2.3: Propiedades especiales de las relaciones

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Algunos tipos de relaciones resultan ser tan comunes que se les han dado nombres especiales. Por ejemplo,\(\le\) y\(\subseteq\) ambos relacionan sus respectivos dominios (digamos,\(\Nat\) en el caso de\(\le\) y\(\Pow{A}\) en el caso de\(\subseteq\)) de manera similar. Para saber exactamente cómo son similares estas relaciones, y en qué difieren, las categorizamos de acuerdo con algunas propiedades especiales que las relaciones pueden tener. Resulta que (combinaciones de) algunas de estas propiedades especiales son especialmente importantes: órdenes y relaciones de equivalencia.

Definición\(\PageIndex{1}\): Reflexivity

Una relación\(R \subseteq A^2\) es reflexiva iff, para cada\(x \in A\),\(Rxx\).

Definición\(\PageIndex{2}\): Transitivity

Una relación\(R \subseteq A^2\) es transitiva iff, siempre\(Rxy\) y\(Ryz\), entonces también\(Rxz\).

Definición\(\PageIndex{3}\): Symmetry

Una relación\(R \subseteq A^2\) es simétrica iff, siempre que\(Rxy\), entonces también\(Ryx\).

Definición\(\PageIndex{4}\): Anti-symmetry

Una relación\(R \subseteq A^2\) es antisimétrica iff, siempre que ambos\(Rxy\) y\(Ryx\), entonces\(x=y\) (o, en otras palabras: si\(x\neq y\) entonces cualquiera\(\lnot Rxy\) o\(\lnot Ryx\)).

En una relación simétrica,\(Rxy\) y\(Ryx\) siempre se mantienen unidos, o ninguno sostiene. En una relación antisimétrica, la única manera para\(Rxy\) y\(Ryx\) para mantenerse unidos es si\(x = y\). Tenga en cuenta que esto no requiere eso\(Rxy\) y se\(Ryx\) mantiene cuando\(x = y\), solo que no se descarta. Entonces una relación antisimétrica puede ser reflexiva, pero no es el caso de que toda relación antisimétrica sea reflexiva. También hay que señalar que ser antisimétrico y simplemente no ser simétrico son condiciones diferentes. De hecho, una relación puede ser tanto simétrica como antisimétrica al mismo tiempo (por ejemplo, la relación de identidad es).

Definición\(\PageIndex{5}\): Connectivity

Una relación\(R \subseteq A^2\) está conectada si para todos\(x,y\in A\), si\(x \neq y\), entonces cualquiera\(Rxy\) o\(Ryx\).

Problema\(\PageIndex{1}\)

Dar ejemplos de relaciones que son (a) reflexivas y simétricas pero no transitivas, (b) reflexivas y antisimétricas, (c) antisimétricas, transitivas, pero no reflexivas, y (d) reflexivas, simétricas y transitivas. No utilice relaciones en números o conjuntos.

Definición\(\PageIndex{6}\): Irreflexivity

Una relación\(R \subseteq A^2\) se llama irreflexiva si, para todos\(x \in A\), no\(Rxx\).

Definición\(\PageIndex{7}\): Asymmetry

Una relación\(R \subseteq A^2\) se llama asimétrica si por ningún par\(x,y\in A\) tenemos ambos\(Rxy\) y\(Ryx\).

Tenga en cuenta que si\(A \neq \emptyset\), entonces ninguna relación irreflexiva on\(A\) es reflexiva y cada relación asimétrica\(A\) es también antisimétrica. Sin embargo, hay\(R \subseteq A^2\) que no son reflexivas y tampoco irreflexivas, y hay relaciones antisimétricas que no son asimétricas.