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4: El tamaño de los juegos

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    • 4.1: Introducción
      Si\(a\),\(b\) y\(c\) son todos distintos, entonces el conjunto\(\{a, b, c\}\) es intuitivamente más grande que\(\{a, b\}\). Pero ¿qué pasa con los conjuntos infinitos? ¿Son todas tan grandes como las otras?
    • 4.2: Enumeraciones y conjuntos contables
      Ya hemos dado ejemplos de conjuntos al enumerar sus elementos. Discutamos en términos más generales cómo y cuándo podemos enumerar los elementos de un conjunto, aunque ese conjunto sea infinito.
    • 4.3: Método Zig-Zag de Cantor
      El método zig-zag de Cantor muestra que los conjuntos de pares de elementos de conjuntos infinitos contables también son contables.
    • 4.4: Funciones y códigos de emparejamiento
      Podemos usar funciones de emparejamiento para representar cada par de elementos usando un solo número. Usando la inversa de la función de emparejamiento, podemos decodificar el número, es decir, averiguar qué par representa.
    • 4.5: Una función de emparejamiento alternativa
      Hay otras enumeraciones de\(\mathbb{N}^2\) eso que hacen que sea más fácil averiguar cuáles son sus inversas. Aquí hay uno.
    • 4.6: Conjuntos incontables
      Una manera de mostrar que un conjunto es incontable es dar un argumento diagonal. Suponemos que el conjunto\(A\) en cuestión es contable, y utilizamos una enumeración hipotética para definir un elemento del\(A\) cual, por la misma manera que lo definimos, se garantiza que sea diferente de cada elemento de la enumeración. Entonces la enumeración no puede ser una enumeración de todos\(A\) después de todo, y hemos demostrado que ninguna enumeración de\(A\) puede existir.
    • 4.7: Reducción
      Una reducción muestra que\(A\) es incontable al asociar cada elemento de\(A\) con un elemento de algún conjunto incontable conocido de\(B\) manera surjectiva. Si esto es posible, entonces una enumeración hipotética de\(A\) produciría una enumeración de\(B\). Dado que\(B\) es incontable, no\(A\) puede existir ninguna enumeración de.
    • 4.8: Equinumerosidad
      En general, los conjuntos infinitos se pueden comparar dimensionalmente:\(A\) y\(B\) son del mismo tamaño, o equinúmeros, si hay una biyección entre ellos.
    • 4.9: Conjuntos de diferentes tamaños y teorema de Cantor
      Podemos definir que no\(A\) es mayor que\(B\) (\({A}\preceq{B}\)) si existe una función de inyección de\(A\) a\(B\).
    • 4.10: La noción de tamaño, y Schröder-Bernstein
      Aquí hay un pensamiento intuitivo: si no\(A\) es más grande que\(B\) y no\(B\) es mayor que\(A\), entonces\(A\) y\(B\) son equinumeros. Esto se justifica por el Teorema de Schröder-Bernstein.
    • 4.11: Resumen


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