5.4: Características de las Ondas Relativistas
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La luz en el vacío es un ejemplo de una onda para la que no existe ningún marco de referencia especial. Para la luz\(\mu=0\),, y tenemos (tomando la raíz positiva)\(\omega=\mathrm{ck}\). Esto simplemente afirma lo que ya sabemos, es decir, que la velocidad de fase de la luz en un vacío es\(c\).
Si\(\mu \neq 0\), las ondas de este tipo son dispersivas. La velocidad de fase es
\[u_{p}=\frac{\omega}{k}=\left(c^{2}+\mu^{2} / k^{2}\right)^{1 / 2}\label{5.12}\]
Esta velocidad de fase siempre supera c, lo que al principio parece una conclusión poco física. Sin embargo, la velocidad de grupo de la onda es
\[u_{g}=\frac{d \omega}{d k}=\frac{c^{2} k}{\left(k^{2} c^{2}+\mu^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{k c^{2}}{\omega}=\frac{c^{2}}{u_{p}}\label{5.13}\]
que siempre es menor que\(c\). Dado que los paquetes de ondas y por lo tanto las señales se propagan a la velocidad de grupo, las ondas de este tipo son físicamente razonables aunque la velocidad de fase exceda la velocidad de la luz.
Otra propiedad interesante de tales ondas es que la onda de cuatro vectores es paralela a la línea mundial de un paquete de ondas en el espacio-tiempo. Esto se demuestra fácilmente por el siguiente argumento. Como muestra la figura 5.1, el componente espacial de una onda de cuatro vectores es\(k\), mientras que el componente temporal lo es\(\omega / \mathrm{c}\). La pendiente de los cuatro vectores en un diagrama de espacio-tiempo es por lo tanto\(\omega / \mathrm{kc}\). Sin embargo, la pendiente de la línea mundial de un paquete de ondas que se mueve con velocidad de grupo\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}} \text { is } \mathrm{c} / \mathrm{u}_{\mathrm{g}}=\omega /(\mathrm{kc})\), que es la misma que la pendiente del k de cuatro vectores.
Tenga en cuenta que cuando\(\mathrm{k}=0\) tengamos\(\omega=\mu\). En este caso la velocidad de grupo de la onda es cero. Por esta razón llamamos a\(\mu\) la frecuencia de descanso de la onda.