4.3: Teoría del campo medio de Landau

El enfoque de más alto nivel para las transiciones de fase continuas, formalmente no basado en ningún modelo microscópico en particular (aunque de hecho implica el modelo de Ising (\(4.2.3\)) o uno de sus hermanos), es la teoría del campo medio desarrollada en 1937 por L. Landau, sobre la base de ideas anteriores de P. Weiss — para ser discutidos en la siguiente sección. La idea principal de este enfoque fenomenológico es representar el cambio de la energía libre\(\Delta F\) en la transición de fase como una función explícita del parámetro order\(\eta\) (\(4.2.5\)). Dado que at\(T \rightarrow T_c\), el parámetro order tiene que tender a cero, este cambio,

\[\Delta F \equiv F(T)-F(T_c),\label{41}\]

puede expandirse a la serie Taylor en\(\eta \), y solo unos pocos, los primeros términos más importantes de esa expansión retenidos. Para mantener la simetría entre dos posibles signos del parámetro de orden (es decir, entre dos posibles direcciones de giro en el modelo de Ising) en ausencia de campo externo, en\(h = 0\) esta expansión debe incluir solo potencias pares de\(\eta \):

\[ \left.\left.\Delta f\right|_{h=0} \equiv \frac{\Delta F}{V}\right|_{h=0}=A(T) \eta^{2}+\frac{1}{2} B(T) \eta^{4}+\ldots, \quad \text { at } T \approx T_{c} . \label{42}\]

Como\(\PageIndex{1}\) muestra la Figura, at\(A(T) < 0\), y\(B(T) > 0\), estos dos términos son suficientes para describir el mínimo de la energía libre at\(\eta 2 > 0\), es decir, para calcular valores estacionarios del parámetro de orden; es por esto que la teoría de Landau ignora términos más altos de la expansión de Taylor, que son mucho más pequeños en \(\eta \rightarrow 0\).

Figura\(\PageIndex{1}\): La energía libre Landau (\ ref {42}) en función de (a)\(\eta\) y (b)\(\eta^2\), para dos signos del coeficiente\(A(T)\), ambos para\(B(T) > 0\).

Ahora vamos a discutir las dependencias de temperatura de los coeficientes\(A\) y\(B\). Como muestra la Ecuación (\ ref {42}), en primer lugar, el coeficiente\(B(T)\) tiene que ser positivo para cualquier signo de\(\tau \propto (T_c – T)\), para asegurar el equilibrio a un valor finito de\(\eta^2\). Por lo tanto, es razonable ignorar por completo la dependencia de la temperatura\(B\) cercana a la temperatura crítica, es decir, usar la aproximación

\[ B(T) = b > 0. \label{43}\]

Por otro lado, como\(\PageIndex{1}\) muestra la Figura, el coeficiente\(A(T)\) tiene que cambiar signo at\(T = T_c\), para ser positivo at\(T > T_c\) y negativo at\(T < T_c\), para asegurar la transición de\(\eta = 0\) at\(T > T_c\) a un cierto valor distinto de cero del parámetro de orden at\(T < T_c\). Suponiendo que\(A\) es una función suave de la temperatura, podemos aproximarla por el término principal de su expansión Taylor en\(\tau \):

\[ A(T) = −a\tau , \quad \text{ with } a > 0, \label{44}\]

para que la Ecuación (\ ref {42}) se convierta en

\[ \left. \Delta f \right|_{h=0} −a\tau \eta^2 + \frac{1}{2}b\eta^4 . \label{45}\]

En esta forma rudimentaria, la teoría de Landau puede parecer casi trivial, y su principal fortaleza es la posibilidad de su directa extensión a los efectos del campo externo y de las variaciones espaciales del parámetro de orden. Primero, como los términos de campo en las Eqs. (\(4.2.1\)) o (\(4.2.3\)) muestran, el campo aplicado da a dichos sistemas, en promedio, la adición de energía\(–h\eta\) por partícula, es decir,\(–nh\eta\) por unidad de volumen, donde\(n\) está la densidad de partículas. Segundo, ya que de acuerdo con la Ecuación (\(4.2.11\)) (con\(\nu > 0\), ver Tabla\(4.2.1\)) el radio de correlación diverge en\(\tau \rightarrow 0\), en este límite las variaciones espaciales del parámetro de orden deben ser lentas,\(|\nabla \eta |\rightarrow 0\). Por lo tanto, los efectos del gradiente en\(\Delta F\) pueden ser aproximados por el primer término distinto de cero de su expansión en la serie Taylor en\((\nabla \eta )^2\). ²⁶ Como resultado, la Ecuación (\ ref {45}) puede generalizarse como

Teoría Landau: energía libre

\[\boxed{\Delta F = \int \Delta fd^3 r, \quad \text{ with } \Delta f = −a\tau \eta^2 + \frac{1}{2} b\eta^4 − nh\eta + c ( \nabla \eta )^2, } \label{46}\]

donde\(c\) es un coeficiente independiente de\(\eta \). Para evitar el efecto antifísico de la formación espontánea de variaciones espaciales del parámetro de orden, ese factor tiene que ser positivo a todas las temperaturas y por lo tanto puede tomarse para una constante en una pequeña vecindad de\(T_c\) — la única región donde se puede esperar que la Ecuación (\ ref {46}) proporcione cuantitativamente resultados correctos.

Averiguemos qué exponentes críticos son predichos por este enfoque fenomenológico. En primer lugar, podemos encontrar los valores de equilibrio del parámetro de orden a partir de la condición de\(F\) tener un mínimo,\(\partial F/\partial \eta = 0\). At\(h = 0\), es más fácil usar la ecuación equivalente\(\partial F/\partial (\eta 2) = 0\), donde\(F\) viene dada por Ecuación (\ ref {45}) — ver Figura\(\PageIndex{1b}\). Esto inmediatamente rinde

\[|\eta|= \begin{cases}(a \tau / b)^{1 / 2}, & \text { for } \tau>0 \\ 0, & \text { for } \tau<0.\end{cases} \label{47}\]

Comparando este resultado con la ecuación (\(4.2.6\)), vemos que en la teoría de Landau,\(\beta = 1/2\). A continuación, enchufando el resultado (\ ref {47}) de nuevo a la Ecuación (\ ref {45}), para el valor de equilibrio (mínimo) de la energía libre, obtenemos

\[\Delta f = \begin{cases} -a^2 \tau^2 / 2b, & \text { for } \tau>0 \\ 0, & \text { for } \tau<0.\end{cases} \label{48}\]

A partir de aquí y la ecuación (\(4.2.17\)), el calor específico,

\[\frac{C_h}{V} = \begin{cases} a^2 / b T_c, & \text { for } \tau>0 \\ 0, & \text { for } \tau<0,\end{cases} \label{49}\]

tiene, en el punto crítico, una discontinuidad más que una singularidad, por lo que necesitamos prescribir valor cero al exponente crítico\(\alpha \).

En presencia de un campo uniforme, el parámetro de orden de equilibrio debe encontrarse a partir de la condición\(\partial f/\partial \eta = 0\) aplicada a la Ecuación (\ ref {46}) con\(\nabla \eta = 0\), dando

\[\frac{\partial f}{\partial \eta} \equiv -2 a \tau \eta +2 b \eta^3 - nh = 0. \label{50}\]

En el límite de un parámetro de orden pequeño\(\eta \rightarrow 0\),, el término con\(\eta 3\) es insignificante, y la ecuación (\ ref {50}) da

\[\eta = - \frac{nh}{2a \tau},\label{51}\]

de manera que de acuerdo con la Ecuación (\(4.2.9\)),\(\gamma = 1\). Por otro lado, a\(\tau = 0\) (o a campos relativamente altos a otras temperaturas), el término cúbico en la Ecuación (\ ref {50}) es mucho mayor que el lineal, y esta ecuación rinde

\[\eta = \left( \frac{nh}{2b}\right)^{1/3}, \label{52}\]

de manera que la comparación con la ecuación (\(4.2.12\)) rinde\(\delta = 3\). Finalmente, según la Ecuación (\(4.2.10\)), el último término en la Ecuación (\ ref {46}) escala como\(c\eta^2/r_c^2\). (Si\(r_c \neq \infty \), los efectos del factor preexponencial en la Ecuación (\(4.2.10\)) son despreciables.) Como resultado, la contribución del término gradiente es comparable ²⁷ con los dos términos principales en\(\Delta f\) (que, según la Ecuación (\ ref {47}), son del mismo orden), si

\[r_c \approx \left(\frac{c}{a|\tau |} \right)^{1/2}, \label{53}\]

de manera que según la definición (\(4.2.11\)) del exponente crítico\(\nu \), en la teoría Landau es igual a 1/2.

La tercera columna de la Tabla\(4.2.1\) resume los exponentes críticos y sus combinaciones en la teoría de Landau. Muestra que estos valores están algo fuera de los rangos experimentales, y si bien algunas de sus relaciones “universales” son correctas, algunas no lo son; por ejemplo, la relación Josephson solo sería correcta en\(d = 4\) (no la dimensionalidad espacial más realista :-) La razón principal de este decepcionante resultado es que al describir la interacción de espín con el campo, la teoría de campo medio de Landau descuida la aleatoriedad de espín, es decir, las fluctuaciones. Aunque una teoría cuantitativa de las fluctuaciones se discutirá solo en el próximo capítulo, podemos realizar fácilmente su estimación bruta. Mirando la Ecuación (\ ref {46}), vemos que su primer término es una función cuadrática del efectivo “medio grado de libertad”,\(\eta \). Por lo tanto, por el teorema de equipartición (\(2.2.10\)), podemos esperar que el cuadrado promedio de sus fluctuaciones térmicas, dentro de un volumen\(d\) -dimensional con un tamaño lineal del orden de\(r_c\), debe ser del orden de\(T/2\) (cercano a la temperatura crítica,\(T_c/2\) es lo suficientemente bueno aproximación):

\[a| \tau | \langle \tilde{\eta} \rangle r^d_c \sim \frac{T_c}{2}. \label{54}\]

Para ser insignificante, la varianza tiene que ser pequeña en comparación con el promedio\(\eta 2 \sim a\tau /b\) — ver Ecuación (\ ref {47}). Taponando las\(\tau \) -dependencias de los operandos de esta relación, y los valores de los exponentes críticos en la teoría Landau,\(\tau > 0\) pues obtenemos el llamado criterio Levanyuk-Ginzburg de su validez:

\[\frac{T_c}{2a \tau} \left(\frac{a\tau }{c} \right)^{d/2} << \frac{a\tau}{b}. \label{55}\]

Vemos que para cualquier dimensionalidad realista,\(d < 4\), en\(\tau \rightarrow 0\) el orden las fluctuaciones del parámetro crecen más rápido que su valor promedio, y de ahí la teoría se vuelve inválida.

Por lo tanto, la teoría de campo medio de Landau no es un enfoque perfecto para encontrar índices críticos en transiciones de fase continuas en sistemas tipo ISING con sus interacciones vecino siguiente entre las partículas. A pesar de ello, esta teoría es muy valorada por la siguiente razón. Cualquier interacción de largo alcance entre partículas aumenta el radio de correlación y\(r_c\), por lo tanto, suprime las fluctuaciones del parámetro de orden. Como ejemplo, en la autoexcitación láser, el campo óptico coherente emergente acopla esencialmente todas las partículas emisoras de fotones en la cavidad electromagnética (resonador). Como otro ejemplo, en los superconductores el papel del radio de correlación lo juega el tamaño de Cooper-pair\(\xi_0\), que suele ser del orden de\(10^{-6}\) m, es decir, mucho mayor que la distancia promedio entre los pares (\(\sim 10^{-8}\)m). Como resultado, la teoría del campo medio sigue siendo válida a todas las temperaturas además de un intervalo de temperatura extremadamente pequeño cercano\(T_c\) — para superconductores a granel, del orden de\(10^{-6}\) K.

Otra fortaleza de la teoría clásica del campo medio de Landau (\ ref {46}) es que puede generalizarse fácilmente para una descripción de los condensados de Bose-Einstein, es decir, los fluidos cuánticos. De esas generalizaciones, la más famosa es la teoría de la superconductividad de Ginzburg-Landau. Fue desarrollado en 1950, es decir, incluso antes de la explicación microscópica de este fenómeno por J. Bardeen, L. Cooper y R. Schrieffer en 1956-57. En esta teoría, el parámetro de orden real\(\eta\) se sustituye por el módulo de una función compleja\(\psi \), físicamente la función de onda del condensado coherente de Bose-Einstein de pares Cooper. Dado que cada par lleva la carga eléctrica\(q = –2e\) y tiene cero giro, interactúa con el campo magnético de una manera diferente a la descrita por los modelos Heisenberg o Ising. Es decir, como ya se discutió en la Sec. 3.4, en el campo magnético, el operador del\(\nabla\) en la Ecuación (\ ref {46}) tiene que complementarse con el término\(–i(q/\hbar )\mathbf{A}\), donde\(\mathbf{A}\) está el potencial vectorial del campo magnético total\(\pmb{\mathscr{B}} = \nabla \times \mathbf{A}\), incluyendo no solo el campo magnético externo\(\pmb{\mathscr{H}}\) sino también el campo inducido por la propia supercorriente. Con la cuenta de la conocida fórmula para la energía del campo magnético, la ecuación (\ ref {46}) ahora se reemplaza por

Teoría GL: energía libre

\[\boxed{\Delta f=-a \tau|\psi|^{2}+\frac{1}{2} b|\psi|^{4}-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left|\left(\nabla-i \frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right) \psi\right|^{2}+\frac{\mathscr{B}^{2}}{2 \mu_{0}},}\label{56}\]

donde\(m\) es un coeficiente fenomenológico más que la masa real de la partícula.

La minimización variacional de la densidad de energía de Gibbs resultante\(\Delta g \equiv \Delta f – \mu_0 \pmb{\mathscr{H}} \cdot \pmb{\mathscr{M}} \equiv \Delta f – \pmb{\mathscr{H}} \cdot \pmb{\mathscr{B}} + \) const ²⁸ sobre las variables\(\psi\) y\(\pmb{\mathscr{B}}\) (que se sugiere para el ejercicio del lector) produce dos ecuaciones diferenciales:

Ecuaciones GL:

\[\boxed{\frac{\nabla \times \mathscr{B}}{\mu_{0}}=q \frac{i \hbar}{2 m}\left[\psi\left(\nabla-i \frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right) \psi^{*}-\text { c.c. }\right], }\label{57a}\]

\[\boxed{a \tau \psi=b|\psi|^{2} \psi-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\nabla-i \frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right)^{2} \psi . } \label{57b}\]

La primera de estas ecuaciones de Ginzburg-Landau (\ ref {57a}) no debería ser una gran sorpresa para el lector, porque según las ecuaciones de Maxwell, en magnetostática el lado izquierdo de la Ecuación (\ ref {57a}) tiene que ser igual a la densidad de corriente eléctrica, mientras que su lado derecho es el cuántico habitual probabilidad mecánica densidad de corriente multiplicada por\(q\), es decir, la densidad\(\mathbf{j}\) de la corriente eléctrica del condensado del par Cooper. (En efecto, después de conectarnos\(\psi = n^{1/2}\text{exp}\{i\phi \}\) a esa expresión, volvemos a la Ecuación (\(3.4.15\)) que, como ya sabemos, explica fenómenos cuánticos macroscópicos como la cuantificación del flujo magnético y el efecto Meissner-Ochsenfeld.)

Sin embargo, la Ecuación (\ ref {57b}) es nueva para nosotros —al menos para este curso. ²⁹ Dado que el último término en su lado derecho es la expresión onda-mecánica estándar para la energía cinética de una partícula en presencia de un campo magnético, ³⁰ si este término domina ese lado de la ecuación, la ecuación (\ ref {57b}) se reduce a la ecuación estacionaria de Schrödinger \(E\psi = \hat{H}\psi \), para el estado fundamental de los pares Cooper libres, con la energía total\(E = a\tau \). Sin embargo, en contraste con la ecuación habitual (de partícula única) de Schrödinger, en la que\(|\psi |\) está determinada por la condición de normalización, la densidad de condensado del par Cooper\(n = |\psi |^2\) está determinada por el equilibrio termodinámico del condensado con el conjunto de electrones “normales” (desapareados), que juega el papel de la parte no condensada de las partículas en el condensado habitual de Bose-Einstein — ver Sec. 3.4. En la Ecuación (\ ref {57b}), dicho equilibrio es forzado por el primer término\(b|\psi |^2\psi\) en el lado derecho. Como ya hemos visto, en ausencia de campo magnético y gradientes espaciales, dicho término rinde\(|\psi | \propto \tau^{1/2} \propto (T_c – T)^{1/2}\) — ver Ecuación (\ ref {47}).

Como observación entre paréntesis, desde el punto de vista matemático, el término\(b|\psi |^2\psi \), que es no lineal en\(\psi \), convierte a la Ecuación (\ ref {57b}) en un miembro de la familia de las llamadas ecuaciones no lineales de Schrödinger. Otro miembro de esta familia, importante para la física, es la ecuación de Gross-Pitaevskii,

Ecuación de Gross-Pitaevskii:

\[\boxed{a \tau \psi = b | \psi |^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + U(\mathbf{r})\psi , } \label{58}\]

que da una descripción razonable (aunque aproximada) de los efectos de gradiente y campo en los condensados de Bose-Einstein de átomos eléctricamente neutros en\(T \approx T_c\). Las diferencias entre las Eq. (\ ref {58}) y (\ ref {57a} -\ ref {57b}) reflejan, primero, la carga eléctrica cero\(q\) de los átomos (de manera que la Ecuación (\ ref {57a}) se vuelve trivial) y, segundo, el hecho de que los átomos que forman los condensados pueden colocarse fácilmente en potenciales externos\(U(\mathbf{r}) \neq\) const (incluyendo los potenciales promediados en el tiempo de trampas ópticas — ver EM Capítulo 7), mientras que en los superconductores tales perfiles de potencial son mucho más difíciles de crear debido al apantallamiento de campos eléctricos y ópticos externos por conductores — véase, por ejemplo, EM Sec. 2.1.

Volviendo a la discusión de la Ecuación (\ ref {57b}), es fácil ver que su último término aumenta a medida que se incrementa ya sea el campo magnético externo o la densidad de corriente que pasa a través de un superconductor, incrementando el potencial vectorial. En la ecuación de Ginzburg-Landau, este aumento se corresponde con una disminución correspondiente de\(|\psi |^2\), es decir, de la densidad del condensado\(n\), hasta que se suprime por completo. Este balance describe el efecto bien documentado de la supresión de superconductividad por un campo magnético externo y/o la supercorriente que pasa a través de la muestra. Además, junto con la Ecuación (\ ref {57a}), que describe naturalmente la cuantificación del flujo (ver Sec. 3.4), la Ecuación (\ ref {57b}) explica la existencia de los llamados vórtices de Abrikosov —tubos delgados de campo magnético, cada uno con un cuántico\(\Phi_0\) de flujo magnético— ver Ecuación (\(3.4.17\)). En la parte central del vórtice,\(|\psi |^2\) se suprime (hasta cero en su línea central) por la corriente persistente y libre de disipación del condensado superconductor, que circula alrededor del núcleo y criba al resto del superconductor del campo magnético transportado por el vórtice. ³¹ La penetración de tales vórtices en los llamados superconductores de tipo II les permite mantener una resistencia de CC cero hasta campos magnéticos muy altos del orden de 20 T, y como resultado, ser utilizados en imanes muy compactos, incluidos los utilizados para la flexión del haz en aceleradores de partículas.

Además, generalizando Eqs. (\ ref {57a} -\ ref {57b}) al caso dependiente del tiempo, así como se hace con la ecuación habitual de Schrödinger, se pueden describir otros fenómenos macroscópicos cuánticos fascinantes como los efectos Josephson, incluyendo la generación de oscilaciones con frecuencia\(\omega_J = (q/\hbar )\mathscr{V}\) por enlaces débiles entre dos superconductores, polarizados por voltaje dc\(\mathscr{V}\). Desafortunadamente, las restricciones de tiempo/espacio no me permiten discutir estos efectos con ningún detalle en este curso, y tengo que referir al lector a literatura especial. ³² Permítanme solamente señalar que en el límite\(T \rightarrow T_c\), y para los cristales superconductores no extremadamente puros (en los que los llamados fenómenos de transporte no local pueden ser importantes), las ecuaciones de Ginzburg-Landau son exactas, y pueden derivarse (y sus parámetros\(T_c\),\(a\),\(b\), \(q\), y\(m\) determinado) a partir de la teoría estándar “microscópica” de la superconductividad, basada en el trabajo inicial de Bardeen, Cooper y Schrieffer. ³³ Lo más importante es que tal derivación prueba que\(q = –2e\) — la carga eléctrica de un solo par Cooper.