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5.7: Variables libres y oraciones

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Template:MathJaxZach

    Definición\(\PageIndex{1}\): Free occurrences of a variable

    Las ocurrencias libres de una variable en una fórmula se definen inductivamente de la siguiente manera:

    1. \(\indcaseA{A}{$A$ is atomic}\)todas las ocurrencias de variables en\(\indfrm\) son libres.

    2. \(\indcase{A}{\lnot B}\)las ocurrencias de variables libres de\(\indfrm\) son exactamente las de\(B\).

    3. \(\indcase{A}{(B \ast C)}\)las ocurrencias variables libres de\(\indfrm\) son las que están\(B\) junto con las de\(C\).

    4. \(\indcase{A}{\lforall{x}{B}}\)las ocurrencias de variables libres en\(\indfrm\) son todas aquellas en\(B\) excepto las ocurrencias de\(x\).

    5. \(\indcase{A}{\lexists{x}{B}}\)las ocurrencias de variables libres en\(\indfrm\) son todas aquellas en\(B\) excepto las ocurrencias de\(x\).

    Definición\(\PageIndex{2}\): Bound Variables

    Una ocurrencia de una variable en una fórmula\(A\) está ligada si no es libre.

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Dar una definición inductiva de las ocurrencias de variables enlazadas a lo largo de las líneas de Definición\(\PageIndex{1}\).

    Definición\(\PageIndex{3}\): Scope

    Si\(\lforall{x}{B}\) es una ocurrencia de una subfórmula en una fórmula\(A\), entonces la ocurrencia correspondiente de\(B\) in\(A\) se llama el alcance de la ocurrencia correspondiente de\(\lforall{x}{}\). De manera similar para\(\lexists{x}{}\).

    Si\(B\) es el alcance de una ocurrencia cuantificador\(\lforall{x}{}\) o\(\lexists{x}{}\) en\(A\), entonces las ocurrencias libres de\(x\) in\(B\) están enlazadas en\(\lforall{x}{B}\) y\(\lexists{x}{B}\). Decimos que estas ocurrencias están ligadas por la ocurrencia cuantificadora mencionada.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considera la siguiente fórmula:\[\lexists{\Obj v_0}{\underbrace{\Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0,\Obj v_1}}_{B}}\nonumber\]\(B\) representa el alcance de\(\lexists{\Obj v_0}{}\). El cuantificador se une a la ocurrencia de\(\Obj v_0\) in\(B\), pero no se une a la ocurrencia de\(\Obj v_1\). Así\(\Obj v_1\) es una variable libre en este caso.

    Ahora podemos ver cómo esto podría funcionar en una fórmula más complicada\(A\):\[\lforall{\Obj v_0}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^1_0}{\Obj v_0} \lif \Atom{\Obj A^2_0}{\Obj v_0, \Obj v_1})}_{B}} \lif \lexists{\Obj v_1}{\underbrace{(\Atom{\Obj A^2_1}{\Obj v_0, \Obj v_1} \lor \lforall{\Obj v_0}{\overbrace{\lnot \Atom{\Obj A^1_1}{\Obj v_0}}^{D}})}_{C}}\nonumber\]\(B\) es el alcance de la primera\(\lforall{\Obj v_0}{}\),\(C\) es el alcance de\(\lexists{\Obj v_1}{}\), y\(D\) es el alcance de la segunda \(\lforall{\Obj v_0}{}\). El primero\(\lforall{\Obj v_0}{}\) se une a las ocurrencias de\(\Obj v_0\) in\(B\),\(\lexists{\Obj v_1}{}\) la ocurrencia de\(\Obj v_1\) in\(C\), y el segundo\(\lforall{\Obj v_0}{}\) se une a la ocurrencia de\(\Obj v_0\) in \(D\). La primera ocurrencia\(\Obj v_1\) y la cuarta ocurrencia de\(\Obj v_0\) son libres en\(A\). La última ocurrencia de\(\Obj v_0\) es libre en\(D\), pero atado en\(C\) y\(A\).

    Definición\(\PageIndex{4}\): Sentence

    Una fórmula\(A\) es una oración iff que no contiene ocurrencias libres de variables.


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