6.1: Horizontes de eventos

Una manera aparentemente trivial de generar soluciones a las ecuaciones de campo en vacío es simplemente comenzar con un espacio-tiempo lorentziano plano y hacer un cambio de coordenadas. Esto puede parecer inútil, ya que simplemente daría una nueva descripción (y probablemente una menos conveniente y descriptiva) del mismo espacio-tiempo viejo, aburrido, plano. Resulta, sin embargo, que algunas cosas muy interesantes pueden suceder cuando hacemos esto.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una moneda suiza conmemorativa muestra la ecuación del campo vacío.

El horizonte de eventos de un observador acelerado

Consideremos el observador uniformemente acelerado descrito en el ejemplo 4 y en el ejemplo 19. Recordando estos resultados anteriores, tenemos para la ecuación de movimiento de la nave en un marco inercial

\[x = \frac{1}{a} (\sqrt{1 + a^{2} t^{2}} - 1),\]

y para la métrica en el marco del barco

\[\begin{align} g'_{t' t'} &= (1 + ax')^{2} \\ g'_{x' x'} &= -1 \ldotp \end{align}\]

Dado que esta métrica se derivó por un cambio de coordenadas de una métrica de espacio plano, y la curvatura de Ricci es una propiedad intrínseca, esperamos que esta también tenga curvatura Ricci cero. Esto es sencillo de verificar. Los símbolos que no se desvanecen de Christoffel son

\[\Gamma^{t'}_{x' t'} = \frac{a}{1 + ax'} \]

y

\[\Gamma^{x'}_{t' t'} = a (1 + ax') \ldotp\]

Los únicos elementos del tensor Riemann que parecen ser distintos de cero son\(R^{t'}_{t'x'x'}\) y\(R^{x'}_{t'x't'}\), pero ambos de hecho desaparecen.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Autocomprobación: Verifica estos hechos.

Este ejercicio aparentemente rutinario nos lleva ahora a un territorio muy interesante. Muy atrás en la sección 1.1, conjeturamos que no todos los eventos podrían estar ordenados por tiempo: es decir, que podrían existir eventos en el espacio-tiempo 1 y 2 de tal manera que 1 no puede causar 2, pero tampoco 2 puede causar 1. Ahora tenemos suficientes herramientas matemáticas a nuestra disposición para ver que efectivamente así es.

Observamos que x (t) se acerca a la asíntota\(x = \frac{t−1}{a}\). Esta asíntota tiene una pendiente de 1, por lo que puede interpretarse como la línea mundial de un fotón que persigue al barco pero nunca lo alcanza del todo. Cualquier evento a la izquierda de esta línea nunca puede tener una relación causal con ningún evento en la línea mundial del barco. El espacio-tiempo, visto por un observador en el barco, se ha dividido por una cortina en dos partes causalmente desconectadas. Este límite se llama horizonte de eventos. Su existencia es relativa a la línea mundial de un observador particular. Un observador que no esté acelerando junto con el barco sí considera que existe un horizonte de eventos. Aunque este ejemplo particular de la nave espacial que se acelera indefinidamente tiene algunas características físicamente inverosímiles (por ejemplo, la nave tendría que quedarse sin combustible algún día), los horizontes de eventos son cosas reales. En particular, veremos en la sección 6.3 que los agujeros negros tienen horizontes de eventos.

Interpretando todo en las coordenadas (t', x') atadas a la nave, el componente métrico g' _t't' desaparece en\(x' = − \frac{1}{a}\). Un observador a bordo del buque razona de la siguiente manera. Si empiezo con un head-start de\(\frac{1}{a}\) relativo a algún evento, entonces la parte timelike de la métrica en ese evento desaparece. Si el evento marca la emisión de una partícula material, entonces no hay manera posible de que la línea mundial de esa partícula tenga\(ds^2 > \) 0. Si tuviera que detectar una partícula emitida en ese evento, violaría las leyes de la física, ya que las partículas materiales deben tener\(ds^2 > 0\), por lo que concluyo que nunca observaré tal partícula. Dado que todo esto se aplica a cualquier partícula material, independientemente de su masa m, también debe aplicarse en el límite\(m → 0\), es decir, a fotones y otras partículas sin masa. Por lo tanto nunca podré recibir una partícula emitida por este evento, y de hecho parece que no hay manera de que ese evento, o cualquier otro evento detrás del horizonte de eventos, tenga algún efecto sobre mí. En mi marco de referencia, parece que los conos de luz cerca del horizonte se vuelcan hasta el punto que sus futuros conos de luz se encuentran completamente en la dirección que se aleja de mí.

Figura\(\PageIndex{2}\) - Una nave espacial (worldline curva) se mueve con una aceleración percibida como constante por sus pasajeros. El fotón (línea recta del mundo) se acerca cada vez más al barco, pero nunca alcanzará del todo.

Ya hemos visto en el Ejemplo 14 que un ingenuo argumento newtoniano sugiere la existencia de agujeros negros; si un cuerpo es suficientemente compacto, la luz no puede escapar de él. En un tratamiento relativista, esto debe describirse como un horizonte de eventos.

Paradoja de la Información

La existencia de horizontes de eventos en la relatividad general tiene profundas implicaciones, y en particular ayuda a explicar por qué es tan difícil conciliar la relatividad general con la mecánica cuántica, a pesar de casi un siglo de intentos valientes. La mecánica cuántica tiene una propiedad llamada unitaridad. Matemáticamente, esto dice que si se da el estado de un sistema mecánico cuántico, en cierto momento, en forma de vector, entonces su estado en algún momento futuro se puede predecir aplicando una matriz unitaria a ese vector. Una matriz unitaria es la generalización a números complejos del concepto ordinario de una matriz ortogonal, y esencialmente solo representa un cambio de base, en el que los vectores base tienen longitud unitaria y son perpendiculares entre sí.

Para ver lo que esto significa físicamente, considere los siguientes no ejemplos. La matriz

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

no es unitario, porque sus filas y columnas no son vectores ortogonales con longitudes unitarias. Si esta matriz representara la evolución temporal de un sistema mecánico cuántico, entonces su significado sería que cualquier partícula en el estado número 1 quedaría sola, pero cualquier partícula en el estado 2 desaparecería. Cualquier información transportada por partículas en estado 2 se pierde para siempre y nunca puede ser recuperada. Esto también viola la simetría de inversión de tiempo de la mecánica cuántica.

Otra matriz no unitaria es:

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}\]

Aquí, cualquier partícula en estado 2 se incrementa en amplitud por un factor de\(\sqrt{2}\), lo que significa que se duplica en probabilidad. Es decir, se clona la partícula. Este es el problema opuesto al que plantea la primera matriz, y es igualmente problemático en términos de simetría temporal eversal y conservación de la información. En realidad, si pudiéramos clonar una partícula de esta manera, violaría el principio de incertidumbre de Heisenberg. Podríamos hacer dos copias de la partícula, y luego medir la posición de una copia y el impulso de la otra, cada una con precisión ilimitada. Esto violaría el principio de incertidumbre, por lo que creemos que no se puede hacer. Esto se conoce como el teorema de no clonación. ¹

Nota

Ahn et al. han demostrado que el teorema de no clonación es violado en presencia de curvas cerradas similares al tiempo: arxiv.org/abs/1008.0221v1

La existencia de horizontes de eventos en la relatividad general viola la unitariedad, porque permite destruir la información. Si una partícula es arrojada detrás de un horizonte de eventos, nunca podrá ser recuperada.

Radiación de horizontes de eventos

En interesante giro sobre la situación fue introducido por Bill Unruh en 1976. Observadora\(B\) a bordo de la nave espacial acelerada cree en el principio de equivalencia, por lo que sabe que las propiedades locales del espacio en el horizonte de eventos parecerían completamente normales y lorentzianas a un observador local\(A\). (Lo mismo se aplica al horizonte de un agujero negro.) En particular,\(B\) sabe que\(A\) verían parejas de partículas virtuales siendo creadas y destruidas espontáneamente en el vacío local. Esto es simplemente una manifestación de la forma tiempo-energía del principio de incertidumbre,\(\Delta E \Delta t \le h\). Ahora supongamos que se crea un par de partículas, pero una se crea frente al horizonte y otra detrás de él. Para\(A\), se trata de partículas virtuales que tendrán que ser aniquiladas dentro del tiempo\(\Delta\) t, pero según\(B\) la creada frente al horizonte eventualmente alcanzará a la nave espacial, y se podrá observar ahí, aunque se desplazará al rojo. La cantidad de corrimiento al rojo viene dada por

\[\sqrt{g'_{t' t'}} = \sqrt{(1+ax')^{2}}.\]

Digamos que el par se crea justo cerca del horizonte, a\(x' = − \frac{1}{a}\). Por el principio de incertidumbre, cada una de las dos partículas se extiende sobre una región de espacio de tamaño\(\Delta x'\). Al tratarse de fotones, que viajan a la velocidad de la luz, la incertidumbre en la posición es esencialmente la misma que la incertidumbre en el tiempo. El corrimiento al rojo del fotón hacia adelante sale como un\(\Delta\) x' = a\(\Delta\) t', que por el principio de incertidumbre debería ser al menos\(\frac{ha}{E}\), de manera que cuando el fotón es observado por B, su energía es

\[E(\frac{ha}{E}) = ha.\]

Figura\(\PageIndex{3}\): Bill Unruh.

Ahora B ve un fondo uniforme de fotones, con energías de alrededor de ha, siendo emitidas aleatoriamente desde el horizonte. Se están emitiendo desde el espacio vacío, por lo que parece plausible creer que no codifican ninguna información en absoluto; son completamente aleatorias. Una superficie que emite un granizo de fotones completamente al azar (es decir, máxima entropía) es un radiador de cuerpo negro, por lo que esperamos que los fotones tengan un espectro de cuerpo negro, con su pico a una energía de aproximadamente ha. Este pico está relacionado con la temperatura del cuerpo negro por E ∼ kT, donde k es la constante de Boltzmann. Se concluye que el horizonte actúa como un radiador de cuerpo negro con una temperatura T ∼\(\frac{ha}{k}\). El tratamiento más cuidadoso por parte de Unruh demuestra que la relación exacta es\(T = \frac{ha}{4 \pi^{2} k}\), o\(\frac{ha}{4 \pi^{2} kc}\) en unidades SI.

Una observación importante aquí es que no sólo diferentes observadores no están de acuerdo sobre el número de cuantos que están presentes (lo cual es cierto en el caso de los desplazamientos Doppler ordinarios), sino también sobre el número de cuantos en el vacío. B ve fotones que según A no existen.

Consideremos algunos ejemplos del mundo real de grandes aceleraciones:

	aceleración (m/s ^2)	temperatura del horizonte (K)
bala disparada desde un arma de fuego	10 ^3	10 ^-17
electrón en un CRT	10 ^7	10 ^-13
plasmas producidos por pulsos láser intensos	10 ^21	10
protón en un núcleo de helio	10 ^27	10 ^8

Para detectar la radiación Unruh experimentalmente, idealmente nos gustaría poder acelerar un detector y dejar que detecte la radiación. Esto es claramente poco práctico. La tercera línea muestra que es posible impartir aceleraciones lineales muy grandes a las partículas subatómicas, pero entonces solo se puede esperar inferir el efecto de la radiación Unruh indirectamente por su efecto sobre las partículas. Como se muestra en la línea final, los ejemplos de aceleraciones no lineales extremadamente grandes no son difíciles de encontrar, pero la interpretación de la radiación Unruh para el movimiento no lineal no está clara. Un resumen de las perspectivas para la detección experimental directa de este efecto es dado por Rosu. ² Este tipo de experimentos es claramente extremadamente difícil, pero es una de las pocas maneras en que uno podría esperar obtener una visión empírica directa, bajo condiciones controladas, en la interfaz entre la gravedad y la mecánica cuántica.

Referencias

² http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9605032