5.5: El cambio Doppler

Probablemente hayas escuchado cómo cambia el tono de una bocina de tren a medida que te pasa. Cuando el tren se acerca, el tono o frecuencia es mayor que cuando se aleja de ti. A esto se le llama el cambio Doppler. Un cambio similar, pero distinto ocurre si te estás moviendo más allá de una fuente de sonido. Si suena un silbato estacionario, el tono percibido desde un automóvil en movimiento es más alto mientras se mueve hacia la fuente que cuando se aleja. El primer caso tiene así una fuente móvil, mientras que el segundo caso tiene un observador en movimiento.

Figura 5.3: Croquis de definición para calcular el desplazamiento Doppler para luz.

En esta sección calculamos el desplazamiento Doppler tal como se aplica a la luz que se mueve a través de un vacío. La Figura 5.3 muestra la geometría para calcular el tiempo entre los frentes de onda de luz para un marco de referencia estacionario y uno móvil. El tiempo en el marco estacionario es solo T. Dado que las líneas mundiales de los frentes de ola tienen una pendiente de unidad, los lados del triángulo sombreado tienen el mismo valor, X. Si el observador se mueve a la velocidad U, la pendiente de la línea mundial del observador es Cu, lo que significa que\(\mathrm{c} / \mathrm{U}=(\mathrm{cT}+\mathrm{X}) / \mathrm{X}\). Resolviendo esto para X rendimientos\(\mathrm{X}=\mathrm{UT} /(1-\mathrm{U} / \mathrm{c})\), que luego se pueden usar para calcular\(\mathrm{T}^{\prime}=\mathrm{T}+\mathrm{X} / \mathrm{c}=\mathrm{T} /(1-\mathrm{U} / \mathrm{c})\). Esta fórmula tal como está conduce al clásico desplazamiento Doppler para un observador en movimiento. Sin embargo, con las velocidades relativistas, hay que tener en cuenta un factor adicional: El observador experimenta dilatación en el tiempo ya que se está moviendo. El tiempo real medido por el observador entre los frentes de onda es en realidad

\[\begin{align} \tau &=\left(T^{\prime 2}-X^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2} \\[4pt] &=T \frac{\left(1-U^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}{1-U / c} \\[4pt] &=T\left(\frac{1+U / c}{1-U / c}\right)^{1 / 2}\label{5.14} \end{align}\]

donde usa el último paso\(1-\mathrm{U}^{2} / \mathrm{c}^{2}=(1-\mathrm{U} / \mathrm{c})(1+\mathrm{U} / \mathrm{c})\). De esto inferimos la fórmula relativista de desplazamiento Doppler para la luz en un vacío:

\[\omega^{\prime}=\omega\left(\frac{1-U / c}{1+U / c}\right)^{1 / 2}\label{5.15}\]

donde es la frecuencia medida por el observador en movimiento\(\omega^{\prime}=2 \pi / \mathrm{T}\) y la frecuencia observada en el marco estacionario es\(\omega=2 \pi / T\).

Podríamos continuar para determinar el desplazamiento Doppler resultante de una fuente móvil. Sin embargo, por el principio de relatividad, las leyes de la física deben ser las mismas en el marco de referencia en el que el observador está estacionario y la fuente se mueve. Además, la velocidad de la luz sigue siendo c en ese cuadro. Por lo tanto, el problema de un observador estacionario y una fuente móvil es conceptualmente el mismo que el problema de un observador en movimiento y una fuente estacionaria cuando la onda se mueve a velocidad\(c\). Esto es diferente al caso de, digamos, las ondas sonoras, donde el observador estacionario y la fuente estacionaria producen diferentes fórmulas para el desplazamiento Doppler.