4.E: Tensores (Ejercicios)

1. Describir las cuatro velocidades de un fotón.
2. El Gran Colisionador de Hadrones está diseñado para acelerar protones a energías de 7 TeV. Encuentra 1 − v para tal protón.
3. Demostrar que un electrón en vacío no puede absorber un fotón. (Esta es la razón por la que la capacidad de los materiales para absorber gammarays depende fuertemente del número atómico Z. El caso de Z = 0 corresponde al vacío.)
4. (a) Para un objeto que se mueve en círculo a velocidad constante, el producto puntual de los tres vectores clásicos v y a es cero. Dar una interpretación en términos del teorema de la energía cinética de trabajo. b) En el caso de cuatro vectores relativistas, v ⁱ a _i = 0 para cualquier línea mundial. Dar una interpretación similar. Sugerencia: encontrar la tasa de cambio de la magnitud cuadrada de las cuatro velocidades.
5. Partiendo de las coordenadas (t, x) que tienen una métrica lorentziana g, transforma el tensor métrico en coordenadas reflejadas (t', x') = (t, −x), y verifica que g' es lo mismo que g.
6. Partiendo de coordenadas (t, x) que tienen una métrica lorentziana g, transforma el tensor métrico en coordenadas potenciadas por Lorentz (t', x'), y verifica que g' es lo mismo que g.
7. Verificar la transformación de la métrica dada en el ejemplo 19.
8. Un escéptico afirma que el experimento de Hafele-Keating solo puede explicarse correctamente por la relatividad en un marco en el que el eje de la tierra está en reposo. Demostrar matemáticamente que esto es incorrecto. ¿Importa si el marco es inercial?
9. Asumir la métrica g = diag (+1, +1, +1). ¿Cuál de los siguientes expresa correctamente la propiedad no conmutativa de la multiplicación matricial ordinaria?
10. El Ejemplo 10 introdujo el mar de Dirac, cuya existencia está implicada por las dos raíces de la relación relativista\(E = \pm \sqrt{p^{2} + m^{2}}\). Demostrar que un impulso de Lorentz nunca transformará un estado de energía positiva en un estado de energía negativa.
11. En la sección 4.2, encontramos el desplazamiento Doppler relativista en 1+1 dimensiones. Extiende esto a 3+1 dimensiones, y verifica tu resultado con el dado por Einstein en el Apéndice A.
12. Estimar la energía contenida en el campo eléctrico de un electrón, si el radio del electrón es r. Clásicamente (es decir, asumiendo la relatividad pero no la mecánica cuántica), esta energía contribuye a la masa de reposo del electrón, por lo que debe ser menor que la masa de reposo. Estimar el límite inferior resultante en r, que se conoce como el radio electrónico clásico.
13. Para los rayos gamma en el rango MeV, el modo más frecuente de interacción con la materia es la dispersión Compton, en la que el fotón es dispersado por un electrón sin ser absorbido. Solo se deposita parte de la energía de la gamma, y la cantidad está relacionada con el ángulo de dispersión. Utilizar la conservación de cuatro momentos para mostrar que en el caso de dispersión a 180 grados, el fotón disperso tiene energía E' = E/ (1+2E/m), donde m es la masa del electrón.
14. Derivar la ecuación T =\(\sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}\) dada en la sección 4.4 para el periodo de un objeto esférico giratorio que resulte en gravedad aparente cero en su superficie.
15. La sección 4.4 presentó una estimación del límite superior sobre la masa de una enana blanca. Verificar la autoconsistencia de la solución en los siguientes aspectos: (1) ¿Por qué es válido ignorar la contribución de los núcleos a la presión de degeneración? (2) Aunque los electrones son ultrarelativistas, el espacio-tiempo se aproxima como plano. Como se sugiere en el ejemplo 14, una comprobación razonable de orden de magnitud sobre este resultado es la que deberíamos tener\(\frac{M}{r} << \frac{c^{2}}{G}\).
16. Las leyes de la física en nuestro universo implican que para los cuerpos con cierto rango de masas, una estrella de neutrones es el estado de equilibrio único. Supongamos que sabíamos de la existencia de estrellas de neutrones, pero no conocíamos la masa del neutrón. Inferir límites superior e inferior sobre la masa del neutrón.
17. El Ejemplo 20 introdujo brevemente el potencial electromagnético de cuatro vectores F _ij, y esto define implícitamente las propiedades de transformación de los campos eléctrico y magnético bajo un refuerzo de Lorentz v. Al orden más bajo en v, esta transformación viene dada por $$\ begin {split}\ textbf {E} '&\ approx\ textbf {E} +\ textbf {v}\ times\ textbf {B}\ qquad y\\ textbf {B}' &\ approx\ textbf {B} -\ textbf {v}\ times\ textbf {E}\ ldotp\ end {split} $$No soy historiador de la ciencia, pero aparentemente ca. 1905 personas como Hertz creía que estas eran las transformaciones exactas del campo. ²¹ Demostrar que esto no puede ser el caso, porque realizar dos de esas transformaciones seguidas no da como resultado en general una transformación de la misma forma.
18. Sabemos de partículas masivas, cuyos vectores de velocidad siempre se encuentran dentro del futuro cono de luz, y partículas sin masa, cuyas velocidades se encuentran sobre él. En principio, podríamos tener una tercera clase de partículas, llamadas taquiones, con vectores de velocidad similares al espacio. Los taquiones tendrían m ² < 0, es decir, sus masas tendrían que ser imaginarias. Demostrar que es posible escoger momentum cuatro vectores p ₁ y p ₂ para un par de taquiones tal que p ₁ + p ₂ = 0. Esto implica que el vacío sería inestable con respecto a la creación espontánea de pares taquión-antitaquión.

Referencias

²¹ Montigny y Rousseaux, arxiv.org/abs/physics/0512200.