6.4: Agujeros Negros (Parte 1)

Singularidades

Una característica provocativa de la métrica Schwarzschild es que tiene elementos que explotan en\(r = 0\) y en\(r = 2m\). Si se trata de una descripción del sol, por ejemplo, entonces estas singularidades no tienen ningún significado físico, ya que solo resolvimos la ecuación de campo de Einstein para la región de vacío fuera del sol, mientras que\(r = 2m\) quedaría a unos 3 km del centro del sol. Además, es posible que una o ambas de estas singularidades no sean más que un lugar donde nuestro sistema de coordenadas se comporta mal. Esto se conocería como una singularidad de coordenadas. Por ejemplo, la métrica de las coordenadas polares ordinarias en un plano euclidiano tiene\(g^{\theta \theta} → \infty\) como\(r → 0\).

Una forma de probar si una singularidad es una singularidad de coordenadas es calcular una medida escalar de curvatura, cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas. Podemos tomar el rastro del tensor Ricci,\(R^a_a\), conocido como la curvatura escalar o escalar de Ricci, pero como el tensor Ricci es cero, no es de extrañar que eso sea cero. Un escalar diferente que podemos construir es el producto\(R^{abcd}R_{abcd}\) del tensor Riemann consigo mismo. A esto se le conoce como la invariante de Kretschmann. El comando Maxima lriemann (true) muestra los componentes que no se desvanecen de R _abcd El componente que se comporta mal más severamente en r = 0 es R _trrt =\(\frac{2m}{r^{3}}\). Debido a esto, la invariante de Kretschmann explota como\(r^{−6}\) como\(r → 0\). Esto demuestra que la singularidad a r = 0 es una singularidad física real.

La singularidad en\(r = 2m\), por otro lado, resulta ser sólo una singularidad coordinada. Para demostrarlo, tenemos que utilizar alguna técnica que no sea la construcción de medidas escalares de curvatura. Incluso si cada escalar que construimos es finito en\(r = 2m\), eso no prueba que cada escalar que podríamos construir también se comporta bien. En cambio, podemos buscar algún otro sistema de coordenadas en el que expresar la solución a las ecuaciones de campo, uno en el que no aparece tal singularidad. Un cambio parcialmente exitoso de coordenadas para la métrica Schwarzschild, encontrado por Eddington en 1924, es (ver problema 8):

\[t → t' = t − 2m \ln(r −2m).\]

Esto hace que la métrica covariante sea finita en\(r = 2m\), aunque la métrica contravariante aún explota ahí arriba. Un cambio más complicado de coordenadas que elimina por completo la singularidad en\(r = 2m\) fue encontrado por Eddington y Finkelstein en 1958, estableciendo que la singularidad era sólo una singularidad de coordenadas. Así, si un observador es tan desafortunado como para caer en un agujero negro, no será sometido a infinitas tensiones mareales —ni infinitas nada— en\(r = 2m\). Puede que no note nada especial en absoluto sobre su entorno local. (O puede que ya esté muerto porque las tensiones mareales en\(r > 2m\), aunque finitas, fueron sin embargo lo suficientemente grandes como para matarlo).

Horizonte de eventos

A pesar de que\(r = 2m\) no es una singularidad real, ahí suceden cosas interesantes. Porque\(r < 2m\), el signo de\(g_{tt}\) se vuelve negativo, mientras que\(g_{rr}\) es positivo. En nuestra firma + − −−, ésta tiene la siguiente interpretación. Para la línea mundial de una partícula material,\(ds^2\) se supone que es el cuadrado del tiempo adecuado de la partícula, y siempre debe ser positiva. Si una partícula tuviera un valor constante de\(r\), para\(r < 2m\), tendría\(ds^2 < 0\), lo cual es imposible.

Los caracteres temporales y espaciales de las\(t\) coordenadas\(r\) y se han intercambiado, por lo que\(r\) actúa como una coordenada de tiempo.

Así para un objeto lo suficientemente compacto que\(r = 2m\) es exterior,\(r = 2m\) es un horizonte de eventos: los conos de luz futuros se vuelcan hasta el momento que no permiten que las relaciones causales conecten con el espacio-tiempo exterior. En la relatividad, los horizontes de eventos no ocurren solo en el contexto de los agujeros negros; sus propiedades, y algunas de las implicaciones para los agujeros negros, ya han sido discutidas en la sección 6.1.

La dilatación gravitacional del tiempo en el campo Schwarzschild, relativa a un reloj al infinito, viene dada por la raíz cuadrada del\(g_{tt}\) componente de la métrica. Esto va a cero en el horizonte de eventos, lo que significa que, por ejemplo, un fotón emitido desde el horizonte de eventos se desplazará infinitamente al rojo cuando llegue a un observador en el infinito. Esto tiene sentido, porque el fotón es entonces indetectable, tal como lo sería si hubiera sido emitido desde dentro del horizonte de eventos.

Materia infalible

Si la materia está cayendo en un agujero negro, entonces debido a la dilatación del tiempo un observador en el infinito “ve” que la materia se ralentiza cada vez más a medida que se acerca al horizonte. Esto tiene algunos efectos contrarios a la intuición. Una partícula radialmente infalling tiene

\[\frac{d^{2} r}{dt^{2}} > 0\]

una vez que cae más allá de cierto punto, lo que podría interpretarse como una repulsión gravitacional. El observador en el infinito también puede ser llevado a describir el agujero negro como que consiste en una cáscara de materia vacía y esférica que nunca llegó del todo a través del horizonte. Si se le pregunta qué sostiene el caparazón, el observador podría decir que está sostenido por la repulsión gravitacional.

En realidad no hay nada malo en nada de esto, pero uno debe darse cuenta de que solo es una descripción posible en un posible sistema de coordenadas. Un observador que se cierne justo fuera del horizonte de eventos ve una imagen completamente diferente, con la materia cayendo a velocidades que se acercan a la velocidad de la luz cuando llega al horizonte de eventos. Si un átomo emite un fotón desde el horizonte de eventos, el observador que se cierne lo ve como un desplazamiento infinito al rojo, pero explica el desplazamiento al rojo como cinemático en lugar de gravitacional.

Podemos imaginar todavía a un tercer observador, uno que cae libre junto con la infalible materia. Según este observador, el campo gravitacional es siempre cero, y solo toma un tiempo finito pasar por el horizonte de eventos.

Si se ha formado un agujero negro a partir del colapso gravitacional de una nube de materia, entonces algunos de nuestros observadores pueden decir que “ahora mismo” la materia se ubica en una concha esférica en el horizonte de eventos, mientras que otros pueden decir que se concentra en una singularidad infinitamente densa en el centro. Dado que la simultaneidad no está bien definida en la relatividad, no es sorprendente que no estén de acuerdo sobre lo que está sucediendo “ahora mismo”. Independientemente de donde digan que esté el asunto, todos coinciden en la curvatura del espacio-tiempo. De hecho, el teorema de Birkhoff nos dice que cualquier vacío esféricamente simétrico espacio-tiempo es Schwarzschild en forma, así que no importa dónde digamos que esté la materia, siempre y cuando esté distribuido de manera esféricamente simétrica y rodeado de vacío.

Una manera particularmente agradable de resumir y entender estos temas es con el uso de un diagrama de Penrose, como se discute en la sección 7.3.

Formación Esperada

Einstein y Schwarzschild no creían, sin embargo, que ninguna de estas características de la métrica Schwarzschild fuera más que una curiosidad matemática, y el término “agujero negro” no fue inventado hasta el 1967, por John Wheeler. Hay bastante evidencia en estos días de que nuestro universo sí contiene objetos que han sufrido un colapso gravitacional completo, en el sentido de que su masa M está contenida dentro de un radio\(r \lesssim M\) (en unidades geométricas). Estos objetos son probablemente agujeros negros, aunque recientemente se han planteado dudas sobre si en realidad son otros objetos como las singularidades desnudas. ¹⁰ Suponiendo que los agujeros negros sí existen, también está la cuestión de en qué tamaños vienen.

Podríamos esperar ingenuamente que como la gravedad es una fuerza atractiva, habría una tendencia a que cualquier nube primordial de gas o polvo colapse espontáneamente en un agujero negro. Pero nubes de menos de aproximadamente 0.1M _\(\odot\)(0.1 masas solares) forman planetas, que logran un equilibrio permanente entre la gravedad y la presión interna. Los objetos más pesados inician la fusión nuclear, pero aquellos con masas superiores a aproximadamente 100M _\(\odot\)son inmediatamente destrozados por sus propios vientos solares. En el rango de 0.1 a 100M _\(\odot\), se forman estrellas. Como se discute en la sección 4.4, se espera que aquellos con masas mayores a unos pocos M _\(\odot\)formen agujeros negros cuando mueren. Por lo tanto, esperamos, sobre bases teóricas, que el universo contenga agujeros negros con masas que van desde unas pocas masas solares hasta unas pocas decenas de masas solares.

Evidencia observacional

Se espera que un agujero negro sea un objeto muy compacto, con un campo gravitacional fuerte, que no emita ninguna luz propia. Un agujero negro desnudo y aislado sería difícil de detectar, excepto quizás a través de su lente de rayos de luz que pasan por él. Pero si se produce un agujero negro en un sistema estelar binario, es posible que la masa sea transferida al agujero negro de su compañero, si la evolución del compañero hace que se expanda en un gigante y se entrometa en el pozo de gravedad del agujero negro. El gas infalible entonces se calentaría y emitiría radiación antes de desaparecer detrás del horizonte de eventos (Figura\(\PageIndex{1}\)). El objeto conocido como Cygnus X-1 es el ejemplo mejor estudiado. Este objeto emisor de rayos X fue descubierto por un experimento basado en cohetes en 1964. Es parte de un sistema de doble estrella, siendo el otro miembro un supergigante azul. Orbitan su centro de masa común con un periodo de 5.6 días. La órbita es casi circular, y tiene un eje semimajor de aproximadamente 0.2 veces la distancia de la tierra al sol. La aplicación de la ley de períodos de Kepler a estos datos restringe la suma de las masas, y el conocimiento de la estructura estelar fija la masa del supergigante. El resultado es que la masa de Cygnus X-1 es mayor que aproximadamente 10 masas solares, y esto se confirma por múltiples métodos. Dado que esto está muy por encima del límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff, se cree que Cygnus X-1 es un agujero negro, y sus emisiones de rayos X se interpretan como la radiación del disco de material sobrecalentado que se acumula sobre él de su compañero. Se cree que tiene más del 90% del máximo giro posible para un agujero negro de su masa. ¹¹

Figura\(\PageIndex{1}\): Un agujero negro acumula materia de una estrella compañera. (Dominio Público; NASA).

Alrededor del cambio del siglo XXI, se encontraron nuevas evidencias de la prevalencia de agujeros negros supermasivos cerca de los centros de casi todas las galaxias, incluida la nuestra. Cerca del centro de nuestra galaxia se encuentra un objeto llamado Sagitario A*, detectado porque las estrellas cercanas orbitan a su alrededor. Los datos orbitales muestran que Sagitario A* tiene una masa de alrededor de cuatro millones de masas solares, confinadas dentro de una esfera con un radio menor a 2.2 × 10 ⁷ km. No existe un modelo astrofísico conocido que pudiera impedir el colapso de un objeto tan compacto en un agujero negro, ni existe ningún modelo plausible que permita que tanta masa exista en equilibrio en un espacio tan pequeño, sin emitir suficiente luz para ser observable.

Sorprende la existencia de agujeros negros supermasivos. Las nubes de gas con masas mayores a aproximadamente 100 masas solares normalmente no pueden formar estrellas estables, por lo que los agujeros negros supermasivos no pueden ser el punto final de la evolución de las estrellas pesadas. Las fusiones de múltiples estrellas para formar objetos más masivos son generalmente estadísticamente improbables, ya que una estrella es un objetivo tan pequeño en relación con la distancia entre las estrellas. Una vez que los astrónomos fueron confrontados con el hecho empírico de su existencia, se propuso una variedad de mecanismos para su formación. Poco se sabe sobre cuál de estos mecanismos es correcto, aunque la existencia de cuásares en el universo primitivo se interpreta como evidencia de que la masa se acumuló rápidamente sobre agujeros negros supermasivos en las primeras etapas de la evolución de las galaxias. A partir de 2016, una explicación que llamó mucho la atención es que en el universo primitivo, hubo un breve periodo en el que las condiciones ambientales permitieron la creación de agujeros negros supermasivos por colapso directo. ¹²

Un escéptico podría objetar que aunque Cygnus X-1 y Sagitario A* son más compactos de lo que se cree posible para una estrella de neutrones, esto no prueba necesariamente que sean agujeros negros. En efecto, se han propuesto teorías especulativas en las que podrían existir objetos exóticos que son intermedios en compacidad entre agujeros negros y estrellas de neutrones. Estas criaturas hipotéticas tienen nombres como estrellas negras, gravastares, estrellas de quark, estrellas de bosón, bolas Q y estrellas electrodébiles. Si bien no hay evidencia de que estas teorías tengan razón o que estos objetos existan, nos encontramos ante la cuestión de cómo determinar si un objeto dado es realmente un agujero negro o una de estas otras especies. La característica definitoria de un agujero negro es que tiene un horizonte de eventos más que una superficie física. Actualmente tenemos dos formas de sondear la estructura de estas estrellas en los radios donde la relatividad general predice la existencia de un horizonte de eventos.

Si un objeto no es un agujero negro, entonces por conservación de energía cualquier materia que caiga sobre él debe liberar su energía potencial gravitacional cuando golpea esa superficie. Cygnus X-1 tiene un abundante suministro de materia que cae sobre él de su compañero supergigante, y Sagitario A* también acumula una enorme cantidad de gas del viento estelar de estrellas cercanas. Al analizar las observaciones milimétricas e infrarrojas de interferometría basal muy larga, Broderick, Loeb y Narayan ¹³ han demostrado que si Sagitario A* tuviera una superficie, entonces la luminosidad de esta superficie debe ser inferior al 0.3% de la luminosidad del disco de acreción. Pero esto no es físicamente posible, porque existen límites fundamentales en la eficiencia con la que el gas puede irradiar su energía antes de chocar con la superficie. Por lo tanto, podemos concluir que Sagitario A* debe tener un horizonte de eventos. Su horizonte de eventos puede ser imaginado directamente en un futuro próximo. ¹⁴

Un segundo enfoque es a través de la observación de ondas gravitacionales. Como se discutió con más detalle en el ch. 9, 2016 vio la primera observación directa de ondas gravitacionales. La forma de onda que se detectó (Figura 9.2.2) encaja muy bien con las predicciones de relatividad general para la fusión de dos agujeros negros. Parece muy poco probable que se haya producido una forma de onda con esta escala de tiempo y forma característica, a menos que la descripción de los agujeros negros de la relatividad general sea correcta en detalle.

Singularidades y Censura Cósmica

Ideas informales

Ya que observamos que los agujeros negros realmente existen, tal vez deberíamos tomarnos en serio la singularidad en r = 0. Físicamente, dice que ahí la densidad de masa y las fuerzas mareales explotan hasta el infinito.

Generalmente cuando una teoría física dice que las cantidades observables explotan hasta el infinito en un punto determinado, significa que la teoría ha llegado al punto en el que ya no puede hacer predicciones físicas. Por ejemplo, la teoría del electromagnetismo de Maxwell predice que el campo eléctrico explota como r ⁻² cerca de una carga puntual, y esto implica que la energía infinita se almacena en el campo dentro de un radio finito alrededor de la carga. Físicamente, esto no puede ser correcto, porque sabemos que solo se necesitan 511 keV de energía para crear un electrón de la nada, por ejemplo, en la desintegración beta nuclear. La paradoja se resuelve mediante la electrodinámica cuántica, que modifica la descripción del vacío alrededor del electrón para incluir un mar de partículas virtuales que entran y salen de la existencia.

En el caso de una singularidad de agujero negro, es posible que los efectos mecánicos cuánticos en la escala de Planck impidan la formación de una singularidad. Desafortunadamente, es poco probable que encontremos alguna evidencia empírica al respecto, ya que los agujeros negros siempre parecen venir vestidos en horizontes de eventos, por lo que los observadores externos no podemos extraer ningún dato sobre la singularidad interior. Incluso si hacemos un viaje suicida a un agujero negro, no obtenemos datos sobre la singularidad, porque la singularidad en la métrica Schwarzschild es espacial, no temporal, y por lo tanto siempre yace en nuestro futuro cono de luz, nunca en nuestro pasado.

En cierto modo, la inaccesibilidad de las singularidades es algo bueno. Si existe una singularidad, es un punto en el que todas las leyes conocidas de la física se descomponen, y los físicos, por lo tanto, no tienen forma de predecir nada sobre su comportamiento. Tampoco hay una gran crisis para la física por la singularidad del Big Bang o la singularidad del Big Crunch que se da en algunas cosmologías en las que el universo se recolapsa; no tenemos expectativas razonables de poder hacer y probar predicciones o retrodicciones que se extiendan más allá del principio o fin de el universo.

Lo que sería un golpe aplastante a la empresa de la física sería una singularidad que pudiera sentarse en el escritorio de alguien. Como dice John Earman de la Universidad de Pittsburgh, cualquier cosa podría salir de una singularidad tan “desnuda” (definida formalmente más adelante), incluyendo el limo verde o tus calcetines perdidos.

La conjetura de censura cósmica de Penrose establece que las leyes de la física impiden la formación de singularidades desnudas a partir de condiciones iniciales no singulares y genéricas. “Genérico” es una adición necesaria a la formulación original de Penrose en 1969, ya que Choptuik demostró en 1993 que ciertas condiciones iniciales perfectamente afinadas permitieron colapsar a una singularidad desnuda. ¹⁵ A partir de 2017, se están acumulando pruebas de que la censura cósmica es falsa. Esto se discute con mayor profundidad más adelante.

Definiciones formales

El resto de esta subsección proporciona una exposición más formal de las definiciones relativas a las singularidades. Se puede omitir sin pérdida de continuidad.

La razón por la que nos importan las singularidades es que indican una incompletitud de la teoría, y la incapacidad de la teoría para hacer predicciones. Una de las cosas más simples que podríamos pedir a cualquier teoría sería predecir las trayectorias de las partículas de prueba. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell predicen correctamente el movimiento de un electrón en un campo magnético uniforme, pero no logran predecir el movimiento de un electrón que choca de frente con un positrón. Podría haber sido natural que alguien en la era de Maxwell (suponiendo que se le informara sobre la existencia de positrones y se le dijera que asumiera que ambas partículas eran puntuales) adivinar que las dos partículas se dispersarían una a través de la otra a\(\theta\) = 0, sus velocidades momentáneamente se volvían infinitas. Pero habría sido igualmente natural que esta persona se negara a hacer una predicción.

De igual manera, si una partícula golpea una singularidad de agujero negro, no debemos esperar que la relatividad general haga una predicción definitiva. No lo hace, porque la ecuación geodésica se descompone.

Por lo tanto, nos gustaría definir una singularidad como una situación en la que las geodésicas de las partículas de prueba no pueden extenderse indefinidamente. Pero, ¿qué significa “indefinidamente”? Si la partícula de prueba es un fotón, entonces la longitud métrica de su línea mundial es cero. Obtenemos esto definiendo la longitud en términos de un parámetro afín.

Definición

Se dice que un espacio-tiempo es geodésicamente incompleto si existen geodésicas similares al tiempo o a la luz que no pueden extenderse más allá de algún parámetro afín finito hacia el pasado o el futuro.

Esta también es una definición de trabajo bastante buena de lo que queremos decir cuando decimos que un espacio-tiempo contiene una singularidad, aunque puede que no sea óptimo para todos los efectos. ¹⁶ El espacio-tiempo Schwarzschild tiene una singularidad en r = 0, pero no en el horizonte de eventos, ya que las geodésicas continúan sin problemas más allá del horizonte de eventos. Los espacio-tiempos cosmológicos contienen una singularidad del Big Bang que impide que la geodésica se extienda más allá de cierto punto del pasado.

Las singularidades reales que implican incompletitud geodésica deben distinguirse de las singularidades coordinadas, que en realidad no son singularidades en absoluto. En el espacio-tiempo de Schwarzschild, como se describe en las coordenadas originales de Schwarzschild, algunos componentes de la métrica explotan en el horizonte de eventos, pero esto no es una singularidad real. Este sistema de coordenadas puede ser reemplazado por otro diferente en el que la métrica se comporta bien.

Ejemplo 1: Una explosión inofensiva

Definamos las coordenadas (t, y) en la región del espacio-tiempo donde estás sentado y leyendo este libro. Deja que (0, 0) sea tu hora y posición actuales, y por conveniencia deja que este sea un marco inercial (para que tu movimiento no sea geodésico). El tensor Riemann, expresado en estas coordenadas, tiene un componente R _tyyt =\(\frac{2Gm}{r^{3}}\), donde m y r son la masa y el radio de la tierra. Esto tiene el valor finito de 1.5 × 10 ⁻⁶ s ⁻², que expresa la fuerza de un efecto mareante cerca de la superficie terrestre.

Ahora defina una nueva coordenada u = y ³. Aplicando la ley de transformación de tensores, tenemos

\[R_{tuut} = R_{tyyt} \left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\right)^{2},\]

que es infinito en y = 0. Este ejemplo demuestra que no podemos probar una singularidad buscando una explosión de los componentes de un tensor de curvatura en ciertas coordenadas o a medida que las coordenadas se acercan a algún límite.

Hay dos tipos de singularidades: singularidades de curvatura y singularidades de no curvatura.

Las singularidades del big bang y del agujero negro son ejemplos de singularidades de curvatura, que a menudo se pueden reconocer porque existen medidas escalares de curvatura como R ^abcd R _abcd, conocida como la invariante de Kretschmann, que explotan. Estos indican que las fuerzas mareales explotan hasta el infinito, y destruirían a cualquier observador.

La razón por la que los escalares de curvatura son útiles como pruebas para una singularidad de curvatura es que al ser escalares, no pueden divergir en un sistema de coordenadas sino permanecer finitos en otro (cf. ejemplo 1). Una condición suficiente para que una singularidad sea una singularidad de curvatura es si la geodésica similar al tiempo o la luz solo se puede extender a algún parámetro afín finito, y algún escalar de curvatura (no necesariamente cada uno de esos escalares) se acerca al infinito a medida que nos acercamos a este valor del parámetro afín.

Pero no debemos esperar que esta sea una condición necesaria para una singularidad de curvatura. El siguiente ejemplo 2 muestra que los escalares de curvatura que ocurren con mayor frecuencia pueden no ser suficientes para captar la presencia de una singularidad. Esto no es demasiado sorprendente, ya que los escalares de curvatura no bastan para decirnos todo lo que hay que saber sobre la curvatura de un espacio-tiempo (ejemplo 3).

Ejemplo 2: Incompletitud con escalares de curvatura finita

Considere el espacio-tiempo 1+1-dimensional descrito por la métrica

\[\begin{split} ds^{2} &= A(dt^{2} - dx^{2}) \\ A &= \frac{1}{1 + e^{t}}, \end{split}\]

con\(− \infty < x < \infty\) y\(− \infty < t < \infty\). Para t negativo grande es indistinguible del espacio Minkowski. El siguiente código Maxima computa su tensor Riemann y la curvatura escalar R y la invariante Kretchmann K.

Los resultados para los dos escalares de curvatura son

\[R = (1 + e^{-t})^{-1}\]

y

\[K = (1 + e^{-t})^{-2},\]

ambos son finitos en todas partes; van de 0 en grandes tiempos negativos a 1 en grandes tiempos positivos.

A partir de estos resultados no imaginaríamos que hubiera alguna singularidad presente, pero las explosiones de escalares de curvatura son sólo una condición suficiente para la incompletitud geodésica, no necesaria. Considera la curva temporal x = 0, que por simetría es una geodésica. Si integramos el tiempo adecuado a lo largo de esta geodésica, obtenemos un límite finito como t →\(\infty\). Dado que el tiempo apropiado califica como parámetro afín, este geodésico es incompleto.

Pero no es tan obvio que este espacio-tiempo sea “realmente” singular. Es posible que podamos extenderlo sin problemas más allá de t =\(+ \infty\). Si es así, entonces la singularidad en t =\(+ \infty\) sería una especie de singularidad falsa, del tipo que podríamos obtener simplemente cortando la parte del espacio Minkowski con t ≥ 0.

Ejemplo 3: Escalares de curvatura de fuga

Destacamos anteriormente que los escalares de curvatura no bastan en general para contarnos todo sobre la curvatura de un espacio-tiempo. De hecho, existe toda una clase de espacio-tiempos curvos tal que cada curvatura invariante se desvanece por doquier. Schmidt ¹⁷ da el ejemplo

\[ds^{2} = du dv - a^{2} (u) dw^{2},\]

donde a es una función no lineal arbitraria. Los valores propios de esta métrica son 1, −1 y ^−a2, por lo que su firma es + − −, es decir, esta es la relatividad general en 2 + 1 dimensiones. Un cálculo muestra que el espacio no es plano, ya que, por ejemplo,\(R_{uu} = − \frac{a''}{a}\). Las direcciones u y v son similares a la luz, por lo que esta métrica representa una perturbación ondulada que viaja a la velocidad de la luz. (Como el tensor Ricci no desaparece, esta no es una solución de vacío, y no tenemos una onda gravitacional en vacío. Dichas ondas, como se describe en el capítulo 9, son transversales y solo pueden existir en 3 + 1 o más dimensiones).

El carácter ligero de u y v nos motiva a considerar transformaciones de coordenadas de la forma (u, v) → (uD,\(\frac{v}{D}\)), porque en el caso a = 0, que es plano, esto sería un impulso de Lorentz con un factor de desplazamiento Doppler D. En el caso en que D se aproxime a cero, estamos persiguiendo la onda a una velocidad acercándose a c, por lo que la onda Doppler cambia a la indetectabilidad. Todos los componentes del tensor Riemann, así como sus derivados, se acercan a cero.

Consideremos ahora cualquier curvatura escalar I que sea expresable como una función continua del tensor Riemann y sus derivadas. Por continuidad, I se acerca a cero como D → 0. Pero los escalares de curvatura son escalares, por lo que son invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Por lo tanto, se deduce que I = 0 de manera idéntica, independientemente del valor de D. Así tenemos un espacio-tiempo que, aunque curvo, no tiene escalares de curvatura que no se desvanezcan en ninguna parte.

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¹⁷ “¿Por qué desaparecen todas las invariantes de curvatura de una onda gravitacional? ” arxiv.org/abs/gr-qc/9404037

Referencias

¹⁰ Véase sec. 6.3, y, e.g., Joshi et al., arxiv.org/abs/1304.7331.

¹¹ Gou et al., “El giro extremo del agujero negro en Cygnus X-1”, http://arxiv.org/abs/1106.3690

¹² Véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1402.5675

¹³ arxiv.org/abs/0903.1105

¹⁴ arxiv.org/abs/0906.4040

¹⁵ Phys. Rev. Let. 70, p. 9

¹⁶ Geroch,” ¿Qué es una singularidad en la relatividad general? ,” Ann Phys 48 (1968) 526.