6.3: La métrica Schwarzschild (Parte 2)

Efecto geodésico

Como se prometió en la sección 5.5, ahora calculamos el efecto geodésico sobre la sonda de gravedad B, incluyendo todos los factores molestos de 3 y\(\pi\). Para que la física quede clara, abordamos el cálculo real a través de una serie de precalibres.

Espacio Plano

Como primer calentador, considere dos dimensiones espaciales, representadas por coordenadas polares euclidianas (r,\(\phi\)). El transporte paralelo del momento angular de un giroscopio alrededor de un círculo de r constante da

\[\begin{split} \nabla_{\phi} L^{\phi} &= 0 \\ \nabla_{\phi} L^{r} &= 0 \ldotp \end{split}\]

Calculando los derivados covariantes, tenemos

\[\begin{split} 0 &= \partial_{\phi} L^{\phi} + \Gamma^{\phi}_{\phi r} L^{r} \\ 0 &= \partial_{\phi} L^{r} + \Gamma^{r}_{\phi \phi} L^{\phi} \ldotp \end{split}\]

Los símbolos de Christoffel son\(\Gamma^{\phi}_{\phi r} = \frac{1}{r}\) y\(\Gamma^{r}_{\phi \phi}\) = −r. Todo esto está hecho para parecer innecesariamente complicado porque L ^\(\phi\)y L ^r se expresan en diferentes unidades. Esencialmente el vector se mantiene igual, pero lo estamos expresando en términos de vectores base en las\(\phi\) direcciones r y que están rotando. Para ver esto de manera más transparente, deja r = 1, y escribe P para L ^\(\phi\)y Q para L ^r, para que

\[\begin{split} P' &= -Q \\ Q' &= P, \end{split}\]

que tienen soluciones como P = sin\(\phi\), Q = cos\(\phi\). Para cada órbita (2π\(\pi\) cambio en\(\phi\)), los vectores base rotan en 2\(\phi\), por lo que el vector de momento angular tiene una vez más los mismos componentes. En otras palabras, en realidad no ha cambiado en absoluto.

Sólo curvatura espacial

El cálculo de espacio plano anterior difiere en dos formas del resultado real para un giroscopio en órbita: (1) utiliza una geometría espacial plana y (2) es puramente espacial. La naturaleza puramente espacial del cálculo se manifiesta en el hecho de que no hay nada en el resultado relacionado con la rapidez con la que hemos movido el vector alrededor del círculo. Sabemos que si azotamos un giroscopio alrededor en círculo en el extremo de una cuerda, habrá una precesión de Thomas (sección 2.5), que depende de la velocidad.

Como nuestro próximo calor, curvemos la geometría espacial, pero continuemos omitiendo la dimensión de tiempo. Usando la métrica Schwarzschild, reemplazamos el símbolo de Christoffel de espacio plano\(\Gamma^{r}_{\phi \phi}\) = −r por −r+2m. Las ecuaciones diferenciales para los componentes del vector L, nuevamente evaluadas a r = 1 por conveniencia, son ahora

\[\begin{split} P' &= -Q \\ Q' &= (1 - \epsilon) P, \end{split}\]

donde\(\epsilon\) = 2m. Las soluciones rotan con frecuencia\(\omega' = \sqrt{1 − \epsilon}\). El resultado es que cuando los vectores base rotan en 2\(\pi\), los componentes ya no regresan a sus valores originales; se retrasan por un factor de\(\sqrt{1 − \epsilon}\) ≈ 1 − m. Volviendo a poner los factores de r, esto es 1 −\(\frac{m}{r}\). La desviación de la unidad muestra que después de una revolución completa, el vector L ya no tiene exactamente los mismos componentes expresados en términos de los vectores base (r,\(\phi\)).

Para entender el signo del efecto, imaginemos una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. El (r,\(\phi\)) gira en sentido antihorario, por lo que en relación con ellos, el vector L gira en sentido horario. Después de una revolución, no ha girado en sentido horario un 2 completo\(\pi\), por lo que su orientación ahora es ligeramente en sentido antihorario en comparación con lo que era. Así, la contribución al efecto geodésico derivado de la curvatura espacial está en la misma dirección que la órbita.

Comparando con los resultados reales de Gravity Probe B, vemos que la dirección del efecto es correcta. La magnitud, sin embargo, está apagada. La precesión acumulada a lo largo de n periodos es\(\frac{2 \pi nm}{r}\), o, en unidades SI,\(\frac{2 \pi nGm}{c^{2} r}\). Usando los datos de la sección 2.5, encontramos\(\Delta \theta\) = 2 × 10 ⁻⁵ radianes, que es demasiado pequeño en comparación con los datos mostrados en la Figura 5.5.2.

2+1 Dimensiones

Para reproducir correctamente los resultados experimentales, es necesario incluir la dimensión de tiempo. El vector de momento angular tiene ahora componentes (L ^\(\phi\), L ^r, L ^t). La interpretación física del componente L ^t es oscura en este punto; volveremos a esta pregunta más adelante.

Anotando las derivadas totales de los tres componentes, y anotando\(\frac{dt}{d \phi}\) como\(\omega^{−1}\), tenemos

\[\frac{dL^{\phi}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{\phi} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{\phi}\]

\[\frac{dL^{r}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{r} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{r}\]

\[\frac{dL^{t}}{d \phi} = \partial_{\phi} L^{t} + \omega^{-1} \partial_{t} L^{t}\]

Establecer las derivadas covariantes iguales a cero da

\[\begin{split} 0 &= \partial_{\phi} L^{\phi} + \Gamma^{\phi}_{\phi r} L^{r} \\ 0 &= \partial_{\phi} L^{r} + \Gamma^{r}_{\phi \phi} L^{\phi} \\ 0 &= \partial_{t} L^{r} + \Gamma^{r}_{tt} L^{t} \\ 0 &= \partial_{t} L^{t} + \Gamma^{t}_{tr} L^{r} \ldotp \end{split}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Autocomprobación: No sólo hay cuatro sino seis derivados covariantes que en principio podrían haber ocurrido, y en estas seis derivadas covariantes podríamos haber tenido un total de 18 símbolos de Christoffel. De estos 18, sólo cuatro no están desapareciendo. Explicar con base en argumentos de simetría por qué deben desaparecer los siguientes símbolos de Christoffel:\(\Gamma^{\phi}_{\phi t}, \Gamma^{t}_{tt}\).

Armando todo esto en forma de matriz, tenemos L' = ML, donde

\[M = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 - \epsilon & 0 & - \frac{\epsilon (1 - \epsilon)}{2 \omega} \\ 0 & - \frac{\epsilon}{2 \omega (1 - \epsilon)} & 0 \end{pmatrix} \ldotp\]

Las soluciones de esta ecuación diferencial oscilan como e ^{i\(\Omega\) t}, donde i\(\Omega\) es un valor propio de la matriz.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Autocomprobación: La frecuencia en el cálculo puramente espacial se encontró por inspección. Verificar el resultado aplicando la técnica de valor propio a la submatriz 2×2 relevante.

Al orden más bajo, podemos usar los términos de orden de relación newtoniana\(\omega^{2} r = \frac{Gm}{r}\) y descuidar\(\epsilon^{2}\), de manera que los dos nuevos elementos de matriz fuera de diagonal se aproximen como\(\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}\). Las tres frecuencias propias resultantes son cero y\(\Omega\) = ± [1 −\(\frac{3}{2}\)) m/r].

La presencia de la misteriosa solución de frecuencia cero se puede entender ahora recordando el misterio anterior de la interpretación física de la componente L ^t del momento angular. Nuestros resultados provienen del cálculo del transporte paralelo, y el transporte paralelo es un proceso puramente geométrico, por lo que da el mismo resultado independientemente de la naturaleza física del cuatro vector. Supongamos que en su lugar habíamos elegido el cuatro vector de velocidad como nuestro conejillo de indias. La definición de un geodésico es que transporta en paralelo su propio vector tangente, por lo que el vector de velocidad tiene que mantenerse constante. Si inspeccionamos el vector propio correspondiente a la frecuencia propia de frecuencia cero, encontramos un vector similar al tiempo que es paralelo al cuatro vector de velocidad. En nuestro espacio 2+1-dimensional, los otros dos vectores propios, que son espaciosos, abarcan el subespacio de vectores espaciales, que son los que físicamente pueden realizarse como el momento angular de un giroscopio. Estos dos vectores propios, que varían como e ^{±i\(\Omega\)}, pueden superponerse para hacer soluciones espaciales de valor real que coincidan con las condiciones iniciales, y estos retrasan la rotación de los vectores base por\(\Delta \Omega\) =\(\frac{3}{2}\) mr. Esto es mayor que el resultado puramente espacial por un factor de\(\frac{3}{2}\). El ángulo de precesión resultante, sobre n órbitas de la sonda de gravedad B, es\(\frac{3 \pi nGm}{c^{2} r}\) = 3 × 10 ⁻⁵ radianes, en excelente acuerdo con el experimento.

Uno verá declaraciones aparentemente contradictorias en la literatura sobre si se produce la precesión de Thomas para un satélite: “La precesión de Thomas entra en juego para un giroscopio en la superficie de la Tierra., pero no para un giroscopio en un satélite que se mueve libremente”. ⁶ Pero: “El efecto total, geométrico y Thomas, le da precesión al conocido Fokker-de Sitter\(\frac{3 \pi m}{r}\), en el mismo sentido que la órbita”. ⁷ La segunda afirmación surge de restar el resultado puramente espacial del resultado 2+1-dimensional, y señalar que el valor absoluto de esta diferencia es el mismo que la precesión de Thomas que se habría obtenido si el giroscopio hubiera sido girado al final de una cuerda. En mi opinión esta es una forma antinatural de mirar la física, por dos razones. (1) Los signos no coinciden, por lo que uno se ve obligado a decir que la precesión de Thomas tiene un signo diferente dependiendo de si la rotación es el resultado de fuerzas gravitacionales o no gravitacionales. (2) Refiriéndose a la observación, es claramente artificial para tratar la curvatura espacial y los efectos Thomas por separado, ya que ninguno de los dos puede ser desenredado del otro variando las cantidades n, m y r. Para mayor discusión, ver tinyurl.com/me3qf8o.

Órbitas

El evento principal de Principia Mathematica de Newton es su prueba de las leyes de Kepler. De igual manera, la primera aplicación importante de Einstein en la relatividad general, que inició antes incluso de tener en la mano la forma exacta de la métrica Schwarzschild, fue encontrar el comportamiento no newtoniano del planeta Mercurio. Los planetas se desvían del comportamiento kepleriano por una variedad de razones newtonianas, y en particular hay una larga lista de razones por las que se espera que el eje mayor de la órbita elíptica de un planeta gire gradualmente. Sin embargo, cuando todos estos fueron tomados en cuenta, hubo una discrepancia restante de unos 40 segundos de arco por siglo, o 6.6 × 10 ⁻⁷ radianes por órbita. La dirección del efecto fue en la dirección hacia adelante, en el sentido de que si vemos la órbita de Mercurio desde arriba de la eclíptica, de manera que orbita en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces la rotación gradual del eje mayor también es en sentido antihorario.

Como explicación ondulada a mano muy áspera para este efecto, considere la parte espacial de la curvatura del espacio-tiempo que rodea al sol. Esta curvatura espacial es positiva, por lo que la circunferencia de un círculo es menor que 2\(\pi\) veces su radio. Podríamos imaginar que esto provocaría que Mercurio volviera a una posición angular previamente visitada antes de que haya tenido tiempo de completar su ciclo newtoniano de movimiento radial. Argumentos como éste, sin embargo, no deben tomarse demasiado en serio. Se requiere un análisis matemático.

Con base en los ejemplos de la sección 5.5, esperamos que el efecto sea de orden\(\frac{m}{r}\), donde m es la masa del sol y r es el radio de la órbita de Mercurio. Esto resulta ser 2.5 × 10 ⁻⁸, que es menor que la precesión observada por un factor de aproximadamente 26.

Cantidades Conservadas

Si Einstein hubiera tenido una computadora en su escritorio, probablemente simplemente habría integrado el movimiento numéricamente usando la ecuación geodésica. Pero es posible simplificar el problema lo suficiente como para atacarlo con lápiz y papel, si podemos encontrar las cantidades conservadas relevantes de la moción. De manera no relativista, estos son energía y momento angular.

Considera una roca que cae directamente hacia el sol. La métrica Schwarzschild es de la forma especial

\[ds^{2} = h(r) dt^{2} - k(r) dr^{2} - \ldots\]

La trayectoria de la roca es geodésica, por lo que extremiza el tiempo adecuado s entre dos eventos cualesquiera fijados en el espacio-tiempo, así como una pieza de cuerda estirada a través de una superficie curva extremiza su longitud. Dejar que la roca pase a través de la distancia r ₁ en tiempo de coordenadas t ₁, y luego a través de r ₂ en t ₂. (Estos realmente deberían anotarse como\(\Delta\) r ₁,... o dr ₁,.., pero evitamos los\(\Delta\)'s o d's por conveniencia.) Aproximando a la geodésica usando dos segmentos de línea, el tiempo adecuado es

\[\begin{split} s &= s_{1} + s_{2} \\ &= \sqrt{h_{1} t_{1}^{2} - k_{1} r^{2}_{1}} + \sqrt{h_{2} t_{2}^{2} - k_{2} r^{2}_{2}} \\ &= \sqrt{h_{1} t_{1}^{2} - k_{1} r^{2}_{1}} + \sqrt{h_{2} (T - t_{1})^{2} - k_{2} r^{2}_{2}}, \end{split}\]

donde T = t ₁ + t ₂ es fijo. Si esto va a ser extremizado con respecto a t ₁, entonces\(\frac{ds}{dt_{1}}\) = 0, lo que lleva a

\[0 = \frac{h_{1} t_{1}}{s_{1}} - \frac{h_{2} t_{2}}{s_{2}},\]

lo que significa que

\[h \frac{dt}{ds} = g_{tt} \frac{dx^{t}}{ds} = \frac{dx_{t}}{ds}\]

es una constante del movimiento. Excepto por un factor irrelevante de m, este es lo mismo que p _t, el componente temporal del vector de impulso covariante. Ya hemos visto que en la relatividad especial, el componente timelike del momentum four vector se interpreta como la masa-energía E, y la cantidad p _t tiene una interpretación similar aquí. Obsérvese que no se hizo ninguna suposición especial sobre la forma de las funciones h y k. Además, resulta que la suposición de movimiento puramente radial era innecesaria. Todo lo que realmente importaba era que h y k fueran independientes de t, por lo que tendremos una cantidad conservada similar p cada ^\(\mu\)vez que los componentes de la métrica, expresados en un sistema de coordenadas particular, sean independientes de x ^\(\mu\). (Esto se generaliza en la sección 7.1.) En particular, los componentes de la métrica Schwarzschild son independientes así\(\phi\) como t, por lo que tenemos una segunda cantidad conservada p _\(\phi\), que se interpreta como momento angular.

Figura\(\PageIndex{2}\) - Prueba de que si los componentes de la métrica son independientes de t, la geodésica de una partícula de prueba conserva p _t.

Escribiendo estas dos cantidades explícitamente en términos de las coordenadas contravariantes, en el caso del espacio-tiempo Schwarzschild, tenemos

\[E = \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right) \frac{dt}{ds}\]

y

\[L = r^{2} \frac{d \phi}{ds}\]

para la energía conservada por unidad de masa y el momento angular por unidad de masa.

Al interpretar la energía por unidad de masa E, es importante entender que en el contexto general-relativista, no existe una manera útil de separar la masa de reposo, la energía cinética y la energía potencial en términos separados, como podríamos hacer en la mecánica newtoniana. E incluye contribuciones de todos estos, y resulta ser menor que la contribución debido a la masa de descanso (es decir, menos de 1) para un planeta que orbita el sol. Resulta que E puede interpretarse como una medida de la masa gravitacional adicional que posee el sistema solar medida por un observador distante, debido a la presencia del planeta. Entonces tiene sentido que E se conserve; por analogía con la mecánica newtoniana, esperaríamos que cualquier efecto gravitacional que dependiera de la disposición detallada de las masas dentro del sistema solar disminuyera a medida que\(\frac{1}{r^{4}}\), volviéndose despreciable a grandes distancias y dejando un campo constante variando como \(\frac{1}{r^{2}}\).

Una forma de ver que no tiene sentido dividir E en partes es que aunque la ecuación dada anteriormente para E involucra un conjunto específico de coordenadas, E puede expresarse realmente como un escalar invariante de Lorentz (ver sección 7.1). Esta propiedad hace que E sea especialmente interesante y útil (y diferente de la energía en la mecánica newtoniana, que se conserva pero no es independiente del marco). Por otro lado, las energías cinética y potencial dependen de la velocidad y posición. Estos dependen completamente del sistema de coordenadas, y no hay nada físicamente especial en el sistema de coordenadas que hemos utilizado aquí. Supongamos que una partícula está cayendo directamente hacia la tierra, y un astronauta en un traje espacial cae libre junto con ella y monitoreando su progreso. El astronauta juzga que la energía cinética de la partícula es cero, pero otros observadores dicen que no es cero, así que claramente no es un escalar de Lorentz. Y supongamos que el astronauta insiste en definir una energía potencial para acompañar esta energía cinética. La energía potencial debe estar disminuyendo, ya que la partícula se está acercando a la tierra, pero entonces no hay forma de que la suma de las energías cinéticas y potenciales pueda ser constante.

Avance del perihelio

Para mayor comodidad, deje que la masa de la roca en órbita sea 1, mientras que m representa la masa del cuerpo gravitante.

La masa unitaria de la roca es una tercera cantidad conservada, y como la magnitud del vector de impulso es igual al cuadrado de la masa, tenemos para una órbita en el plano\(\theta = \frac{\pi}{2}\),

\[\begin{split} 1 &= g^{tt} p_{t}^{2} - g^{rr} p^{2}_{r} - g^{\phi \phi} p_{\phi}^{2} \\ &= g^{tt} p_{t}^{2} g_{rr} (p^{r})^{2} - g^{\phi \phi} p_{\phi}^{2} \\ &= \frac{1}{1 - \frac{2m}{r}} E^{2} - \frac{1}{1 - \frac{2m}{r}} \left(\dfrac{dr}{ds}\right)^{2} - \frac{1}{r^{2}} L^{2} \ldotp \end{split}\]

Reorganizar los términos y escribir\(\dot{r}\) para\(\frac{dr}{ds}\), esto se convierte

\[\dot{r}^{2} = E^{2} - \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right) \left(d\frac{1 + L^{2}}{r^{2}}\right)\]

o

\[\dot{r}^{2} = E^{2} - U^{2}\]

donde

\[U^{2} = \left(1 - \frac{2m}{r}\right) \left(1 + \dfrac{L^{2}}{r^{2}}\right) \ldotp\]

Existe una variada y extraña familia de órbitas en el campo de Schwarzschild, entre ellas extrañas trayectorias de filo de cuchilla que toman varios giros casi circulares antes de volar repentinamente. En cambio, dirigimos nuestra atención al caso de una órbita como la de Mercurio que es casi newtoniana y casi circular.

De manera no relativista, una órbita circular tiene radio\(r = \frac{L^{2}}{m}\) y período\(T = \frac{2 \pi L^{3}}{m^{2}}\).

Relativisticamente, una órbita circular ocurre cuando solo hay un punto de inflexión en el que\(\dot{r}\) = 0. Esto requiere que E ² sea igual al valor mínimo de U ², lo que ocurre en

\[\begin{split} r &= \frac{L^{2}}{2m} \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{12m^{2}}{L^{2}}}\right) \\ &\approx \frac{L^{2}}{m} (1 - \epsilon), \end{split}\]

donde\(\epsilon = 3(\frac{m}{L})^{2}\). Un planeta en órbita casi circular oscila entre el perihelio y el afelio con un periodo que depende de la curvatura de U ² como mínimo. Tenemos

\[\begin{split} k &= \frac{d^{2} (U^{2})}{dr^{2}} \\ &= \frac{d^{2}}{dr^{2}} \left(1 - \dfrac{2m}{r} + \dfrac{L^{2}}{r^{2}} - \dfrac{2mL^{2}}{r^{3}}\right) \\ &= - \frac{4m}{r^{3}} + \frac{6L^{2}}{r^{4}} - \frac{24 mL^{2}}{r^{5}} \\ &= 2L^{-6} m^{4} (1 + 2 \epsilon) \end{split}\]

El periodo de las oscilaciones es

\[\begin{split} \Delta s_{osc} &= 2 \pi \sqrt{\frac{2}{k}} \\ &= 2 \pi L^{3} m^{-2} (1 - 2 \epsilon) \ldotp \end{split}\]

El periodo del movimiento azimutal es

\[\begin{split} \Delta s_{az} &= \frac{2 \pi r^{2}}{L} \\ &= 2 \pi L^{3} m^{-2} (1 - 2 \epsilon) \ldotp \end{split}\]

Los periodos son ligeramente desapareados debido a los términos de corrección relativista. El periodo de las oscilaciones radiales es más largo, de manera que, como se esperaba, el desplazamiento del perihelio es en la dirección hacia adelante. El desajuste es\(\epsilon \Delta\) s, y debido a ello cada órbita gira el eje mayor en un ángulo\(2 \pi \epsilon = 6 \pi (\frac{m}{L})^{2} = \frac{6 \pi m}{r}\). Al enchufar los datos de Mercurio, obtenemos 5.8 × 10 ⁻⁷ radianes por órbita, lo que concuerda con el valor observado dentro de aproximadamente 10%. Eliminar algunas de las aproximaciones que hemos hecho trae los resultados de acuerdo dentro de las barras de error experimentales, y Einstein recordó que cuando salió bien el cálculo, “por unos días, estuve fuera de mí con alegría alegre”.

Se hicieron otros intentos para mejorar la precisión de esta prueba históricamente crucial de la relatividad general. El radar ahora proporciona los datos orbitales más precisos para Mercurio. A nivel de alrededor de una parte por mil, sin embargo, se arrastra un efecto debido a la oblatencia del sol, que es difícil de medir con precisión.

En 1974, los astrónomos J.H. Taylor y R.A. Hulse de Princeton, que trabajaban en el radiotelescopio de Arecibo, descubrieron un sistema estelar binario cuyos miembros son ambas estrellas de neutrones. La detección del sistema fue posible porque una de las estrellas de neutrones es un púlsar: una estrella de neutrones que emite un fuerte pulso de radio en la dirección de la tierra una vez por periodo de rotación. La órbita es altamente elíptica, y la separación mínima entre las dos estrellas es muy pequeña, aproximadamente la misma que el radio de nuestro sol. Tanto porque la r es pequeña como porque el periodo es corto (alrededor de 8 horas), la tasa de avance del perihelio por unidad de tiempo es muy grande, alrededor de 4.2 grados anuales. El sistema ha sido comparado con gran detalle con las predicciones de la relatividad general,8 dando un acuerdo extremadamente bueno, y como resultado los astrónomos han tenido la suficiente confianza para razonar en la dirección opuesta e inferir propiedades del sistema, como su masa total, a partir del análisis general-relativista. La órbita del sistema está decayendo debido a la radiación de energía en forma de ondas gravitacionales, que se predice que existirán por la relatividad.

Deflexión de la luz

Como se discutió en la sección 5.5, una de las primeras pruebas de relatividad general fue la medición de Eddington de la desviación de los rayos de luz por el campo gravitacional del sol. La deflexión medida por Eddington fue de 1.6 segundos de arco. Para un rayo de luz que roza la superficie del sol, los únicos parámetros físicamente relevantes son la masa del sol m y el radio r. Dado que la desviación es sin unidades, solo puede depender de\(\frac{m}{r}\), la relación sin unidades de la masa del sol a su radio. Expresado en unidades SI, esto es\(\frac{Gm}{c^{2} r}\), que resulta ser de aproximadamente 10 ⁻⁶. En términos generales, entonces, esperamos que el orden de magnitud del efecto sea sobre este gran, y de hecho 10 ⁻⁶ radianes sale a estar en el mismo parque de bola que un segundo de arco. Obtenemos una estimación similar en física newtoniana al tratar un fotón como una partícula (masiva) que se mueve a velocidad c.

Es posible calcular un valor preciso para la deflexión utilizando métodos muy parecidos a los utilizados para determinar el avance del perihelio desde antes. No obstante, algunos de los detalles tendrían que ser cambiados. Por ejemplo, ya no es posible parametrizar la trayectoria utilizando el tiempo adecuado s, ya que un rayo de luz tiene ds = 0; debemos usar un parámetro afín. En cambio, utilicemos esto como un ejemplo de la técnica numérica para resolver la ecuación geodésica, demostrada primero en la sección 5.9. Modificando nuestro programa anterior, tenemos lo siguiente:

En la línea 14, tomamos la masa para que sea 1000 veces mayor que la masa del sol. Esto ayuda a que la deflexión sea más fácil de calcular con precisión sin tener problemas con los errores de redondeo. Las líneas 17-25 establecen las condiciones iniciales para estar en el punto de aproximación más cercano, ya que el fotón está pastando al sol. Esto es más fácil de configurar que las condiciones iniciales en las que el fotón se acerca desde lejos. Debido a esto, el ángulo de deflexión calculado por el programa se corta a la mitad. Combinando los factores de 1000 y medio, el resultado final del programa debe interpretarse como 500 veces el ángulo de deflexión real.

El resultado es que se predice que el ángulo de deflexión será de 870 segundos de arco. Como comprobación, podemos volver a ejecutar el programa con m = 0; el resultado es una desviación de −8 segundos, que es una medida del error acumulado debido al redondeo y al incremento finito utilizado para\(\lambda\).

Dividiendo por 500, encontramos que el ángulo de deflexión previsto es de 1.74 segundos, que, expresado en radianes, es exactamente\(\frac{4Gm}{c^{2} r}\). El factor sin unidad de 4 es de hecho el resultado correcto en el caso de pequeñas deflexiones, es decir, para\(\frac{m}{r}\) << 1.

Aunque la técnica numérica tiene la desventaja de que no nos permite demostrar directamente una buena fórmula, también tiene algunas ventajas. Por un lado, podemos usarlo para investigar casos para los que falla la aproximación\(\frac{m}{r}\) << 1. Para\(\frac{m}{r}\) = 0.3, la técnica numérica da una deflexión de 222 grados, mientras que la aproximación de campo débil\(\frac{4Gm}{c^{2} r}\) da solo 69 grados. Lo que está pasando aquí es que nos estamos acercando cada vez más al horizonte de eventos de un agujero negro. Los agujeros negros son el tema de la sección 6.3, pero debería ser intuitivamente razonable que algo salvajemente no lineal tenga que suceder a medida que nos acercamos al punto en el que la luz ni siquiera podría escapar.

La precisión de la prueba original de Eddington fue solo de aproximadamente ± 30%, y nunca se ha mejorado significativamente con la astronomía de luz visible. Una mejor técnica es la radioastronomía, que permite realizar mediciones sin esperar un eclipse. Uno simplemente tiene que esperar a que pase el sol frente a una fuente de radio fuerte y compacta como un cuásar. Estas técnicas ahora han verificado la desviación de la luz predicha por la relatividad general con una precisión relativa de aproximadamente 10 ⁻⁵. ⁹

Referencias

⁶ Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, p. 1118

⁷ Rindler, Relatividad Esencial, 1969, p. 141

⁹ Para un artículo de revisión sobre este tema, consulte Clifford Will, “La confrontación entre la relatividad general y el experimento”, relativity.livingreviews.org/... es/lrr-2006-3/.