1.9: Velocidad de Grupo

Ahora hacemos la siguiente pregunta: ¿Qué tan rápido se mueven los paquetes de onda? Sorprendentemente, a menudo encontramos que los paquetes de ondas se mueven a una velocidad muy diferente a la velocidad de fase,\(c=\omega / k\) de la onda que compone el paquete de ondas.

Encontraremos que la velocidad de movimiento de los paquetes de ondas, referida como la velocidad del grupo, viene dada por

\[u=\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} \quad \text { (group velocity). }\label{1.36}\]

La derivada de\(\omega(k)\) con respecto a\(k\) se calcula primero y luego se evalúa en\(k=k_{0}\) el número de onda central del paquete de onda de interés.

La relación entre la frecuencia angular y el número de onda para una onda,\(\omega=\omega(k)\) depende del tipo de onda que se esté considerando. Sea cual sea esta relación que resulte ser en un caso particular, se le llama relación de dispersión para el tipo de onda en cuestión.

Como ejemplo de un cálculo de velocidad grupal, supongamos que queremos encontrar la velocidad de los paquetes de olas del océano profundo para una longitud de onda central de\(\lambda_{0}=60 \mathrm{~m}\). Esto corresponde a un número de onda central de\(k_{0}=2 \pi \lambda_{0} \approx 0.1 \mathrm{~m}^{-1}\). La velocidad de fase de las olas del océano profundo es\(c=(g / k)^{12}\). Sin embargo, ya que\(c \equiv \omega / k,\) encontramos que la frecuencia de las olas del océano profundo es\(\omega=(g k)^{1 / 2}\). La velocidad del grupo es por lo tanto\(u \equiv d \omega / d k=(g / k)^{12} / 2=c / 2\). Para el número de onda central especificado, lo encontramos\(u \approx\left(9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} / 0.1 \mathrm{~m}^{-1}\right)^{12} / 2 \approx 5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\). Por el contrario, la velocidad de fase de las olas del océano profundo con esta longitud de onda es c ≈ 10 m s ^-1.

Las ondas dispersivas son ondas en las que la velocidad de fase varía con el número de onda. Es fácil demostrar que las ondas dispersivas tienen velocidades de fase y grupo desiguales, mientras que estas velocidades son iguales para las ondas no dispersivas.

Derivación de la Fórmula de Velocidad de Grupo

Ahora derivamos Ecuación\ ref {1.36}. Es más fácil hacer esto para los paquetes de onda más simples, es decir, aquellos construidos a partir de la superposición de solo dos ondas sinusoidales. Procederemos sumando dos ondas con total dependencia de espacio y tiempo:

\[h=\sin \left(k_{1} x-\omega_{1} t\right)+\sin \left(k_{2} x-\omega_{2} t\right)\label{1.37}\]

Después de manipulaciones algebraicas y trigonométricas familiares de secciones anteriores, encontramos

\[h=2 \sin \left(k_{0} x-\omega_{0} t\right) \cos (\Delta k x-\Delta \omega t)\label{1.38}\]

donde como antes tenemos\(k_{0}=\left(k_{1}+k_{2}\right) 2, \omega_{0}=\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) 2, \Delta k=\left(k_{2}-k_{1}\right) 2, \text { and } \Delta \omega=\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) 2\).

Figura\(\PageIndex{1}\): (izquierda) Desplazamiento neto de la suma de dos ondas sinusoidales viajeras trazadas en el plano x - t. El blanco indica donde el desplazamiento es grande y positivo, mientras que el negro indica donde es grande y negativo. Estuche no dispersivo con u _p = u _g = 1.. (derecha) Gráfica del desplazamiento de onda\(x\) en función del tiempo\(t = 0\).

Nuevamente piensa en esto como una onda sinusoidal de frecuencia ω ₀ y número de onda k ₀ modulada por una función coseno. En este caso el patrón de modulación se mueve con una velocidad para mantener constante el argumento de la función coseno:

\[\Delta k x-\Delta \omega t=\text { const. }\label{1.39}\]

Diferenciar esto con respecto a t mientras se mantienen los rendimientos constantes Δ k y Δ ω

\[u \equiv \frac{d x}{d t}=\frac{\Delta \omega}{\Delta k}\label{1.40}\]

En el límite en el que los deltas se vuelven muy pequeños, esto se reduce a la derivada

\[u=\frac{d \omega}{d k},\label{1.41}\]

que es el resultado deseado.

Ejemplos

Ahora ilustramos algunos ejemplos de velocidad de fase y velocidad de grupo mostrando el desplazamiento resultante de la superposición de dos ondas sinusoidales, como lo da la Ecuación\ ref {1.38}, en el plano x - t. Este es un ejemplo de un diagrama de espacio-tiempo, del cual veremos muchos ejemplos más adelante.

Figura\(\PageIndex{2}\): (A; izquierda) Como en el panel superior de la figura 1.16 excepto un caso dispersivo con u _p = 1, u _g = 2. (B; derecha) Como en el panel superior de la figura 1.16 excepto un caso dispersivo con velocidades de fase y grupo en direcciones opuestas, u _p = 1, u _g = -1.

El panel superior de la Figura\(\PageIndex{2A}\) muestra un caso no dispersivo en el que la velocidad de fase es igual a la velocidad del grupo. Las regiones blanca y negra indican respectivamente fuertes crestas y valles de onda (es decir, regiones de grandes desplazamientos positivos y negativos), con grises que indican un desplazamiento cercano a cero. Las regiones con grandes desplazamientos indican la ubicación de los paquetes de ondas. Por lo tanto, las posiciones de las ondas y los paquetes de ondas en cualquier momento dado pueden determinarse dibujando una línea horizontal a través de la gráfica en el momento deseado y examinando las variaciones en el desplazamiento de onda a lo largo de esta línea. El panel inferior de esta figura muestra el desplazamiento de onda\(x\) en función del tiempo\(t = 0\) como una ayuda para la interpretación del panel superior.

Observe que a medida que aumenta el tiempo, las crestas se mueven hacia la derecha. Esto corresponde al movimiento de las ondas dentro de los paquetes de ondas. Obsérvese también que los paquetes de ondas, es decir, las amplias regiones de grandes amplitudes positivas y negativas, se mueven hacia la derecha con el aumento del tiempo también.

Dado que la velocidad es la distancia movida Δ x dividida por el tiempo transcurrido Δ t, la pendiente de una línea en la Figura\(\PageIndex{2A}\),\(\Delta t / \Delta x\), es una sobre la velocidad de lo que sea que esa línea represente. Las pendientes de las líneas que representan crestas son las mismas que las pendientes de las líneas que representan paquetes de ondas en este caso, lo que indica que las dos se mueven a la misma velocidad. Dado que la velocidad de movimiento de las crestas de onda es la velocidad de fase y la velocidad de movimiento de los paquetes de ondas es la velocidad de grupo, las dos velocidades son iguales y se confirma la naturaleza no dispersiva de este caso.

La figura\(\PageIndex{2A}\) muestra una onda dispersiva en la que la velocidad del grupo es el doble de la velocidad de fase, mientras que la figura\(\PageIndex{2B}\) muestra un caso en el que la velocidad del grupo es realmente opuesta en signo a la velocidad de fase. Vea si puede confirmar que las velocidades de fase y grupo vistas en cada figura corresponden a los valores para estas cantidades calculadas a partir de las frecuencias y números de onda especificados.