2.10: Aplicaciones de la termodinámica

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Una discusión sobre diversas relaciones matemáticas útiles entre derivadas parciales se puede encontrar en el apéndice en el § 17. Alguna facilidad con el cálculo multivariable diferencial es extremadamente útil en el análisis de problemas de termodinámica.

Expansión libre adiabática revisada

Consideremos una vez más la expansión adiabática libre de un gas desde el volumen inicial\(V\ns_\Ri\) hasta el volumen final\(V\ns_\Rf=rV\ns_\Ri\). Dado que el sistema no está en equilibrio durante el proceso de expansión libre, los estados inicial y final no se encuentran a lo largo de un adiabat, no tienen la misma entropía. Más bien, como encontramos, de\(Q=W=0\), tenemos eso\(E\ns_\Ri=E\ns_\Rf\), lo que significa que tienen la misma energía, y, en el caso de un gas ideal, la misma temperatura (asumiendo que\(N\) es constante). Así, los estados inicial y final se encuentran a lo largo de una isoterma. La situación se representa en la Fig. [AFEgraph]. Ahora vamos a calcular el cambio en la entropía\(\RDelta S = S\ns_\Rf-S\ns_\Ri\) integrándonos a lo largo de esta isoterma. Tenga en cuenta que las dinámicas reales son irreversibles y no siguen cuasistáticamente ningún camino termodinámico continuo. Sin embargo, podemos usar lo que es un camino termodinámico ficticio como medio de comparación\(S\) en los estados inicial y final.

[AFEgraph] Expansión libre adiabática a través de una vía térmica. ¡Los estados inicial y final no mienten a lo largo de un adabat! Más bien, para un gas ideal, los estados inicial y final se encuentran a lo largo de una isoterma.

Tenemos\[\RDelta S=S\ns_\Rf-S\ns_\Ri = \int\limits_{V\ns_\Ri}^{V\ns_\Rf}\!\!dV \pabc{S}{V}{T,N}\ .\] Pero a partir de una ecuación de Maxwell derivada de\(F\), tenemos de\[\pabc{S}{V}{T,N}=\pabc{p}{T}{V,N}\ ,\] ahí\[\RDelta S = \int\limits_{V\ns_\Ri}^{V\ns_\Rf}\!\!dV\pabc{p}{T}{V,N}\ .\] Para un gas ideal, podemos usar la ecuación de estado\(pV=N\kT\) para obtener\[\pabc{p}{T}{V,N}={N\kB\over V}\ .\] La integral ahora se puede computar:\[\RDelta S = \int\limits_{V\ns_\Ri}^{r V\ns_\Ri}\!\!dV\,{N\kB\over V} = N\kB\,\ln r\ ,\] como encontramos antes, en Ecuación [AFED] Qué es diferente sobre esta derivación? Anteriormente, derivamos el cambio de entropía a partir de la fórmula explícita para\(S(E,V,N)\). Aquí, no necesitábamos conocer esta función. La relación Maxwell nos permitió calcular el cambio de entropía usando solo la ecuación de estado.

Energía y volumen

Vimos como\(E(T,V,N)=\half f N\kT\) para un gas ideal, independiente del volumen. En general deberíamos tener\[E(T,V,N)=N\,\phi\big(T,\frac{V}{N}\big)\ .\] Para el gas ideal,\(\phi\big(T,\frac{V}{N}\big)=\half f \kT\) es una función de\(T\) solo y es independiente de la otra cantidad intensiva\(V/N\). ¿Cómo varía la energía con el volumen? A temperatura fija y número de partículas, tenemos, de\(E=F+TS\),\[\pabc{E}{V}{T,N}=\pabc{F}{V}{T,N}+T\pabc{S}{V}{T,N}=-p+T\pabc{p}{T}{V,N}\ , \label{pEVTN}\] donde hemos utilizado la relación Maxwell\(\big({\pz S\over\pz V}\big)\ns_\sss{T.N}=\big({\pz p\over\pz T}\big)\ns_\sss{V,N}\), derivada de la segunda derivada mixta\({\pz^2\!F\over\pz T\,\pz V}\). Otra forma de derivar este resultado es la siguiente. Escribe\(dE=T\,dS - p\,dV + \mu\, dN\) y luego expresa\(dS\) en términos de\(dT\),\(dV\), y\(dN\), resultando en\[dE=T\pabc{S}{T}{V,N}dT +\Bigg[T\pabc{S}{V}{T,N} -p\Bigg]dV - \Bigg[ T\pabc{\mu}{T}{V,N} + \mu\Bigg] dN\ .\] Ahora lee\(\big({\pz E\over\pz V}\big)\ns_\sss{V,N}\) y usa la misma relación Maxwell que antes para recuperar la Ecuación [PevTN]. Aplicar este resultado a la ley de gas ideal\(pV=N\kT\) da como resultado la desaparición del RHS, de ahí que para cualquier sustancia que obedezca a la ley de gas ideal debemos tener\[E(T,V,N)=\nu\,\ve(T)=N\ve(T)/\NA\ .\]

Ecuación de estado de van der Waals

Es claro que la misma conclusión sigue para cualquier ecuación de estado de la forma\(p(T,V,N)=T\cdot f(V/N)\), donde\(f(V/N)\) es una función arbitraria de su argumento: la ley del gas ideal sigue siendo válida ¹¹. Esto no es cierto, sin embargo, para la ecuación de estado de van der Waals,\[\bigg(p+{a\over v^2}\bigg)\big(v-b)=RT\ ,\] donde\(v=\NA V/N\) está el volumen molar. Luego encontramos (siempre asumiendo constante\(N\)),\[\pabc{E}{V}{T}=\pabc{\ve}{v}{T}=T\pabc{p}{T}{V} - p={a\over v^2}\ ,\] donde\(E(T,V,N)\equiv \nu\,\ve(T,v)\). Podemos integrar esto para obtener\[\ve(T,v)=\omega(T)-{a\over v}\ , \label{EVT}\] dónde\(\omega(T)\) es arbitrario. De la Ecuación [cveqn], inmediatamente tenemos\[c\ns_{V}=\pabc{\ve}{T}{v} = \omega'(T)\ .\]

[vdwab] Parámetros de Van der Waals para algunos gases comunes. (Fuente: Wikipedia.)

gas	\(a\ \left({\RL^2\cdot{bar}\over {mol}^2}\right)\)	\(b\ \left({\RL\over{mol}}\right)\)	\(p\ns_\Rc\)(barra)	\(T\ns_\Rc\)(K)	\(v\ns_\Rc\)(\(\RL/{mol}\))
Acetona	14.09	0.0994	52.82	505.1	0.2982
Argón	1.363	0.03219	48.72	150.9	0.0966
Dióxido de carbono	3.640	0.04267	7404	304.0	0.1280
Etanol	12.18	0.08407	63.83	516.3	0.2522
Freón	10.78	0.0998	40.09	384.9	0.2994
Helio	0.03457	0.0237	2.279	5.198	0.0711
Hidrógeno	0.2476	0.02661	12.95	33.16	0.0798
Mercurio	8.200	0.01696	1055	1723	0.0509
Metano	2.283	0.04278	46.20	190.2	0.1283
Nitrógeno	1.408	0.03913	34.06	128.2	0.1174
Oxígeno	1.378	0.03183	50.37	154.3	0.0955
Agua	5.536	0.03049	220.6	647.0	0.0915

¿Y qué pasa\(c\ns_{p}\)? Esto requiere un poco de trabajo. Comenzamos con Ecuación [cpeqn], A continuación\[\begin{split} c\ns_p&=\pabc{\ve}{T}{p} + p\pabc{v}{T}{p}\\ &=\omega'(T)+\bigg(p+{a\over v^2}\bigg)\pabc{v}{T}{p} \end{split}\] tomamos el diferencial de la ecuación de estado (a constante\(N\)): Ahora\[\begin{split} R\,dT&=\bigg(p+{a\over v^2}\bigg)\,dv + \big( v-b\big)\bigg( dp -{2a\over v^3}\,dv\bigg)\\ &=\bigg( p -{a\over v^2} + {2ab\over v^3}\bigg)\,dv + \big( v-b\big)\, dp\ . \end{split}\] podemos leer el resultado para el coeficiente de expansión de volumen, Ahora\[\alpha\ns_p={1\over v}\pabc{v}{T}{p} = {1\over v}\cdot{R\over p -{a\over v^2} + {2ab\over v^3}}\ . \label{dvdtvdw}\] tenemos para\(c\ns_p\),\[\begin{split} c\ns_p&=\omega'(T) + {\left(p+{a\over v^2}\right)R\over p -{a\over v^2} + {2ab\over v^3}}\\ &=\omega'(T)+{R^2Tv^3\over RTv^3-2a(v-b)^2}\ .\bvph \label{cpvdw} \end{split}\] donde\(v=V\NA/N\) está el volumen molar.

Para arreglar\(\omega(T)\), consideramos el\(v\to\infty\) límite, donde la densidad del gas se desvanece. En este límite, el gas debe ser ideal, de ahí que lo diga la Ecuación [EVT]\(\omega(T)=\half f RT\). Por lo tanto\(c\ns_V(T,v)=\half f R\), al igual que en el caso de un gas ideal. Sin embargo, en lugar de\(c\ns_p=c\ns_V+R\), que se sostiene para los gases ideales,\(c\ns_p(T,v)\) viene dada por la Ecuación [cpvdw]. Por lo tanto,\[\begin{aligned} c_V^\ssr{VDW}&=\half f R \\ c_p^\ssr{VDW}&=\half f R +{R^2Tv^3\over RTv^3-2a(v-b)^2}\ .\end{aligned}\] Tenga en cuenta que\(c\ns_p(a\to 0)=c\ns_V+R\), que es el resultado de gas ideal.

Como veremos en el capítulo 7, el sistema van der Waals se encuentra inestable a lo largo de una región de parámetros, donde experimenta separación de fases entre fases de alta densidad (líquida) y baja densidad (gas). Los resultados anteriores son válidos solo en las regiones estables del diagrama de fases.

Funciones de respuesta termodinámica

Considere la entropía\(S\) expresada como una función de\(T\),\(V\), y\(N\):\[dS=\pabc{S}{T}{V,N}dT + \pabc{S}{V}{T,N}dV + \pabc{S}{N}{T,V}dN\ .\] Dividiendo por\(dT\), multiplicando por\(T\), y asumiendo a\(dN=0\) lo largo de todo, tenemos\[C\ns_p-C\ns_V=T\pabc{S}{V}{T}\pabc{V}{T}{p}\ .\] Apelando a una relación Maxwell derivada de\(F(T,V,N)\), y luego apelando a la ecuación [boxtwob], tenemos\[\pabc{S}{V}{T}=\pabc{p}{T}{V}=-\pabc{p}{V}{T}\pabc{V}{T}{p}.\] Esto nos permite escribir\[C\ns_p-C\ns_V=-T\pabc{p}{V}{T}\bigg({\pz V\over\pz T}\bigg)^{\!2}_{\!\!p}\ .\] Definimos las funciones de respuesta,\[\begin{aligned} \hbox{isothermal compressibility:}\quad\kappa\ns_T&=-{1\over V}\pabc{V}{p}{T} = -{1\over V}\,{\pz^2 G\over \pz p^2} \\ \hbox{adiabatic compressibility:}\quad\kappa\ns_S&=-{1\over V}\pabc{V}{p}{S} = -{1\over V}\,{\pz^2 \CH\over \pz p^2}\bvph \\ \hbox{thermal expansivity:}\quad\alpha\ns_p&={1\over V}\pabc{V}{T}{p}\ .\end{aligned}\] Así,\[C\ns_p-C\ns_V = V\,{T \alpha_p^2\over\kappa\ns_T}\ ,\] o, en términos de cantidades intensivas,\[c\ns_p-c\ns_V = {v\,T \alpha_p^2\over\kappa\ns_T}\ , \label{inta}\] donde, como siempre,\(v=V\NA/N\) está el volumen molar.

Esta relación anterior generaliza a cualquier par conjugado fuerza-desplazamiento\((-p,V)\to (y,X)\):\[\begin{split} C\ns_{y}-C\ns_{X} &=- T\pabc{y}{T}{X}\pabc{X}{T}{y}\bvph\\ &= T\pabc{y}{X}{T}\bigg({\pz X\over\pz T}\bigg)^{\!2}_{\!\!y}\ . \end{split}\] Por ejemplo, podríamos tener\((y,X)=(H^\alpha,M^\alpha)\).

Se puede derivar una relación similar entre las compresibilidades\(\kappa\ns_T\) y\(\kappa\ns_S\). Entonces claramente debemos comenzar con el volumen, escribiendo\[dV=\pabc{V}{p}{S,N}dp + \pabc{V}{S}{p,N}dS + \pabc{V}{p}{S,p}dN\ .\] Dividiendo por\(dp\), multiplicando por\(-V^{-1}\), y manteniéndonos\(N\) constantes, tenemos\[\kappa\ns_T-\kappa\ns_S=-{1\over V}\pabc{V}{S}{p}\pabc{S}{p}{T}\ .\] De nuevo apelamos a una relación Maxwell, escribiendo\[\pabc{S}{p}{T}=-\pabc{V}{T}{p}\ ,\] y después de invocar la regla de la cadena,\[\pabc{V}{S}{p}=\pabc{V}{T}{p}\pabc{T}{S}{p}={T\over C\ns_p}\pabc{V}{T}{p}\ ,\] obtenemos\[\kappa\ns_T-\kappa\ns_S={v\,T\alpha_p^2\over c\ns_p}\ . \label{intb}\] Comparando eqns . [inta] y [intb], encontramos\[(c\ns_p-c\ns_V)\,\kappa\ns_T = (\kappa\ns_T-\kappa\ns_S)\, c\ns_p=v\,T\alpha_p^2\ .\] Este resultado conlleva\[{c\ns_p\over c\ns_V}={\kappa\ns_T\over\kappa\ns_S}\ . \label{cpcvktks}\] El resultado correspondiente para los sistemas magnéticos es\[(c\nd_H-c\nd_M)\,\xhi\nd_T = (\xhi\nd_T-\xhi\nd_S)\,c\nd_H = T\bigg({\pz m\over \pz T}\bigg)^{\!2}_{\!\!H}\ ,\] donde\(m=M/\nu\) está la magnetización por mol de sustancia, y\[\begin{aligned} \hbox{isothermal susceptibility:}\quad\xhi\ns_T&=\pabc{M}{H}{T} = -{1\over \nu}\,{\pz^2 \!G\over \pz H^2} \\ \hbox{adiabatic susceptibility:}\quad\xhi\ns_S&=\pabc{M}{H}{S} = -{1\over \nu}\,{\pz^2 \CH\over \pz H^2}\bvph\ .\end{aligned}\] Aquí están la entalpía y la energía libre de Gibbs\[\begin{aligned} \CH&=E-HM & d\CH&=T\,dS - M\,dH\\ G&=E-TS-HM& dG&=-S\,dT - M\,dH\ .\end{aligned}\]

Observación: La discusión previa ha asumido un sistema magnético isotrópico donde\(\BM\) y\(\BH\) son colineales, de ahí\(\BH\ncdot\BM=HM\). \[\begin{aligned} \xhi^{\alpha\beta}_T&=\pabc{M^\alpha}{H^\beta}{T} = -{1\over \nu}\,{\pz^2 \!G\over \pz H^\alpha\,\pz H^\beta} \\ \xhi^{\alpha\beta}_S&=\pabc{M^\alpha}{H^\beta}{S} = -{1\over \nu}\,{\pz^2 \CH\over \pz H^\alpha\,\pz H^\beta}\bvph\ .\end{aligned}\]En este caso, la entalpía y la energía libre de Gibbs son\[\begin{aligned} \CH&=E-\BH\ncdot\BM & d\CH&=T\,dS - \BM\ncdot d\BH\\ G&=E-TS-\BH\ncdot\BM& dG&=-S\,dT - \BM\ncdot d\BH\ .\end{aligned}\]

Efecto Joule: expansión libre de un gas

Anteriormente se consideró la expansión adiabática libre de un gas ideal. Encontramos que de\(Q=W=0\) ahí\(\RDelta E=0\), lo que significa que el proceso es isotérmico, ya que\(E=\nu\ve(T)\) es independiente del volumen. La entropía cambia, sin embargo, desde entonces\(S(E,V,N)=N\kB\ln(V/N) + \half f N \kB \ln(E/N) + N s\ns_0\). Así,\[S\ns_\Rf=S\ns_\Ri+N\kB\ln\!\bigg({V\ns_\Rf\over V\ns_\Ri}\bigg)\ .\] ¿qué pasa si el gas no es ideal?

Nos integramos a lo largo de un camino termodinámico ficticio que conecta los estados inicial y final, donde\(dE=0\) a lo largo del camino. Tenemos de\[0=dE=\pabc{E}{V}{T}dV + \pabc{E}{T}{V}dT\] ahí También\[\pabc{T}{V}{E}=-{(\pz E/\pz V)\ns_T\over (\pz E/\pz T)\ns_V} = -{1\over C\ns_V}\pabc{E}{V}{T}\ .\] tenemos\[\pabc{E}{V}{T}=T\pabc{S}{V}{T}-p = T\pabc{p}{T}{V}-p\ .\] Así,\[\pabc{T}{V}{E}={1\over C\ns_V}\Bigg[p-T\pabc{p}{T}{V}\Bigg]\ .\] Tenga en cuenta que el término entre corchetes se desvanece para cualquier sistema obedeciendo a la ley de gas ideal. Para un gas no ideal,\[\RDelta T=\int\limits_{V\ns_\Ri}^{V\ns_\Rf}\!\!dV\!\pabc{T}{V}{E}\ ,\] que en general es distinto de cero.

Consideremos ahora un gas van der Waals, para lo cual\[\bigg(p+{a\over v^2}\bigg)(v-b)=RT\ .\] tenemos entonces\[p-T\pabc{p}{T}{V}=-{a\over v^2}=-{a\nu^2\over V^2}\ .\] En § 11.3 concluimos que\(C\ns_V=\half f \nu R\) para el gas van der Waals, de ahí\[\RDelta T= -{2a\nu\over fR}\!\int\limits_{V\ns_\Ri}^{V\ns_\Rf}\!{dV\over V^2} = {2a\over fR} \bigg({1\over v\ns_\Rf} - {1\over v\ns_\Ri}\bigg)\ .\] Así, si\(V\ns_\Rf>V\ns_\Ri\), tenemos\(T\ns_\Rf < T\ns_\Ri\) y el gas se enfría al expandirse.

Considere\(\RO\ns_2\) gas con un volumen específico inicial de\(v\ns_\Ri=22.4\,\RL/{mol}\), que es el valor STP para un gas ideal, expandiéndose libremente a un volumen\(v\ns_\Rf=\infty\) para un enfriamiento máximo. Según la tabla [vdwab],\(a=1.378\,\RL^2\cdot{bar}/ {mol}^2\), y tenemos\(\RDelta T = -2a/ fRv\ns_i=-0.296\,\RK\), que es una cantidad lastimosamente pequeña de enfriamiento. La expansión libre adiabática es una forma muy ineficiente de enfriar un gas.

[acelerador] En un acelerador, un gas es empujado a través de un tapón poroso que separa regiones de diferente presión. El cambio en la energía es el trabajo realizado, de ahí que la entalpía se conserve durante el proceso de estrangulamiento.

Estrangulamiento: el efecto Joule-Thompson

En un acelerador, representado en la Fig. [acelerador], un gas es forzado a través de un tapón poroso que separa regiones de diferentes presiones. De acuerdo con la cifra, el trabajo realizado sobre un determinado elemento de gas es\[W=\int\limits_0^{V\ns_\Rf}\!\!dV\,p\ns_\Rf\ - \int\limits_0^{V\ns_\Ri}\!\!dV\,p\ns_\Ri = p\ns_\Rf V\ns_\Rf - p\ns_\Ri V\ns_\Ri\ .\] Ahora asumimos que el sistema está aislado térmicamente para que el gas no intercambie calor con su entorno, ni con el tapón. Entonces\(Q=0\) así\(\RDelta E = -W\), y\[\begin{aligned} E\ns_\Ri + p\ns_\Ri V\ns_\Ri & = E\ns_\Rf + p\ns_\Rf V\ns_\Rf \\ \CH\ns_\Ri = \CH\ns_\Rf\ ,\end{aligned}\] dónde\(\CH\) está la entalpía. Así, el proceso de estrangulamiento es isentálpico. Por lo tanto, podemos estudiarlo definiendo un camino termodinámico ficticio a lo largo del cual\(d\CH=0\). El, eligiendo\(T\) y\(p\) como variables de estado, de\[0=d\CH=\pabc{\CH}{T}{p}dT\ +\ \pabc{\CH}{p}{T}dp\] ahí\[\pabc{T}{p}{\CH}=-{(\pz \CH/\pz p)\ns_T\over (\pz \CH/\pz T)\ns_p} \ .\] El numerador en el RHS se computa escribiendo\(d\CH=T\,dS + V\,dp\) y luego dividiendo por\(dp\), para obtener\[\pabc{\CH}{p}{T}=V+T\pabc{S}{p}{T} = V-T\pabc{V}{T}{p}\ .\] El denominador es\[\begin{split} \pabc{\CH}{T}{p}&=\pabc{\CH}{S}{p}\pabc{S}{T}{p}\\ &=T\pabc{S}{T}{p}=C\ns_p\ . \end{split}\] Así,\[\begin{split} \pabc{T}{p}{\CH}&={1\over c\ns_p}\Bigg[T\pabc{v}{T}{p} - v\Bigg]\\ &={v\over c\ns_p}\big(T\alpha\ns_p-1\big)\ , \end{split}\] donde\(\alpha\ns_p={1\over V}\pabc{V}{T}{p}\) esta la expansión de volumen coeficiente.

De la ecuación de estado de van der Waals, obtenemos, de la Ecuación\ ref {dvdtvdw}\(v\gg \frac{a}{RT},b\),\[T\alpha\ns_p={T\over v}\!\pabc{v}{T}{p} = {RT/v\over p -{a\over v^2} + {2ab\over v^3}}= {v-b\over v-{2a\over RT}\left({v-b\over v}\right)^2}\ . \label{tapvdw}\] Suponiendo, tenemos\[\pabc{T}{p}{\CH}={1\over c\ns_p}\bigg({2a\over RT}-b\bigg)\ .\] Así\(T>T^*={2a\over Rb}\), para, tenemos\(\pabc{T}{p}{\CH}<0\) y el gas se calienta al disminuir una presión isentálpica. Porque\(T<T^*\), el gas se enfría en tales condiciones.

[itvdw] Temperatura de inversión\(T^*(p)\) para el gas van der Waals. La presión y la temperatura se dan en términos de\(p_\Rc=a/27b^2\) y\(T_\Rc=8a/27bR\), respectivamente.

De hecho, hay dos temperaturas de inversión\(T^*_{1,2}\) para el gas van der Waals. Para ver esto, nos fijamos\(T\alpha\ns_p=1\), que es el criterio para la inversión. De la Ecuación\ ref {tapvdw} es fácil de derivar\[{b\over v}=1-\sqrt

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\ .\] Insertamos esto en la ecuación de estado de van der Waals para derivar una relación\(T=T^*(p)\) en la que se\(T\alpha\ns_p=1\) sostiene. Después de un poco de trabajo, encontramos\[p=-{3RT\over 2b} + \sqrt{8aRT\over b^3} - {a\over b^2}\ .\] Esta es una ecuación cuadrática para\(T\), cuya solución es\[T^*(p)={2a\over 9\,bR}\Bigg( 2\pm \sqrt{1-{3b^2 p\over a}\>}\>\Bigg)^{\!2}\ . \label{invtemp}\] En la Fig. [itvdw] trazamos presión versus temperatura en unidades escaladas, mostrando la curva a lo largo de la cual\(\pabc{T}{p}{\CH}=0\). Las escalas de volumen, presión y temperatura definidas son\[v\ns_\Rc=3b\qquad,\qquad p\ns_\Rc={a\over 27\,b^2}\qquad,\qquad T\ns_\Rc={8a\over 27\,bR}\ . \label{vdwscale}\] Valores para\(p\ns_\Rc\)\(T\ns_\Rc\), y\(v\ns_\Rc\) se proporcionan en la tabla [vdwab]. Si definimos\(v=v/v\ns_\Rc\),\(p=p/p\ns_\Rc\), y\(T=T/T\ns_\Rc\), entonces la ecuación de estado de van der Waals puede escribirse en forma adimensional:\[\bigg(p+ {3\over v^2}\bigg)\big(3v-1)=8T\ .\]

En cuanto a los parámetros escalados, la ecuación para la curva de inversión\(\pabc{T}{p}{\CH}=0\) se convierte\[p=9-36\,\Big(1-\sqrt{\third T\>}\>\Big)^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad T=3\Big(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{9}\,p\>}\>\Big)^2\ .\] Así, no hay inversión para\(p>9\,p\ns_\Rc\). Generalmente nos interesa la temperatura de inversión superior,\(T_2^*\), correspondiente al signo superior en la Ecuación [invtemp]. La temperatura máxima de inversión se produce para\(p=0\), donde\(T^*_{max}=\frac{2a}{bR}=\frac{27}{4}\,T\ns_\Rc\). Para\(\RH\ns_2\), a partir de los datos en la tabla [vdwab], encontramos\(T^*_{max}(\RH\ns_2)=224\,\RK\), que se encuentra dentro del 10% del valor medido experimentalmente de\(205\,\RK\).

¿Qué sucede cuando el\(\RH\ns_2\) gas se escapa de un contenedor con\(T > T^*_2\)? Desde\(\pabc{T}{p}{\CH}<0\) y\(\RDelta p <0\), tenemos\(\RDelta T>0\). El gas se calienta, y el calor facilita la reacción\(2\,\RH\ns_2 + \RO\ns_2\longrightarrow 2\,\RH\ns_2\RO\), lo que libera energía, y tenemos una agradable explosión.