1.3: Tipos de Olas

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Para hacer más concreto el material anterior, examinamos ahora las características de varios tipos de olas que se pueden observar en el mundo real.

Olas de superficie oceánica

Figura\(\PageIndex{1}\): .3: Ola en un océano de profundidad H. La ola se mueve hacia la derecha y las partículas de agua en la superficie oscilan en trayectorias elípticas a medida que pasan las crestas y abrevaderos de ola.

Estas olas se manifiestan como ondulaciones de la superficie oceánica como se ve en la figura 1.3. La velocidad de las olas oceánicas viene dada por la fórmula

\[c=\left(\frac{g \tanh (k H)}{k}\right)^{1 / 2}\label{1.6}\]

donde g = 9.8 m s ^-2 es la fuerza gravitacional de la tierra por unidad de masa, H es la profundidad del océano y la tangente hiperbólica se define como ¹

\[\tanh (x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{\exp (x)+\exp (-x)}\label{1.7}\]

La ecuación para la velocidad de las olas oceánicas proviene de la teoría de las oscilaciones de una superficie fluida en un campo gravicional.

Figura\(\PageIndex{1}\): .4: Gráfica de la función\(\tanh (x)\). La línea discontinua muestra nuestra aproximación\(\tanh (x) \approx x \text { for }|x|<1\).

Como muestra la figura 1.4, para\(|x|≪ 1\), podemos aproximar la tangente hiperbólica por\(tanh(x) ≈ x\), mientras que para\(|x|≫ 1\) ella es +1 para\(x > 0\) y -1 para\(x < 0\). Esto lleva a dos límites: Dado que\(x = kH\), el límite de aguas poco profundas, que ocurre cuando\(kH ≪ 1\), produce una velocidad de ola de

\[c \approx(g H)^{1 / 2}, \quad \text { (shallow water waves) }\label{1.8}\]

mientras que el límite de aguas profundas, que ocurre cuando\(kH ≫ 1\), rinde

\[c \approx(g / k)^{1 / 2}, \quad \text { (deep water waves). }\label{1.9}\]

Observe que la velocidad de las olas de aguas poco profundas depende únicamente de la profundidad del agua y de g. En otras palabras, todas las olas de aguas poco profundas se mueven a la misma velocidad. Por otro lado, las ondas de aguas profundas de mayor longitud de onda (y por lo tanto de menor número de onda) se mueven más rápidamente que aquellas con longitud de onda más corta. Las ondas para las cuales la velocidad de onda varía con la longitud de onda se denominan dispersivas. Así, las olas de aguas profundas son dispersivas, mientras que las de aguas poco profundas son no dispersivas.

Para las olas de agua con longitudes de onda de unos pocos centímetros o menos, la tensión superficial se vuelve importante para la dinámica de las olas. En el caso de aguas profundas, la velocidad de onda a longitudes de onda cortas viene dada por la fórmula

\[c=(g / k+A k)^{1 / 2}\label{1.10}\]

donde la constante A está relacionada con un efecto llamado tensión superficial. Para una interfaz aire-agua cerca de la temperatura ambiente,\(A \approx 74 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~s}^{-2}\)

Ondas de sonido

El sonido es una onda longitudinal de compresión-expansión en un fluido. La velocidad de onda para el sonido en un gas ideal es

\[c=\left(\gamma R T_{a b s}\right)^{1 / 2}\label{1.11}\]

donde\(γ \) y\(R \) son constantes y\(T\) _abs es la temperatura absoluta. La temperatura absoluta se mide en Kelvins y se da numéricamente por

\[T_{a b s}=T_{C}+273^{\circ} \label{1.12}\]

donde\(T\) _C es la temperatura en grados Celsius. La frecuencia angular de las ondas sonoras viene dada por

\[\omega=c k=\left(\gamma R T_{a b s}\right)^{1 / 2} k\label{1.13}\]

La velocidad del sonido en el aire a temperaturas normales es de aproximadamente 340 m s ^{- 1}.

Luz

La luz se mueve en el vacío a una velocidad de\(c_{v a c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\). En materiales transparentes se mueve a una velocidad menor que\(c_{v a c}\) por un factor\(n\) que se denomina índice de refracción del material:

\[c=c_{v a c} / n\label{1.14}\]

A menudo, el índice de refracción toma la forma

\[n^{2} \approx 1+\frac{A}{1-\left(k / k_{R}\right)^{2}}\label{1.15}\]

donde\(k\) es el número de onda\(k_{R}\) y y\(A\) son constantes positivas características del material. La frecuencia angular de la luz en un medio transparente es así

\[\omega=k c=k c_{v a c} / n\label{1.16}\]