típica es buscar una manera de sortear la supuesta limitación. En el caso de un plano local euclidiano, ¿qué es lo que nos impide hacer una pequeña plaza estándar y luego deslizar la plaza a cualquier ubicación deseada? Si tenemos alguna figura cuya área deseamos medir, entonces podemos diseccionarla en cuadrados de ese tamaño y contar el número de cuadrados.

Hay dos problemas con este plan, ninguno de los cuales es completamente insuperable. Primero, el vector de área u × v es un vector, con su orientación especificada por la dirección de la normal a la superficie. Necesitamos esta orientación, por ejemplo, cuando calculamos el flujo eléctrico como\(\int\) E · d A. La Figura 4.6.1 muestra que no siempre podemos definir tal orientación de manera consistente. Cuando el sistema de coordenadas x − y se desliza alrededor de la tira de Möbius, termina con la orientación opuesta. En la relatividad general, no hay ninguna garantía de orientabilidad en el espacio — ¡ni siquiera en el tiempo! Pero la gran mayoría de los espacio-tiempos de interés físico son de hecho orientables en todas las formas deseadas, e incluso para los que no lo son, la orientabilidad aún se mantiene en cualquier vecindario suficientemente pequeño.

Figura\(\PageIndex{1}\) - Una tira de Möbius no es una superficie orientable.

El otro problema es que el área tiene las propiedades de escalado incorrectas para ser un tensor de rango 0. Podemos sortear este problema estando dispuestos a discutir cantidades que no se transforman exactamente como tensores. A menudo solo nos importan las transformaciones, como las rotaciones y las traducciones, que no implican ningún escalado. Vimos en la sección 2.2 que los impulsores de Lorentz también tienen la propiedad especial de preservar área en un plano espacio-tiempo que contiene el impulso. Por lo tanto, definimos una densidad de tensores como una cantidad que se transforma como un tensor bajo rotaciones, traslaciones y aumentos, pero que resalta y posiblemente voltea su signo bajo otro tipo de transformaciones de coordenadas. En general, el factor adicional proviene del determinante d de la matriz que consiste en las derivadas parciales\(\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\) (llamada matriz jacobiana). Este determinante se eleva a una potencia W, conocida como el peso de la densidad del tensor. El peso cero corresponde al caso de un tensor real. La definición del signo de W no está estandarizada en la literatura. La convención en este libro es la utilizada por Carroll y Weinberg, pero el signo opuesto es usado, por ejemplo, por Misner, Thorne y Wheeler, y en el artículo de Wikipedia “Densidad de tensores”.

Ejemplo 22: Área como densidad de tensor

En un plano euclidiano, acortar a nuestros gobernantes por un factor de k hace que el área medida en las nuevas coordenadas aumente en un factor de k ². El reescalado está representado por una matriz de derivados parciales que es simplemente kI, donde I es la matriz de identidad. El determinante es k ². Por lo tanto, el área es una densidad de tensor de peso +1.

Ejemplo 23: Densidad de masa

Un trozo de papel de aluminio como un cierto número de miligramos por centímetro cuadrado. Reducir las reglas por\(\frac{1}{k}\) hace que este número disminuya en k ⁻², por lo que esta densidad de masa tiene W = −1.

En la caracterización del apt de Weyl, ¹⁷ tensores representan intensidades, mientras que las densidades de tensores miden la cantidad.

El símbolo de Levi-Civita

Aunque no existe un producto cruzado vectorial tensorial, podemos definir una operación similar cuya salida es una densidad de tensor. Esto se expresa más fácilmente en términos del símbolo Levi-Civita\(\epsilon\). (Ver sección 3.3 para información biográfica sobre Levi-Civita.)

En n dimensiones, el símbolo Levi-Civita tiene n índices. Se define de manera que sea totalmente asimétrica, en el sentido de que si se intercambian dos de los índices cualesquiera, su signo voltea. Esto es suficiente para definir el símbolo completamente a excepción de una escala general, que se fija tomando arbitrariamente uno de los elementos que no se desvanecen y establecerlo en +1. Para ver que esto es suficiente para definir\(\epsilon\) completamente, primero tenga en cuenta que debe desaparecer cuando se repite algún índice. Por ejemplo, en tres dimensiones etiquetadas por\(\kappa, \lambda\), y no\(\mu, \epsilon_{\kappa \lambda \lambda}\) se modifica bajo un intercambio del segundo y tercer índices, pero también debe voltear su signo bajo esta operación, lo que significa que debe ser cero. Si nos fijamos arbitrariamente\(\epsilon_{\kappa \lambda \mu} = +1\), entonces el intercambio de los índices segundo y tercero da\(\epsilon_{\kappa \mu \lambda} = −1\), y un intercambio adicional de los rendimientos primero y segundo\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda} = +1\). Cualquier permutación de los tres índices distintos puede alcanzarse desde cualquier otro mediante una serie de tales swaps por pares, y el número de swaps es singularmente impar o par. ¹⁸ En las coordenadas cartesianas en tres dimensiones, es convencional elegir\(\epsilon_{xyz} = +1\) cuando x, y y z forman un sistema de coordenadas espaciales diestros. En cuatro dimensiones, tomamos\(\epsilon_{txyz}\) = +1 cuando t es futuro-tiempo y (x, y, z) son diestros.

En el triespacio euclidiano, en coordenadas tales que g = diag (1, 1, 1), el vector cruza el producto A = u × v, donde tenemos en mente la interpretación de A como área, se puede expresar como\(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\).

Nota

Para una prueba, consulte el artículo de Wikipedia “Paridad de una permutación”.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Autocomprobación: Verifique que esto coincida con la definición más familiar del producto cruzado vectorial.

Ahora supongamos que queremos generalizar a espacios curvos, donde g no puede ser constante. Hay dos formas de proceder.

Tensorial\(\epsilon\)

Una es dejar\(\epsilon\) tener los valores 0 y ±1 en algún punto elegido arbitrariamente, en algún sistema de coordenadas arbitrariamente elegido, pero dejar que se transforme como un tensor. Entonces\(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\) necesita ser modificado, ya que el lado derecho es un tensor, y eso haría de A un tensor, pero si A es un área no queremos que se transforme como un 1-tensor. Por lo tanto, necesitamos revisar la definición de área a ser\(A_{\mu} = g^{−1/2} \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\), donde g es el determinante de la forma de índice inferior de la métrica. Los siguientes dos ejemplos justifican este procedimiento en un triespacio local euclidiana.

Ejemplo 24: Escalado de coordenadas con tensorial\(\epsilon\)

Luego escalando las coordenadas por k escala todos los elementos de la métrica por k ⁻², g por k ⁻⁶, g ^−1/2 por k ³,\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda}\) por k ⁻³, y\(u^{\kappa} v^{\lambda}\) por k ². El resultado es escalar A _\(\mu\)por k ⁺³⁻³⁺² = k ², lo que tiene sentido si A es un área.

Ejemplo 25: coordenadas oblicuas con tensorial\(\epsilon\)

En coordenadas oblicuas (ejemplo 9), los dos vectores base tienen longitud unitaria pero están en ángulo\(\phi \neq \frac{\pi}{2}\) entre sí. El determinante de la métrica es g = sin ²\(\phi\), entonces\(\sqrt{g} = \sin \phi\), que es exactamente el factor de corrección necesario para obtener el área correcta cuando u y v son los dos vectores base.

Este procedimiento funciona de manera más general, siendo la única modificación que en un espacio como uno localmente lorentziano donde g < 0 necesitamos usar\(\sqrt{−g}\) como factor de corrección en lugar de\(\sqrt{g}\).

Densidad de tensor\(\epsilon\)

La otra opción es dejar\(\epsilon\) tener los mismos valores 0 y ±1 en todos los puntos. Entonces claramente no es un tensor, porque no escala por un factor de k ⁿ cuando las coordenadas son escaladas por k;\(\epsilon\) es una densidad de tensor con peso −1 para la versión de índice superior y +1 para la de índice inferior. La relación\(A_{\mu} = \epsilon_{\mu \kappa \lambda} u^{\kappa} v^{\lambda}\) da un área que es una densidad de tensor, no un tensor, porque A no se escribe en términos de cantidades puramente tensoriales. Escalar las coordenadas por k deja\(\epsilon_{\mu \kappa \lambda}\) sin cambios, escala hacia arriba\(u^{\kappa} v^{\lambda}\) en k ² y escala el área por k ², como se esperaba.

Desafortunadamente, no hay consistencia en la literatura en cuanto a si\(\epsilon\) debe ser un tensor o una densidad de tensor. Algunos autores definen tanto una versión tensora como una no tensora, con anotaciones como\(\epsilon\) y\(\tilde{\epsilon}\), o ¹⁹\(\epsilon_{0123}\) y [0123]. Otros evitan escribir la carta\(\epsilon\) por completo. ²⁰ La versión tensor-densidad es conveniente porque siempre sabemos que su valor es 0 o ±1. La versión tensora tiene la ventaja de que se transforma como tensor.

Volumen de espacio-tiempo

Vimos en la sección 2.2 que el área en el plano 1 + 1-dimensional del espacio-tiempo plano es preservada por un impulso de Lorentz. Esto tiene sentido porque cuando expresamos el área abarcada por un paralelogramo con bordes p y q como\(\epsilon^{ab} p_{a} s_{b}\), todos los índices se han contraído, dejando una densidad tensora rank-0. En 3 + 1 dimensiones, tenemos el volumen espacio-tiempo V =\(\epsilon^{abcd} p_{a} q_{b} r_{c} s_{d}\) abarcado por el paralelepípedo con bordes p, q, r y s. Una situación típica en la que este volumen es distinto de cero sería aquella en la que uno de los vectores es parecido al tiempo y los otros tres espaciales. Que el timelike one sea p. Supongamos |p| = 1, ya que un ejemplo con | p | ≠ 1 puede reducirse a esto escalando. Entonces p puede interpretarse como el vector de velocidad de algún observador, y V como el volumen espacial que dice el observador se extiende por el 3-paralellepiado con bordes q, r y s.

Momentum Angular

Como se discutió anteriormente, el momento angular no puede ser un tensor de rango 1. Un enfoque es definir un tensor de momento angular de rank-2 L ^ab = r ^a p ^b − r ^b p ^a.

En un marco cuyo origen se mueve instantáneamente junto con el centro de masa de cierto sistema en un momento determinado, los componentes espacio-tiempo de L desaparecen, y los componentes L ^yz, L ^zx y L ^xy coinciden en el límite no relativista con los componentes x, y y z del Vector de momento angular newtoniano. También podemos definir un objeto tridimensional\(L^{a} = \epsilon_{abc} L^{bc}\) (con densidad de tensor tridimensional\(\epsilon\) en las dimensiones espaciales) que no se transforma como un tensor.

Referencias

¹⁷ Hermann Weyl, “Espacio-Tiempo-Materia”, 1922, p. 109, disponible en línea en archive.org/details/spacetimematter00weyluoft.

¹⁹ Misner, Thorne y Wheeler

²⁰ Hawking y Ellis