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# 5.7: Variables libres y oraciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

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Definición$$\PageIndex{1}$$: Free occurrences of a variable

Las ocurrencias libres de una variable en una fórmula se definen inductivamente de la siguiente manera:

1. $$\indcaseA{A}{A is atomic}$$todas las ocurrencias de variables en$$\indfrm$$ son libres.

2. $$\indcase{A}{\lnot B}$$las ocurrencias de variables libres de$$\indfrm$$ son exactamente las de$$B$$.

3. $$\indcase{A}{(B \ast C)}$$las ocurrencias variables libres de$$\indfrm$$ son las que están$$B$$ junto con las de$$C$$.

4. $$\indcase{A}{\lforall{x}{B}}$$las ocurrencias de variables libres en$$\indfrm$$ son todas aquellas en$$B$$ excepto las ocurrencias de$$x$$.

5. $$\indcase{A}{\lexists{x}{B}}$$las ocurrencias de variables libres en$$\indfrm$$ son todas aquellas en$$B$$ excepto las ocurrencias de$$x$$.

Definición$$\PageIndex{2}$$: Bound Variables

Una ocurrencia de una variable en una fórmula$$A$$ está ligada si no es libre.

Problema$$\PageIndex{1}$$

Dar una definición inductiva de las ocurrencias de variables enlazadas a lo largo de las líneas de Definición$$\PageIndex{1}$$.

Definición$$\PageIndex{3}$$: Scope

Si$$\lforall{x}{B}$$ es una ocurrencia de una subfórmula en una fórmula$$A$$, entonces la ocurrencia correspondiente de$$B$$ in$$A$$ se llama el alcance de la ocurrencia correspondiente de$$\lforall{x}{}$$. De manera similar para$$\lexists{x}{}$$.

Si$$B$$ es el alcance de una ocurrencia cuantificador$$\lforall{x}{}$$ o$$\lexists{x}{}$$ en$$A$$, entonces las ocurrencias libres de$$x$$ in$$B$$ están enlazadas en$$\lforall{x}{B}$$ y$$\lexists{x}{B}$$. Decimos que estas ocurrencias están ligadas por la ocurrencia cuantificadora mencionada.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Considera la siguiente fórmula:$\lexists{\Obj v_0}{\underbrace{\Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0,\Obj v_1}}_{B}}\nonumber$$$B$$ representa el alcance de$$\lexists{\Obj v_0}{}$$. El cuantificador se une a la ocurrencia de$$\Obj v_0$$ in$$B$$, pero no se une a la ocurrencia de$$\Obj v_1$$. Así$$\Obj v_1$$ es una variable libre en este caso.

Ahora podemos ver cómo esto podría funcionar en una fórmula más complicada$$A$$:$\lforall{\Obj v_0}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^1_0}{\Obj v_0} \lif \Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0, \Obj v_1})}_{B}} \lif \lexists{\Obj v_1}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^2_1}{\Obj v_0, \Obj v_1} \lor \lforall{\Obj v_0}{\overbrace{\lnot \Atom{\Obj A^1_1}{\Obj v_0}}^{D}})}_{C}}\nonumber$$$B$$ es el alcance de la primera$$\lforall{\Obj v_0}{}$$,$$C$$ es el alcance de$$\lexists{\Obj v_1}{}$$, y$$D$$ es el alcance de la segunda $$\lforall{\Obj v_0}{}$$. El primero$$\lforall{\Obj v_0}{}$$ se une a las ocurrencias de$$\Obj v_0$$ in$$B$$,$$\lexists{\Obj v_1}{}$$ la ocurrencia de$$\Obj v_1$$ in$$C$$, y el segundo$$\lforall{\Obj v_0}{}$$ se une a la ocurrencia de$$\Obj v_0$$ in $$D$$. La primera ocurrencia$$\Obj v_1$$ y la cuarta ocurrencia de$$\Obj v_0$$ son libres en$$A$$. La última ocurrencia de$$\Obj v_0$$ es libre en$$D$$, pero atado en$$C$$ y$$A$$.

Definición$$\PageIndex{4}$$: Sentence

Una fórmula$$A$$ es una oración iff que no contiene ocurrencias libres de variables.

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