1.10: Problemas

1. Mida su frecuencia de pulso. Calcula la frecuencia ordinaria de tus latidos cardíacos en ciclos por segundo. Calcular la frecuencia angular en radianes por segundo. Calcular el periodo.
2. Una longitud de onda importante para las ondas de radio en radioastronomía es de 21 cm. (Esto viene del hidrógeno neutro.) Calcular el número de onda de esta ola. Calcular las frecuencias ordinarias y angulares. (La velocidad de la luz es de 3 × 10 ⁸ m s ^-1.)
3. Dibuje la onda resultante obtenida al superponer las olas\(A=\sin (2 x) \text { and } B=\sin (3 x)\). Mediante el uso de la identidad trigonométrica dada en la ecuación (1.17), obtener una fórmula para A + B en términos de\(\sin (5 x 2) \text { and } \cos (x / 2)\). ¿La onda obtenida al esbozar esta fórmula concuerda con tu boceto anterior?
4. Dos ondas sinusoidales con longitudes de onda λ ₁ y λ ₂ se superponen, haciendo paquetes de onda de longitud L. Si deseamos hacer L más grande, ¿deberíamos hacer λ ₁ y λ ₂ más cerca o más separados? Explica tu razonamiento.
5. Al examinar la figura 1.9 versus la figura 1.10 y luego la figura 1.11 versus la figura 1.12, determinar si la ecuación (1.18) funciona al menos en un sentido aproximado para paquetes de ondas aisladas.
6. Las frecuencias de la escala cromática en la música vienen dadas por\[f_{i}=f_{0} 2^{i / 12}, \quad i=0,1,2, \ldots, 11\label{1.42}\] donde f ₀ es una constante igual a la frecuencia de la nota más baja en la escala.
   1. Calcular f ₁ a f ₁₁ si f ₀ = 440 Hz (la nota “A”)
   2. Utilizando los resultados anteriores, ¿cuál es la frecuencia de latido entre las notas “A” (i = 0) y “B” (i = 2)? (Las frecuencias se dan aquí en ciclos por segundo en lugar de radianes por segundo).
   3. ¿Qué par de las frecuencias anteriores f ₀ - f ₁₁ produce la frecuencia de latido más pequeña? Explica tu razonamiento. Figura 1.19: Croquis de un radar policial.
7. Los barcos grandes en general no pueden moverse más rápido que la velocidad de fase de las olas superficiales con una longitud de onda igual al doble de la longitud del barco. Esto se debe a que la mayor parte de la fuerza propulsiva va a hacer grandes olas bajo estas condiciones en lugar de acelerar el barco.
   1. ¿Qué tan rápido puede moverse un barco de 300 m de largo en aguas muy profundas?
   2. A medida que el barco se mueve hacia aguas poco profundas, ¿aumenta o disminuye su velocidad máxima? Explique.
8. Dada la fórmula para el índice de refracción de la luz citada en esta sección, ¿para qué rango de k adquiere la velocidad de fase de la luz en un material transparente valores reales que superan la velocidad de la luz en un vacío?
9. Un radar policial funciona dividiendo un haz de microondas, parte del cual se refleja de nuevo al radar desde tu auto donde se hace interferir con la otra parte que recorre un camino fijo, como se muestra en la figura 1.19.
   1. Si la longitud de onda de las microondas es λ, ¿qué tan lejos tiene que viajar en su automóvil para que la interferencia entre los dos haces pase de constructiva a destructiva a constructiva?
   2. Si viaja hacia el radar a velocidad v = 30 m s ^-1, use el resultado anterior para determinar el número de veces por segundo que se producirán picos de interferencia constructiva. Supongamos que λ = 3 cm. Figura 1.20: Croquis de un interferómetro Fabry-Perot.
10. Supongamos que conoce la longitud de onda de la luz que pasa a través de un interferómetro Michelson con alta precisión. Describe cómo podrías usar el interferómetro para medir la longitud de una pequeña pieza de material.
11. Un interferómetro Fabry-Perot (ver figura 1.20) consiste en dos espejos semiplateados paralelos colocados a una distancia d uno del otro como se muestra. El haz que pasa directamente interfiere con el haz que se refleja una vez fuera de ambas superficies reflejadas como se muestra. Para la longitud de onda λ, ¿qué valores de d resultan en interferencia constructiva?
12. Un interferómetro Fabry-Perot tiene espaciamiento d = 2 cm entre las placas de vidrio, provocando que los haces directos y doblemente reflejados interfieran (ver figura 1.20). A medida que el aire es bombeado fuera del hueco entre las placas, los haces pasan por 23 ciclos de interferencia constructiva-destructiva-constructiva. Si la longitud de onda de la luz en los haces interferentes es de 5 × 10 ^-7 m, determinar el índice de refracción del aire inicialmente en el interferómetro.
13. Las mediciones en cierto tipo de onda revelan que la frecuencia angular de la onda varía con el número de onda como se muestra en la siguiente tabla:\ [\ begin {array} {ll}
    \ omega\ left (\ mathrm {s} ^ {-1}\ right) & k\ left (\ mathrm {~m} ^ {-1}\ right)\\
    5 & 1\\
    20 & 2\\
    45 & 3\\
    80 & 4\\
    125 & 5
    \ end {array}\]
    1. Calcular la velocidad de fase de la onda para k = 3 m ^-1 y para k = 4 m ^-1.
    2. Estimar la velocidad del grupo para k = 3. 5 m ^-1 usando una aproximación de diferencia finita a la derivada.
14. Supongamos que algún tipo de onda tiene la relación de dispersión (sin duda rara) que se muestra en la figura 1.21.
    1. ¿Para qué valores de k es positiva la velocidad de fase de la onda?
    2. ¿Para qué valores de k es positiva la velocidad del grupo? Figura 1.21: Croquis de una relación de dispersión rara.
15. Velocidades de grupo de varias olas.
    1. Calcular la velocidad del grupo para olas de aguas poco profundas. Compárela con la velocidad de fase de las olas de aguas poco profundas. (Pista: Primero necesita derivar una fórmula para ω (k) a partir de c (k).)
    2. Repita el problema anterior para las olas de aguas profundas.
    3. Repita para las ondas sonoras. ¿Qué tiene en común este caso con las olas de aguas poco profundas?