4.4: Modelo Ising - Teoría del campo molecular de Weiss

La teoría del campo medio de Landau es fenomenológica en el sentido de que incluso dentro del rango de su validez, no nos dice nada sobre el valor de la temperatura crítica\(T_c\) y otros parámetros (en la Ecuación (\(4.3.6\))\(a\), los coeficientes\(b\), y\(c\)), de manera que tienen que se encuentran a partir de un modelo “microscópico” particular del sistema bajo análisis. En este curso, tendríamos tiempo para discutir solo el modelo de Ising (\(4.2.3\)) para diversas dimensionalidades\(d\).

\[ F = −(NJd )\eta^2 − Nh\eta . \label{59}\]

Esta energía se representa en la Figura\(\PageIndex{1a}\) como una función de\(\eta \), para varios valores de\(h\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Dependencias de campo de (a) el perfil de energía libre y (b) el parámetro de orden (es decir, magnetización) en el enfoque de campo medio más crudo del modelo de Ising.

Las gráficas muestran que at\(h = 0\), el sistema puede estar en cualquiera de dos estados estables, con\(\eta = \pm 1\), correspondientes a dos direcciones de giro diferentes (es decir, dos direcciones diferentes de magnetización), con igual energía. ³⁵ (Formalmente, el estado con también\(\eta = 0\) es estacionario, porque en este punto\(\partial F/\partial \eta = 0\), pero es inestable, porque para la interacción ferromagnética,\(J > 0\), la segunda derivada siempre\(\partial^2 F/\partial \eta^2\) es negativa.)

A medida que aumenta el campo externo, inclina el perfil potencial, y finalmente en el campo crítico,

\[h = h_c \equiv 2Jd , \label{60}\]

Entonces, esta teoría más simple del campo medio (\ ref {59}) da una descripción (cruda) del ordenamiento ferromagnético. Sin embargo, esta teoría sobreestima groseramente la estabilidad de estos estados con respecto a las fluctuaciones térmicas. De hecho, en esta teoría, no hay aleatoriedad inducida térmicamente en absoluto, hasta que\(T\) se vuelve comparable con la altura de la barrera energética que separa dos estados estables,

\[ \Delta F \equiv F(\eta = 0) − F(\eta = \pm 1) = NJd , \label{61}\]

que es proporcional al número de partículas. En\(N \rightarrow \infty \), este valor diverge, y en este sentido, la temperatura crítica es infinita, mientras que experimentos numéricos y teorías más refinadas del modelo de Ising muestran que en realidad su fase ferromagnética se suprime en\(T > T_c \sim Jd\) — ver más adelante.

La precisión de esta teoría puede mejorarse drásticamente incluso por una cuenta aproximada de la aleatoriedad inducida térmicamente. En este enfoque (sugerido en 1907 por Pierre-Ernest Weiss), llamada teoría del campo molecular, ³⁸ desviaciones aleatorias de los valores de espín individuales del promedio de la red,

\[\tilde{s}_k \equiv s_k - \eta, \quad \text{ with } \eta \equiv \langle s_k \rangle , \label{62}\]

están permitidos, pero considerados pequeños,\(| \tilde{s}_k <<\eta \). Esta suposición nos permite, después de conectar la expresión resultante\(s_k = \eta + \tilde{s}_k\) al primer término en el lado derecho de la ecuación (\(4.2.3\)),

\[E_{m}=-J \sum_{\{ k, k\}} \left(\eta+\tilde{s}_{k}\right) \left(\eta+ \widetilde{s}_{k^{\prime}}\right)-h \sum_{k} s_{k} \equiv-J \sum_{\left\{k, k^{\prime}\right\}} \left[\eta^{2}+\eta \left(\widetilde{s}_{k} +\widetilde{s}_{k^{\prime}} \right)+\tilde{s}_{k} \widetilde{s}_{k^{\prime}}\right]-h \sum_{k} s_{k}, \label{63}\]

ignorar el último término entre corchetes. Haciendo el reemplazo (\ ref {62}) en los términos proporcionales a\(\tilde{s}_k\), podemos reescribir el resultado como

\[E_m \approx E_m' \equiv (NJd) \eta^2 - h_{ef} \sum_k s_k , \label{64}\]

donde\(h_{ef}\) se define como la suma

\[h_{ef} \equiv h + (2Jd) \eta . \label{65}\]

Esta suma puede interpretarse como el campo externo efectivo, que toma en cuenta (además del campo externo genuino\(h\)) el efecto que ejercerían sobre el giro\(s_k\) sus\(2d\) próximos vecinos si todos tuvieran un giro no fluctuante (pero posiblemente continuo) valores\(s_{k'} = \eta \). Dicha adición al ámbito externo,

Campo molecular de Weiss:

\[\boxed{ h_{mol} \equiv h_{ef} - h = (2Jd ) \eta , } \label{66}\]

se llama el campo molecular, dando su nombre a la teoría de Weiss.

Desde el punto de vista de la física estadística, a parámetros fijos del sistema (incluido el parámetro order\(\eta \)), el primer término en el lado derecho de la Ecuación (\ ref {64}) es simplemente un desplazamiento de energía constante, y\(h_{ef}\) es solo otra constante, de modo que

\[E_{m}^{\prime}=\text { const }+\sum_{k} \varepsilon_{k}, \quad \text { with } \varepsilon_{k}=-h_{e f} s_{k} \equiv \begin{cases}-h_{\mathrm{ef}}, & \text { for } s_{k}=+1 \\ +h_{\mathrm{ef}}, & \text { for } s_{k}=-1. \end{cases} \label{67}\]

Tal separabilidad de la energía significa que en la aproximación del campo molecular las fluctuaciones de diferentes espines son independientes entre sí, y sus estadísticas pueden ser examinadas individualmente, utilizando el espectro de energía\(\varepsilon_k\). Pero este es exactamente el sistema de dos niveles que fue objeto de Problemas 2.2- 2.4. En realidad, sus estadísticas son tan simples que es más fácil rehacer este problema fundamental partiendo de cero, en lugar de utilizar los resultados de esos ejercicios (lo que requeriría cambiar la notación).

En efecto, según la distribución de Gibbs (\(2.4.7\)) - (\(2.4.8\)), las probabilidades de equilibrio de los estados\(s_k = \pm 1\) pueden encontrarse como

\[ W_{\pm}=\frac{1}{Z} e^{\pm h_{e f} / T}, \quad \text { with } Z=\exp \left\{+\frac{h_{\mathrm{ef}}}{T}\right\}+\exp \left\{-\frac{h_{\mathrm{ef}}}{T}\right\} \equiv 2 \cosh \frac{h_{\mathrm{ef}}}{T} . \label{68}\]

A partir de aquí, podemos calcular fácilmente\(F = –T \ln Z\) y todas las demás variables termodinámicas, pero usemos inmediatamente la ecuación (\ ref {68}) para calcular el promedio estadístico de\(s_j\), es decir, el parámetro de orden:

\[\eta \equiv \langle s_j \rangle = (+1) W_+ + (-1) W_- = \frac{e^{+h_{ef}/T} e^{-h_{ef}/T}}{2 \cosh (h_{ef}/T)} \equiv \tanh \frac{h_{ef}}{T}. \label{69}\]

Ahora viene la línea de golpe del enfoque de Weiss: volver a conectar este resultado a la Ecuación (\ ref {65}), podemos escribir la condición de autoconsistencia de la teoría del campo molecular:

Ecuación de autoconsistencia:

\[\boxed{h_{ef} - h = 2Jd \tanh \frac{h_{ef}}{T}. } \label{70}\]

Se trata de una ecuación trascendental, que evade una solución analítica explícita, pero cuyas propiedades pueden analizarse fácilmente trazando ambos lados como funciones del mismo argumento, de manera que el estado o estados estacionarios del sistema correspondan al punto (s) de intersección de estas parcelas.

En primer lugar, exploremos el caso sin campo\((h = 0)\), cuando\(h_{ef} = h_{mol} \equiv 2dJ\eta \), para que la Ecuación (\ ref {70}) se reduzca a

\[\eta = \tanh \left( \frac{2Jd}{T} \eta \right), \label{71}\]

dando uno de los patrones esbozados en la Figura\(\PageIndex{2}\), dependiendo del parámetro adimensional\(2Jd/T\).

Figura\(\PageIndex{2}\): La transición de fase ferromagnética en la teoría del campo molecular de Weiss: dos lados de la Ecuación (\ ref {71}) esbozados como funciones de\(\eta\) para tres temperaturas diferentes: arriba\(T_c\) (rojo), abajo\(T_c\) (azul) e igual a\(T_c\) (verde).

Si este parámetro es pequeño, el lado derecho de la Ecuación (\ ref {71}) crece lentamente con\(\eta\) (ver la línea roja en la Figura\(\PageIndex{2}\)), y solo hay un punto de intersección con la gráfica del lado izquierdo, at\(\eta = 0\). Esto significa que el sistema de espín no tiene magnetización espontánea; esta es la llamada fase paramagnética. Sin embargo, si el parámetro\(2Jd/T\) excede de 1, es decir, si\(T\) se disminuye por debajo del siguiente valor crítico,

Temperatura crítica (“Curie”):

\[\boxed{ T_c = 2Jd , } \label{72}\]

el lado derecho de la Ecuación (\ ref {71}) crece, en pequeño\(\eta \), más rápido que su lado izquierdo, de manera que sus parcelas la cruzan en 3 puntos:\(\eta = 0\) y\(\eta = \pm \eta_0\) — ver la línea azul en la Figura\(\PageIndex{2}\). Es casi evidente que el primer punto estacionario es inestable, mientras que los dos últimos puntos son estables. (Este hecho puede ser fácilmente verificado usando la Ecuación (\ ref {68}) para calcular\(F\). Ahora la condición nos\(\partial F/\partial \eta |_{h=0} = 0\) devuelve a la Ecuación (\ ref {71}), mientras calculamos la segunda derivada,\(T < T_c\) pues obtenemos\(\partial^2 F/\partial \eta^2 > 0\) en\(\eta = \pm \eta_0\), y\(\partial^2F/\partial \eta^2 < 0\) at\(\eta = 0\)). Así, por debajo\(T_c\) del sistema se encuentra en la fase ferromagnética, con una de las dos direcciones posibles de la magnetización espontánea promedio, de manera que la temperatura crítica (Curie ³⁹), dada por la Ecuación (\ ref {72}), marca la transición entre la paramagnética y la ferromagnética fases. (Dado que el valor mínimo estable de la energía libre\(F\) es una función continua de la temperatura en\(T = T_c\), esta transición de fase es continua).

Ahora vamos a repetir este análisis gráfico para examinar cómo cada una de estas fases responde a un campo magnético externo\(h \neq 0\). Según la Ecuación (\ ref {70}), el efecto de\(h\) es solo un desplazamiento horizontal de la gráfica de línea recta de su lado izquierdo — ver Figura\(\PageIndex{3}\). (Obsérvese una normalización diferente, aquí más conveniente, de ambos ejes.)

Figura\(\PageIndex{3}\): Efectos de campo externo sobre: (a) un paramagnet\((T > T_c)\) y (b) un ferroimán\((T < T_c)\).

En el caso paramagnético (Figura\(\PageIndex{3a}\)) la dependencia resultante\(h_{ef}(h)\) es evidentemente continua, pero el efecto de acoplamiento la\((J > 0)\) hace más pronunciada de lo que sería sin interacción de espín. Este efecto puede cuantificarse mediante el cálculo de la susceptibilidad de campo bajo definida por la Ecuación (\(4.2.9\)). Para calcularlo, notemos que para pequeño\(h\), y por lo tanto pequeño\(h_{ef}\), la función tanh en Ecuación (\ ref {70}) es aproximadamente igual a su argumento de manera que Ecuación (\ ref {70}) se reduce a

\[ h_{ef} - h = \frac{2Jd}{T} h_{ef}, \quad \text{ for } \left| \frac{2Jd}{T} h_{ef} \right| <<1. \label{73}\]

Resolviendo esta ecuación para\(h_{ef}\), y luego usando la ecuación (\ ref {72}), obtenemos

\[h_{ef} = \frac{h}{1-2Jd/T} \equiv \frac{h}{1-T_c / T}. \label{74}\]

Recordando la ecuación (\ ref {66}), podemos reescribir este resultado para el parámetro order:

\[\eta = \frac{h_{ef}-h}{T_c} = \frac{h}{T-T_c}, \label{75}\]

para que la susceptibilidad de campo bajo

Ley Curie-Weiss:

\[\boxed{\chi \equiv \left. \frac{\partial \eta}{\partial h} \right|_{h=0} = \frac{1}{T-T_c}, \quad \text{ for } T > T_c. } \label{76}\]

Se trata de la famosa ley Curie-Weiss, que demuestra que la susceptibilidad diverge al acercarse a la temperatura de Curie\(T_c\).

En el caso ferromagnético, la solución gráfica (Figura\(\PageIndex{3b}\)) de la Ecuación (\ ref {70}) da un resultado cualitativamente diferente. Un aumento de campo conduce, dependiendo de la magnetización espontánea, ya sea a la saturación adicional de\(h_{mol}\) (con el parámetro de orden acercándose\(\eta\) gradualmente a 1), o, si la inicial\(\eta\) fue negativa, a un salto a positivo\(\eta\) en algún campo crítico (coercitivo)\(h_c\). En contraste con la aproximación cruda (\ ref {59}), en\(T > 0\) el campo coercitivo es menor que la dada por la Ecuación (\ ref {60}), y la saturación de magnetización es gradual, en una buena (semi-cualitativa) de acuerdo con el experimento.

En resumen, la teoría del campo molecular de Weiss da una descripción aproximada pero realista de las fases ferromagnéticas y paramagnéticas en el modelo de Ising, y una predicción muy simple (\ ref {72}) de la temperatura de la transición de fase entre ellas, para una dimensionalidad arbitraria\(d\) del cúbico celosía. También permite el cálculo de otros parámetros de la teoría del campo medio de Landau para este modelo, un ejercicio fácil dejado para el lector. Además, el enfoque de campo molecular permite obtener resultados analíticos (si son aproximados) para otros modelos de transiciones de fase; véase, por ejemplo, Problema 18.