12.5: Resumen, las relaciones Maxwell y las relaciones Gibbs-Helmholtz
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\[d U =T d S-P d V+\sum X d Y\]
\[d H =T d S+V d P+\sum X d Y\]
\[d A =-S d T-P d V+\sum X d Y\]
\[d G =-S d T+V d P+\sum X d Y\]
Si el único trabajo reversible realizado en o por un sistema es el trabajo PdV de expansión o compresión, tenemos las formas más familiares
\[d U =T d S-P d V\]
\[d H =T d S+V d P\]
\[d A =-S d T-P d V\]
\[d G =-S d T+V d P\]
Las cuatro funciones termodinámicas son funciones de estado (y por lo tanto sus diferenciales son diferenciales exactos) y por lo tanto
\[\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V}=T \quad\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S}=-P\]
\[\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P}=T \quad\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S}=V\]
\[\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{V}=-S \quad\left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_{T}=-P\]
\[\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P}=-S \qquad\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T}=V\]
Además, al igualar los segundos derivados mixtos, obtenemos las cuatro Relaciones Termodinámicas Maxwell:
\[\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=-\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V}\]
\[\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}=\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P}\]
\[\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\]
\[\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\]
Las Relaciones Gibbs-Helmholtz se encuentran trivialmente a partir de A = U − TS y junto con las ecuaciones 12.6.11a y 12.6.12a. G = H − TS Son
\[U=A-T\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{V}\]
\[H=G-T\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P}\]