A.6: Otro ejemplo
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ProposiciónA.6.1
SiA⊆C, entoncesA∪(C∖A)=C.
Prueba. Supongamos queA⊆C. Eso queremos demostrarloA∪(C∖A)=C.
Comenzamos observando que se trata de una declaración condicional. Se cuantifica tácitamente universalmente: la proposición sostiene para todos los conjuntosA yC. EntoncesA yC son variables para conjuntos arbitrarios. Para acreditar tal afirmación, asumimos el antecedente y probamos lo consecuente.
Seguimos utilizando el supuesto de queA⊆C. Vamos a desempaquetar la definición de⊆: la suposición significa que todos los elementos de tambiénA son elementos deC. Anote esto, es un hecho importante que usaremos a lo largo de la prueba.
Por la definición de⊆, ya queA⊆C, para todosz, siz∈A, entoncesz∈C.
Hemos desempaquetado todas las definiciones que se nos dan en el supuesto. Ahora podemos pasar a la conclusión. Queremos mostrar esoA∪(C∖A)=C, y así establecemos una prueba similar al último ejemplo: mostramos que cada elemento deA∪(C∖A) es también un elemento deC y, a la inversa, cada elemento deC es un elemento deA∪(C∖A). Podemos acortar esto a:A∪(C∖A)⊆C yC⊆A∪(C∖A). (Aquí estamos haciendo lo contrario de desempaquetar una definición, pero hace que la prueba sea un poco más fácil de leer). Como se trata de una conjunción, tenemos que probar ambas partes. Para mostrar la primera parte, es decir, que cada elemento deA∪(C∖A) es también un elemento deC, asumimos quez∈A∪(C∖A) para una arbitrariaz y mostrar esoz∈C. Por la definición de∪, podemos concluir esoz∈A oz∈C∖A desdez∈A∪(C∖A). Ahora deberías estar cogiendo la caída de esto.
A∪(C∖A)=CiffA∪(C∖A)⊆C yC⊆(A∪(C∖A). Primero lo demostramosA∪(C∖A)⊆C. Vamosz∈A∪(C∖A). Entonces, ya seaz∈A oz∈(C∖A).
Hemos llegado a una disyunción, y a partir de ella queremos probarloz∈C. Esto lo hacemos usando prueba por casos.
Caso 1:z∈A. Ya que para todoszz∈A, siz∈C,, tenemos esoz∈C.
Aquí hemos utilizado el hecho registrado anteriormente que siguió de la hipótesis de la proposición de queA⊆C. El primer caso está completo, y pasamos al segundo caso,z∈(C∖A). Recordemos queC∖A denota la diferencia de los dos conjuntos, es decir, el conjunto de todos los elementos de losC cuales no son elementos deA. Pero cualquier elemento deC no enA es en particular un elemento deC.
Caso 2:z∈(C∖A). Esto significa quez∈C yz∉A. Entonces, en particular,z∈C.
Genial, hemos demostrado la primera dirección. Ahora para la segunda dirección. Aquí lo demostramosC⊆A∪(C∖A). Entonces asumimos esoz∈C y lo demostramosz∈A∪(C∖A).
Ahora vamosz∈C. Queremos mostrar esoz∈A oz∈C∖A.
Dado que todos los elementos de tambiénA son elementos deC, yC∖A es el conjunto de todas las cosas que son elementos deC pero noA, se deduce quez está enA o en C∖A. Esto puede ser un poco confuso si aún no sabes por qué el resultado es cierto. Sería mejor probarlo paso a paso. Ayudará a utilizar un simple hecho que podamos exponer sin pruebas:z∈A oz∉A. A esto se le llama el “principio de medio excluido”: para cualquier afirmaciónp, op es verdadera o su negación es verdadera. (Aquí,p está la afirmación de quez∈A.) Dado que se trata de una disyunción, podemos volver a utilizar prueba por casos.
z∈AO bienz∉A. En el primer caso,z∈A∪(C∖A). En este último caso,z∈C yz∉A, asíz∈C∖A. Pero entoncesz∈A∪(C∖A).
Nuestra prueba está completa: lo hemos demostradoA∪(C∖A)=C.
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