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# 5.8: Sustitución

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$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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Definición$$\PageIndex{1}$$: Substitution in a term

Definimos$$\Subst{s}{t}{x}$$, el resultado de sustituir$$t$$ por cada ocurrencia de$$x$$ in$$s$$, recursivamente:

1. $$\indcase{s}{c}$$$$\Subst{s}{t}{x}$$es justo$$s$$.

2. $$\indcase{s}{y}$$$$\Subst{s}{t}{x}$$también es justo$$s$$, siempre$$y$$ que sea una variable y$$y \not\ident x$$.

3. $$\indcase{s}{x}$$$$\Subst{s}{t}{x}$$es$$t$$.

4. $$\indcase{s}{\Atom{f}{t_1, \dots, t_n}}$$$$\Subst{s}{t}{x}$$es$$\Atom{f}{\Subst{t_1}{t}{x}, \dots, \Subst{t_n}{t}{x}}$$.

Definición$$\PageIndex{2}$$

Un término$$t$$ es libre para$$x$$ in$$A$$ si ninguna de las ocurrencias libres de$$x$$ in$$A$$ ocurre en el alcance de un cuantificador que une una variable in$$t$$.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

1. $$\Obj v_8$$es gratis para$$\Obj v_1$$ en$$\lexists{\Obj v_3}{}\Atom{\Obj A^2_4}{\Obj v_3,\Obj v_1}$$

2. $$\Obj f^2_1(\Obj v_1, \Obj v_2)$$no es gratis para$$\Obj v_0$$ en$$\lforall{\Obj v_2}{}\Atom{\Obj A^2_4}{\Obj v_0,\Obj v_2}$$

Definición$$\PageIndex{3}$$: Substitution in a formula

Si$$A$$ es una fórmula,$$x$$ es una variable, y$$t$$ es un término libre para$$x$$ in$$A$$, entonces$$\Subst{A}{t}{x}$$ es el resultado de sustituir$$t$$ por todas las ocurrencias libres de $$x$$en$$A$$.

1. $$\indcase{A}{\lfalse}$$$$\Subst{\indfrm}{t}{x}$$es$$\lfalse$$.

2. $$\indcase{A}{\Atom{P}{t_1,\dots, t_n}}$$$$\Subst{\indfrm}{t}{x}$$es$$\Atom{P}{\Subst{t_1}{t}{x}, \dots, \Subst{t_n}{t}{x}}$$.

3. $$\indcase{A}{\eq[t_1][t_2]}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$\Subst{t_1}{t}{x} = \Subst{t_2}{t}{x}$$.

4. $$\indcase{A}{\lnot B}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$\lnot \Subst{B}{t}{x}$$.

5. $$\indcase{A}{(B \land C)}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$(\Subst{B}{t}{x} \land \Subst{C}{t}{x})$$.

6. $$\indcase{A}{(B \lor C)}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$(\Subst{B}{t}{x} \lor \Subst{C}{t}{x})$$.

7. $$\indcase{A}{(B \lif C)}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$(\Subst{B}{t}{x} \lif \Subst{C}{t}{x})$$.

8. $$\indcase{A}{\lforall{y}{B}}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$\lforall{y}{\Subst{B}{t}{x}}$$, siempre que$$y$$ sea una variable distinta a$$x$$; de lo contrario$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$ es justo$$\indfrm$$.

9. $$\indcase{A}{\lexists{y}{B}}$$$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$es$$\lexists{y}{\Subst{B}{t}{x}}$$, siempre que$$y$$ sea una variable distinta a$$x$$; de lo contrario$$\Subst{\indfrmp}{t}{x}$$ es justo$$\indfrm$$.

Tenga en cuenta que la sustitución puede ser vacuosa: Si$$x$$ no ocurre en$$A$$ absoluto, entonces$$\Subst{A}{t}{x}$$ es justo$$A$$.

La restricción que$$t$$ debe ser gratuita para$$x$$ in$$A$$ es necesaria para excluir casos como los siguientes. Si$$A \ident \lexists{y}{x < y}$$ y$$t \ident y$$, entonces$$\Subst{A}{t}{x}$$ lo sería$$\lexists{y}{y < y}$$. En este caso la variable libre$$y$$ es “capturada” por el cuantificador en el$$\lexists{y}{}$$ momento de la sustitución, y eso es indeseable. Por ejemplo, nos gustaría que fuera el caso que cada vez que se$$\lforall{x}{B}$$ sostiene, también lo hace$$\Subst{B}{t}{x}$$. Pero considere$$\lforall{x}{\lexists{y}{x < y}}$$ (aquí$$B$$ está$$\lexists{y}{x < y}$$). Es la oración la que es cierta sobre, por ejemplo, los números naturales: por cada número$$x$$ hay un número$$y$$ mayor que éste. Si permitiéramos$$y$$ como posible sustitución de$$x$$, terminaríamos con$$\Subst{B}{y}{x} \ident \lexists{y}{y < y}$$, lo cual es falso. Esto lo evitamos al exigir que ninguna de las variables libres en$$t$$ terminara siendo ligada por un cuantificador in$$A$$.

A menudo usamos la siguiente convención para evitar la notación cumbersume: Si$$A$$ es una fórmula con una variable libre$$x$$, escribimos$$A(x)$$ para indicar esto. Cuando está claro cuál$$A$$ y$$x$$ tenemos en mente, y$$t$$ es un término (se supone que es libre para$$x$$ adentro$$A(x)$$), entonces escribimos$$A(t)$$ como abreviatura de$$\Subst{A(x)}{t}{x}$$.

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