11.11: Veamos cómo se puede cuantificar el transporte turbulento vertical.

\[\frac{\partial \theta}{\partial t}=\frac{D \theta}{D t}-\vec{U} \bullet \vec{\nabla} \theta\]

o solo en la vertical

\[\frac{\partial \theta}{\partial t}=\frac{D \theta}{D t}-w \frac{\partial \theta}{\partial z}\]

mira las partes medias y perturbadas:

\(\frac{\partial\left(\bar{\theta}+\theta^{\prime}\right)}{\partial t}=\frac{D\left(\bar{\theta}+\theta^{\prime}\right)}{D t}-\left(\bar{w}+w^{\prime}\right) \frac{\partial\left(\bar{\theta}+\theta^{\prime}\right)}{\partial z}\)

... tomar el promedio de Reynolds

Después de tomar el promedio de Reynolds, logramos la ecuación:

\[\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t}=\frac{D \bar{\theta}}{D t}-\bar{w} \frac{\partial \bar{\theta}}{\partial z}-\overline{w^{\prime} \frac{\partial \theta^{\prime}}{\partial z}}\]

El término de la izquierda es la tasa de cambio de la temperatura potencial media a una altura dada, aunque aplica a cualquier altura. El primer término a la derecha es el calentamiento local a partir de la divergencia de la energía radiante y de los cambios de fase. Este término es generalmente pequeño, excepto en las nubes, por lo que podemos ignorarlo en la típica capa límite convectiva. El segundo término a la derecha es la advección media, pero normalmente puede ignorarse en la capa límite de clima justo. El análisis a escala muestra que la advección horizontal media (ignorada aquí por el momento) suele ser bastante grande y debe mantenerse en la ecuación de conservación del calor.

Si asumimos que la densidad no cambia, entonces básicamente podemos decir que el volumen de aire no cambia (es decir, incompresibilidad). Se utilizó este concepto para mostrar que la convergencia horizontal resulta en divergencia vertical. Para la capa límite convectiva típica, la turbulencia es bastante homogénea, lo que significa que las perturbaciones de velocidad no varían mucho en el espacio (es decir, son aproximadamente iguales en las direcciones x, y y z). Así, w' es independiente de z, lo que significa que w' se puede tomar dentro de la derivada en el tercer término a la derecha de la Ecuación [11.10]. Con los supuestos descritos anteriormente para una capa límite convectiva de clima justo, ahora tenemos:

\[\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t}=-\frac{\partial(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})}{\partial z}\]

¿Qué significa esto? Significa que el cambio en la temperatura potencial de la capa límite en la capa límite diurna es impulsado por el negativo del gradiente vertical de flujo de Feddy de energía térmica. Durante el día, el flujo de calor de Eddy es mayor en la superficie y disminuye con la altitud. Entonces\(\frac{\partial(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})}{\partial z}<0\), lo que significa que la temperatura potencial media aumenta con el tiempo (\(\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t}>\)). Por la noche, lo contrario es generalmente cierto.

Considere el flujo de calor sensible, F _SH (unidades SI de W m ^—2). Como vimos en el presupuesto promedio de energía atmosférica, el flujo de calor sensible juega un papel importante.

\[F_{S H}=\rho_{\operatorname{air}} c_{p} \overline{w^{\prime} \theta^{\prime}}\]

El promedio θ suele ser aproximadamente constante sobre la altura de la capa límite. Entonces, cuando integramos ambos lados de la Ecuación [11.11], obtenemos lo siguiente:

\[\frac{1}{h} \int_{0}^{h} \frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t} \partial z=-\frac{1}{h} \int_{0}^{h} \frac{\partial(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})}{\partial z} \partial z\]

h = altura de capa límite; z=0 es la superficie

\[\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t}=\frac{1}{h}\left[(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{0}-(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{h}\right]\]

\[\cong \frac{1}{h}(\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{0}\]

Tenga en cuenta que en la última línea de lo anterior, hemos asumido\((\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{h}\) es pequeño porque resulta que está impulsado por\((\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{0}\) y es una fracción negativa pero pequeña de\((\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}})_{0}\).

Ejemplo

Podemos poner algunos números a estos valores para mostrar cómo cambia la temperatura solo a partir de flujos turbulentos de remolino. Los valores razonables para la profundidad de la capa límite y el flujo de calor cinemático superficial diurno son 1000 m y 0.2 K m s ^—1, respectivamente. Por lo tanto,

\[\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial t} \approx \frac{0.2 \mathrm{K} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}}{1000 \mathrm{m}} \times 3600 \mathrm{s} \mathrm{hr}^{-1}=0.7 \mathrm{K} \mathrm{hr}^{-1}\]

Entonces, la temperatura potencial de capa límite (y por lo tanto la temperatura) está aumentando durante el día a un poco menos de 1 K hr ^—1.

Por lo tanto, el calentamiento de la capa límite es impulsado por el flujo de calor de Eddy desde la superficie. De esta manera, el calentamiento en la superficie debido a la absorción de energía solar en la superficie de la Tierra se extiende por toda la capa límite.