6.1: La probabilidad de cálculo

Los argumentos inductivos, recordemos, son argumentos cuyas premisas sustentan sus conclusiones en la medida en que las hacen más probables. Cuanto más probable es la conclusión a la luz de las premisas, más fuerte es el argumento; cuanto menos probable, más débil. Como vimos en el último capítulo, muchas veces es imposible decir con precisión cuán probable es exactamente la conclusión de un argumento inductivo dado a la luz de sus premisas; muchas veces, solo podemos hacer juicios relativos, señalando que un argumento es más fuerte que otro, porque la conclusión es más probable, sin poder precisar lo mucho más probable que es.

En ocasiones, sin embargo, es posible precisar con precisión cuán probable es la conclusión de un argumento inductivo a la luz de sus premisas. Para ello, debemos aprender algo sobre cómo calcular probabilidades; debemos aprender los fundamentos del cálculo de probabilidad. Esta es la rama de las matemáticas que se ocupa de los cálculos de probabilidad. (No te asustes con la palabra 'cálculo'. Aquí no estamos haciendo derivados e integrales; estamos usando esa palabra en un sentido genérico, como en “un sistema para realizar cálculos”, o algo así. Además, no te asustes por las 'matemáticas'. Esto es realmente simple, cosas de quinto grado: sumar y multiplicar fracciones y decimales.) Cubriremos sus reglas más fundamentales y aprenderemos a realizar cálculos simples. Después de ese trabajo preliminar, utilizamos las herramientas proporcionadas por el cálculo de probabilidad para pensar cómo tomar decisiones ante la incertidumbre, y cómo ajustar nuestras creencias a la luz de la evidencia. Consideraremos la cuestión de qué significa ser racional a la hora de dedicarnos a este tipo de actividades de razonamiento.

Por último, pasaremos a un examen de argumentos inductivos que involucran a la estadística. Tales argumentos son, por supuesto, generalizados en el discurso público. A partir de lo que aprendimos sobre las probabilidades, cubriremos algunos de los conceptos estadísticos más fundamentales. Esto nos permitirá comprender diversas formas de razonamiento estadístico, desde diferentes métodos de prueba de hipótesis hasta técnicas de muestreo. Además, incluso una comprensión rudimentaria de conceptos estadísticos básicos y métodos de razonamiento nos pondrá en una buena posición para reconocer las innumerables formas en que las estadísticas son incomprendidas, mal utilizadas y desplegadas con la intención de manipular y engañar. Como dijo Mark Twain, “Hay tres tipos de mentiras: mentiras, malditas mentiras y estadísticas”. (Twain atribuye la observación al primer ministro británico Benjamin Disraeli, aunque no está muy claro quién lo dijo primero). Anunciantes, políticos, expertos —todos en el negocio de la persuasión— presentan afirmaciones estadísticas para reforzar sus argumentos, y la mayoría de las veces están cometiendo deliberada o erróneamente algún tipo de falacia. Terminaremos con una encuesta de este tipo de errores.

Pero primero, examinamos el cálculo de probabilidad. Nuestro estudio de cómo calcular las probabilidades se dividirá ordenadamente en dos secciones, correspondientes a los dos tipos básicos de cálculos de probabilidad que se pueden hacer. Hay, por un lado, probabilidades de que ocurran múltiples eventos, o, de manera equivalente, múltiples proposiciones siendo todas verdaderas; llaman a estas ocurrencias conjuntivas. Primero aprenderemos a calcular las probabilidades de ocurrencia conjuntiva, que este evento y este otro evento y algún otro evento y así sucesivamente ocurrirá. Por otro lado, hay probabilidades de que ocurra al menos uno de un conjunto de eventos alternativos —o, de manera equivalente, que al menos una de un conjunto de proposiciones sea verdadera; llamar a estas ocurrencias disyuntivas. En la segunda mitad de nuestro examen del cálculo de probabilidad aprenderemos a calcular las probabilidades de ocurrencias disjuntas, que este evento o este otro evento o algún otro evento o... ocurrirá.

Ocurrencias Conjuntivas

Recordemos de nuestro estudio de la lógica sentencial que las conjunciones son, aproximadamente, oraciones 'y'. Podemos pensar en calcular la probabilidad de ocurrencias conjuntivas como calcular la probabilidad de que una conjunción particular sea verdadera. Si lanzas dos dados y quieres saber tus posibilidades de conseguir “ojos de serpiente” (un par de unos), estás buscando la probabilidad de que consigas uno en el primer dado y uno en el segundo.

Dichos cálculos pueden ser simples o un poco más complejos. Lo que distingue a los dos casos es si los hechos involucrados son o no independientes. Los eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra alguno de los otros. Considera los dados antes mencionados. Consideramos dos hechos: uno en el dado #1, y otro en el die #2. Esos eventos son independientes. Si consigo uno en el dado #1, eso no afecta mis posibilidades de conseguir uno en el segundo dado; no hay interacción misteriosa entre los dos dados, de tal manera que lo que sucede con uno puede afectar lo que sucede con el otro. Son independientes. (Si piensas lo contrario, estás cometiendo lo que se conoce como la falacia del jugador. Es sorprendentemente común. Ve a un casino y verás gente comprometiéndolo. Dirígete a la ruleta, por ejemplo, donde la gente puede apostar a si la pelota cae en un espacio rojo o negro. Después de una racha de decir, cinco rojos seguidos, alguien cometerá la falacia: “¡El rojo está caliente! Estoy apostando por ello otra vez”. Esta persona cree que los resultados de los giros anteriores de alguna manera afectan la probabilidad del resultado del siguiente. Pero no lo hacen Observe que se puede hacer un caso igualmente convincente (y falaz) para el negro: “¿Cinco rojos seguidos? El negro es debido. Estoy apostando al negro”). Por otro lado, considera escoger dos cartas de una baraja estándar (y guardarlas después de ser sorteadas). (Una baraja estándar tiene 52 cartas, divididas equitativamente entre cuatro palos (corazones, diamantes, palos y espadas) con 13 cartas diferentes en cada palo: As (A), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack (J), Reina (Q) y Rey (K)). Aquí hay dos eventos: la primera tarjeta es un corazón, la segunda tarjeta es un corazón. Esos eventos no son independientes. Conseguir un corazón en el primer sorteo afecta tus posibilidades de tener un segundo corazón (hace que el segundo corazón sea menos probable).

Cuando los eventos son independientes, las cosas son simples. Calculamos la probabilidad de su ocurrencia conjuntiva multiplicando las probabilidades de sus ocurrencias individuales. Esta es la regla simple del producto:

P (a • b • c •...) = P (a) x P (b) x P (c) x...

Esta regla es abstracta; abarca todos los casos de ocurrencia conjuntiva de eventos independientes. 'a', 'b' y 'c' se refieren a eventos; las elipses indican que puede haber algún número de ellos. Cuando escribimos 'P' seguido de algo entre paréntesis, esa es solo la probabilidad de que la cosa entre paréntesis llegue a pasar. En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos un montón de eventos con puntos entre ellos. El punto significa lo mismo que hizo en SL: es la abreviatura de y. Entonces esta ecuación solo nos dice que para calcular la probabilidad de que a y b y c (y por muchos otros que haya) ocurran, simplemente multiplicamos juntas las probabilidades individuales de que esos eventos ocurran por su cuenta.

Regresa a los dados de arriba. Tiramos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir un par de unos? Los eventos —uno en el dado #1, uno en el dado #2— son independientes, por lo que podemos usar la Regla Simple del Producto y simplemente multiplicar sus probabilidades individuales.

¿Cuáles son esas probabilidades? Expresamos probabilidades como números entre 0 y 1. Un evento con una probabilidad de 0 definitivamente no sucederá (una proposición con una probabilidad de 0 es ciertamente falsa); un evento con una probabilidad de 1 definitivamente sucederá (una proposición con una probabilidad de 1 es ciertamente cierta). Todo lo demás es un número intermedio: más cerca de 1 es más probable; más cerca de 0, menos. Entonces, ¿qué tan probable es que un dado enrollado muestre uno? Hay seis posibles resultados al rodar un dado; cada uno es igualmente probable. Cuando ese es el caso, la probabilidad del resultado particular es de solo 1 dividido por el número de posibilidades. La probabilidad de rodar un uno es 1/6.

Entonces, calculamos la probabilidad de rodar “ojos de serpiente” de la siguiente manera:

P (uno en el dado #1 • uno en el dado #2) = P (uno en el dado #1) x P (uno en el dado #2)
= 1/6 x 1/6
= .0278

Si lanzas dos dados un montón de veces, obtendrás un par de uno un poco menos del 3% del tiempo.

Señalamos anteriormente que si robas dos cartas de una baraja, dos posibles resultados —la primera carta es un corazón, la segunda carta es un corazón— no son independientes. Así que no pudimos calcular la probabilidad de obtener dos picas usando la Regla de Producto Simple. Solo podríamos hacer eso si hiciéramos que los dos eventos fueran independientes, si estipulamos que después de sacar la primera carta, la vuelves a poner (aleatoriamente) en la baraja, así que estás eligiendo al azar de una baraja completa de cartas cada vez. En ese caso, tienes 1/4 de probabilidad de elegir un corazón cada vez, por lo que la probabilidad de elegir dos seguidos sería 1/4 x 1/4, y la probabilidad de elegir tres seguidos sería 1/4 x 1/4 x 1/4, y así sucesivamente.

Por supuesto, la pregunta más interesante —y la más práctica, si eres un jugador de cartas que busca una ventaja— es la original: ¿cuál es la probabilidad de, digamos, dibujar tres corazones asumiendo, como es el caso en todos los juegos de cartas de la vida real, que te quedas con las cartas mientras las quitas? Como señalamos, estos eventos —corazón en la primera carta, corazón en la segunda carta, corazón en la tercera carta— no son independientes, porque cada vez que logras dibujar un corazón, eso afecta tus posibilidades (negativamente) de dibujar otro. Pensemos en este efecto en el caso actual. La probabilidad de sacar el primer corazón de una baraja completa y bien barajada es simple: 1/4. Son los corazones posteriores los que se complican. ¿Cuánto efecto tiene el éxito en dibujar ese primer corazón en la probabilidad de dibujar el segundo? Bueno, si ya hemos dibujado un corazón, el mazo del que intentamos sacar el segundo es diferente del mazo original, completo: específicamente, es corta la carta ya dibujada, así que solo hay 51 en total, y ahora tiene menos corazones, 12 en lugar de las 13. 12 originales de las 51 cartas restantes son corazones, entonces. Por lo que la probabilidad de sacar un segundo corazón, asumiendo que el primero ya ha sido escogido, es 12/51. Si logramos dibujar el segundo corazón, ¿cuáles son nuestras posibilidades de dibujar un tercio? Nuevamente, en este caso, la baraja es diferente: ahora estamos bajando a 50 cartas en total, de las cuales sólo 11 son corazones. Entonces la probabilidad de obtener el tercer corazón es 11/50.

Son estas fracciones —1/4, 12/51 y 11/50— las que debemos multiplicar entre sí para determinar la probabilidad de sacar tres corazones rectos manteniendo las cartas. El resultado es (aproximadamente) .013, una probabilidad menor que la de recoger 3 corazones rectos cuando las cartas no se guardan, sino que se reemplazan después de cada selección: 1/4 x 1/4 x 1/4 = .016 (aproximadamente). Esto es como debería ser: es más difícil sacar tres corazones rectos cuando se guardan las cartas, porque cada éxito disminuye la probabilidad de dibujar otro corazón. Los eventos no son independientes.

En general, cuando los eventos no son independientes, tenemos que hacer el mismo movimiento que hicimos en el caso de los tres corazones. En lugar de considerar la probabilidad autónoma de un segundo y tercer corazón, como podríamos en el caso de que los eventos fueran independientes, tuvimos que considerar la probabilidad de esos eventos asumiendo que otros eventos ya habían ocurrido. Tuvimos que preguntarnos cuál era la probabilidad de dibujar un segundo corazón, dado que el primero ya había sido dibujado; luego preguntamos después de la probabilidad de sacar el tercer corazón, dado que los dos primeros habían sido dibujados.

Llamamos a tales probabilidades —la probabilidad de que ocurra un evento asumiendo que otros han ocurrido— probabilidades condicionales. Cuando los eventos no son independientes, no se aplica la Regla Simple del Producto; en su lugar, debemos usar la Regla General del Producto:

P (a • b • c •...) = P (a) x P (b | a) x P (c | a • b) x...

El término 'P (b | a) 'significa la probabilidad condicional de que b ocurra, siempre que a ya lo tenga. El término 'P (c | a • b) 'significa la probabilidad condicional de que c ocurra, siempre que a y b ya lo tengan. Si hubiera un cuarto evento, d, tendríamos un este término en el lado derecho de la ecuación: 'P (d | a • b • c) '. Y así sucesivamente.

Reforzemos nuestra comprensión de cómo calcular las probabilidades de ocurrencias conjuntivas con un problema de muestra:

Hay una urna llena de canicas de varios colores. En concreto, contiene 20 canicas rojas, 30 canicas azules y 50 canicas blancas. Si seleccionamos 4 canicas de la ganancia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro sean azules, (a) si reemplazamos cada mármol después de dibujarla, y (b) si conservamos cada mármol después de dibujarla?

Dejemos que 'B1' sea el evento de escoger una canica azul en la primera selección; y dejaremos que 'B2', 'B3' y 'B4' representen los eventos de escoger azul en la segunda, tercera y cuarta selecciones, respectivamente. Queremos la probabilidad de que ocurran todos estos eventos:

P (B1 • B2 • B3 • B4) =?

(a) Si reemplazamos cada mármol después de dibujarlo, entonces los eventos son independientes: seleccionar azul en un dibujo no afecta nuestras posibilidades de seleccionar azul en ningún otro; para cada selección, la urna tiene la misma composición de canicas. Dado que los eventos son independientes en este caso, podemos usar la Regla de Producto Simple para calcular la probabilidad:

P (B1 • B2 • B3 • B4) = P (B1) x P (B2) x P (B3) x P (B4)

Y como hay 100 canicas totales en la urna, y 30 de ellas son azules, en cada selección tenemos una probabilidad de 30/100 (= .3) de escoger una canica azul.

P (B1 • B2 • B3 • B4) = .3 x .3 x .3 x .3 = .0081

(b) Si no reemplazamos las canicas después de dibujarlas, entonces los eventos no son independientes: cada selección exitosa de una canica azul afecta nuestras posibilidades (negativamente) de dibujar otra canica azul. Cuando los eventos no son independientes, necesitamos usar la Regla General del Producto:

P (B1 • B2 • B3 • B4) = P (B1) x P (B2 | B1) x P (B3 | B1 • B2) x P (B4 | B1 • B2 • B3)

En la primera selección, tenemos la urna llena, por lo que P (B1) = 30/100. Pero para el segundo término en nuestro producto, tenemos la probabilidad condicional P (B2 | B1); queremos conocer las posibilidades de seleccionar una segunda canica azul en el supuesto de que la primera ya ha sido seleccionada. En esa situación, sólo quedan 99 canicas totales, y 29 de ellas son azules. Para el tercer término en nuestro producto, tenemos la probabilidad condicional P (B3 | B1 • B2); queremos conocer las posibilidades de dibujar un tercer mármol azul asumiendo que se han seleccionado los primero y segundo. En esa situación, sólo quedan 98 canicas totales, y 28 de ellas son azules. Y para el término final—P (B4 | B1 • B2 • B3) —queremos la probabilidad de una cuarta canica azul, suponiendo que ya se hayan elegido tres; quedan 27 de un total de 97.

P (B1 • B2 • B3 • B4) = 30/100 x 29/99 x 28/98 x 27/97 = .007 (aproximadamente)

Ocurrencias Disyuntivas

Las conjunciones son (aproximadamente) oraciones 'y'. Las disyunciones son (aproximadamente) oraciones 'or'. Entonces podemos pensar en calcular la probabilidad de ocurrencias disyuntivas como calcular la probabilidad de que una disyunción particular sea cierta. Si, por ejemplo, tiras un dado y quieres saber la probabilidad de que se te ocurra un número impar que muestre, estás buscando la probabilidad de que rodes un uno o rodes un tres o rodes un cinco.

Como fue el caso de las ocurrencias conjuntivas, dichos cálculos pueden ser simples o un poco más complejos. Lo que distingue a los dos casos es si los hechos involucrados son o no mutuamente excluyentes. Los eventos son mutuamente excluyentes cuando a lo sumo uno de ellos puede ocurrir, cuando la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia de cualquiera de los otros. Considera el dado antes mencionado. Consideramos tres eventos: viene mostrando uno, viene mostrando tres, y viene mostrando cinco. Esos eventos son mutuamente excluyentes; a lo sumo uno de ellos puede ocurrir. Si rollo uno, eso significa que no puedo rodar un tres o un cinco; si rollo un tres, eso significa que no puedo rodar un uno o un cinco; y así sucesivamente. (A lo sumo uno de ellos puede ocurrir; note, es posible que ninguno de ellos ocurra.) Por otro lado, consideremos el ejemplo de dados de antes: rodar dos dados, con los eventos en consideración rodando un uno sobre el dado #1 y rodando uno en el dado #2. Estos eventos no son mutuamente excluyentes. No es el caso de que a lo sumo uno de ellos pueda suceder; ambos podrían suceder, podríamos poner los ojos en blanco de serpiente.

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, las cosas son simples. Calculamos la probabilidad de su ocurrencia disyuntiva sumando las probabilidades de sus ocurrencias individuales. Esta es la regla de adición simple:

P (a) - (a) - (a) + P (b) + P (c) + P (c) +...

Esta regla es exactamente paralela a la regla de producto simple desde arriba. Sustituimos los puntos de esa regla por cuñas, para reflejar el hecho de que estamos calculando la probabilidad de ocurrencias disyuntivas en lugar de conjuntivas. Y reemplazamos los signos de multiplicación por signos de adiciones en el lado derecho de la ecuación para reflejar el hecho de que en tales casos sumamos en lugar de multiplicar las probabilidades individuales.

Regresa al dado de arriba. Lo rodamos, y queremos saber la probabilidad de obtener un número impar. Hay tres eventos mutuamente excluyentes, rodando un uno, rodando un tres y rodando cinco, y queremos su probabilidad disyuntiva; esa es P (uno, tres, y cinco). Cada evento individual tiene una probabilidad de 1/6, por lo que calculamos la ocurrencia disyuntiva con la Regla de Adición Simple así:

P (uno, tres, tres, cinco) = P (uno) + P (tres) + P (cinco)
= 1/6 +1/6 +1/6 = 3/6 = 1/2

Este es un buen resultado, porque es el resultado que sabíamos que venía. Piénsalo: queríamos saber la probabilidad de rodar un número impar; la mitad de los números son impares, y la mitad son pares; así que la respuesta mejor sea 1/2. Y lo es.

Ahora bien, cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, no se puede utilizar la Regla de Adición Simple; sus resultados nos llevan por mal camino. Considera un ejemplo muy sencillo: voltear una moneda dos veces; ¿cuál es la probabilidad de que al menos una vez consigas cabezas? Eso es una ocurrencia disyuntiva: estamos buscando la probabilidad de que te pongas cabezas en el primer lanzamiento o cabezas en el segundo lanzamiento. Pero estos dos eventos —cabezas en lanzamiento #1, cabezas en lanzamiento #2— no son mutuamente excluyentes. No es el caso de que a lo sumo pueda ocurrir uno; podrías tener cabezas en ambos lanzamientos. Entonces en este caso, la Regla de Adición Simple nos dará resultados chiflados. La probabilidad de lanzar cabezas es 1/2, así que obtenemos esto:

P (cabezas en #1 6820 cabezas en #2) = P (cabezas en #1) + P (cabezas en #2) = 1/2 + 1/2 = 1 [¡INCORRECTO!]

Si usamos la Regla de Adición Simple en este caso, obtenemos el resultado de que la probabilidad de lanzar cabezas al menos una vez es 1; es decir, es absolutamente seguro que ocurrirá. ¡Habla de chichón! No tenemos la garantía de conseguir cabezas al menos una vez; podríamos lanzar colas dos veces seguidas.

En casos como este, donde queremos calcular la probabilidad de la ocurrencia disyuntiva de eventos que no son mutuamente excluyentes, debemos hacerlo indirectamente, utilizando la siguiente verdad universal:

P (éxito) = 1 - P (fracaso)

Esta fórmula se mantiene para cualquier evento o combinación de eventos que sea. Dice que la probabilidad de cualquier ocurrencia (singular, conjuntivo, disyuntivo, lo que sea) es igual a 1 menos la probabilidad de que no ocurra. 'Éxito' = sucede; 'fracaso' = no lo hace Así es como llegamos a la fórmula. Para cualquier ocurrencia, hay dos posibilidades: o va a pasar o no lo hará; éxito o fracaso. Es absolutamente seguro que al menos uno de estos dos va a suceder; es decir, P (éxito y fracaso) = 1. El éxito y el fracaso son (obviamente) resultados mutuamente excluyentes (no pueden suceder ambos). Para que podamos expresar P (éxito y fracaso) usando la Regla de Adición Simple: P (éxito) = P (éxito) + P (fracaso). Y como ya lo hemos señalado, P (éxito y fracaso) = 1, entonces P (éxito) + P (fracaso) = 1. Restar P (fracaso) de cada lado de la ecuación nos da nuestra fórmula universal: P (éxito) = 1 - P (fracaso).

Veamos cómo funciona esta fórmula en la práctica. Volveremos al caso de voltear una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cabeza? Bueno, la probabilidad de tener éxito en conseguir al menos una cabeza es de apenas 1 menos la probabilidad de fallar. ¿Qué aspecto tiene el fracaso en este caso? Sin cabezas; dos colas seguidas. Es decir, colas en el primer lanzamiento y colas en el segundo lanzamiento. ¿Ves eso 'y' ahí dentro? (Lo puse en cursiva.) Este fue originalmente un cálculo de ocurrencia disyuntiva; ahora tenemos un cálculo de ocurrencia conjuntiva. Estamos buscando la probabilidad de colas en el primer lanzamiento y colas en el segundo lanzamiento:

P (colas al tirar #1 • colas al tirar #2) =?

Sabemos cómo hacer problemas como este. Para las ocurrencias conjuntivas, primero tenemos que preguntarnos si los eventos son independientes. En este caso, claramente lo son. Conseguir colas en el primer lanzamiento no afecta mis posibilidades de conseguir colas en el segundo. Eso significa que podemos usar la Regla de Producto Simple:

P (colas en lanzamiento #1 • colas en lanzamiento #2) = P (colas en lanzamiento #1) x P (colas en lanzamiento #2)
=1/2x1/2 =1/4

De vuelta a nuestra fórmula universalmente verdadera: P (éxito) = 1 — P (fracaso). La probabilidad de no poder tirar al menos una cabeza es 1/4. La probabilidad de tener éxito en lanzar al menos una cabeza, entonces, es de apenas 1 — 1/4 = 3/4. (Esto tiene buen sentido. Si lanzas una moneda dos veces, hay cuatro formas distintas de las cosas: (1) lanzas cabezas dos veces; (2) lanzas cabezas la primera vez, colas la segunda; (3) lanzas colas la primera vez, cabezas la segunda; (4) tiras colas dos veces. En tres de esos cuatro escenarios (todos menos el último), has tirado al menos una cabeza.)

Entonces, en términos generales, cuando estamos calculando la probabilidad de ocurrencias disyuntivas y los eventos no son mutuamente excluyentes, necesitamos hacerlo indirectamente, calculando la probabilidad de que alguna de las ocurrencias disyuntivas fracase y restándola de 1. Esto tiene el efecto de convertir un cálculo de ocurrencia disyuntiva en un cálculo de ocurrencia conjuntiva: el fracaso de una disyunción es una conjunción de fallas. Este es un punto familiar de nuestro estudio de SL en el Capítulo 4. El fracaso de una disyunción es una disyunción negada; las disyunciones negadas equivalen a conjunciones de negaciones. Esta es una de las leyes de DeMorgan:

~ (p ‖ q) ≡ ~ p • ~ q

Reforzemos nuestra comprensión de cómo calcular las probabilidades con otro problema de muestra. Este problema implicará ocurrencias tanto conjuntivas como disyuntivas.

Hay una urna llena de canicas de varios colores. En concreto, contiene 20 canicas rojas, 30 canicas azules y 50 canicas blancas. Si seleccionamos 4 canicas de la urna al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro sean del mismo color, (a) si reemplazamos cada mármol después de dibujarla, y (b) si conservamos cada mármol después de dibujarla? Además, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de nuestras cuatro selecciones sea roja, (c) si reemplazamos cada mármol después de dibujarla, y (d) si conservamos cada mármol después de dibujarla?

Este problema se divide en dos: por un lado, en (a) y (b), estamos buscando la probabilidad de dibujar cuatro canicas del mismo color; por otro lado, en (c) y (d), queremos la probabilidad de que al menos una de las cuatro sea roja. Vamos a tomar estas dos preguntas por turno.

Primero, la probabilidad de que los cuatro sean del mismo color. Tratamos con una versión más estrecha de esta pregunta antes cuando calculamos la probabilidad de que las cuatro selecciones fueran azules. Pero la pregunta actual es más amplia: queremos saber la probabilidad de que todos sean del mismo color, no solo un color (como el azul) en particular, sino cualquiera de las tres posibilidades: rojo, blanco o azul. Hay tres formas en las que podríamos tener éxito en la selección de cuatro canicas del mismo color: las cuatro rojas, las cuatro blancas o las cuatro azules. Queremos la probabilidad de que uno de estos suceda, y eso es una ocurrencia disyuntiva:

P (todos los 4 rojos, todos los 4 blancos, todos 4 azules) =?

Cuando estamos calculando la probabilidad de ocurrencias disyuntivas, nuestro primer paso es preguntarnos si los eventos involucrados son mutuamente excluyentes. En este caso, claramente lo son. A lo sumo, uno de los tres eventos —los cuatro rojos, los cuatro blancos, los cuatro azules— sucederá (y probablemente ninguno de ellos lo hará); no podemos dibujar cuatro canicas y que todas sean rojas y todas blancas, por ejemplo. Dado que los eventos son mutuamente excluyentes, podemos usar la Regla de Adición Simple para calcular la probabilidad de su ocurrencia disyuntiva:

P (todos 4 rojos, todos 4 blancos, 4 azules) = P (todos 4 rojos) + P (todos 4 blancos) + P (todos 4 blancos) + P (todos 4 azules)

Así que tenemos que calcular las probabilidades para cada color individual —que todo sea rojo, todo blanco y todo azul— y sumar esas probabilidades juntas. Nuevamente, este es el tipo de cálculo que hicimos antes, en nuestro primer problema de práctica, cuando calculamos la probabilidad de que las cuatro canicas fueran azules. Sólo tenemos que hacer lo mismo para el rojo y el blanco. Estos son cálculos de las probabilidades de ocurrencias conjuntivas:

P (R1 • R2 • R3 • R4) =? P (W1 • W2 • W3 • W4) =?

(a) Si reemplazamos las canicas después de dibujarlas, los eventos son independientes, por lo que podemos usar la Regla de Producto Simple para hacer nuestros cálculos:

P (R1 • R2 • R3 • R4) = P (R1) x P (R2) x P (R3) x P (R4) P (W1 • W2 • W3 • W4) = P (W1) x P (W2) x P (W3) x P (W4)

Dado que 20 de las 100 canicas son rojas, la probabilidad de cada una de las selecciones rojas individuales es .2; dado que 50 de las canicas son blancas, la probabilidad para cada selección blanca es .5.

P (R1 • R2 • R3 • R4) = .2 x .2 x .2 x .2 = .0016 P (W1 • W2 • W3 • W4) = .5 x .5 x .5 x .5 x .5 = .0625

En nuestro problema de muestra anterior, calculamos la probabilidad de recoger cuatro canicas azules: .0081. Al juntar estos, la probabilidad de escoger cuatro canicas del mismo color:

P (todos los 4 rojos, todos 4 blancos, todos 4 azules) = P (todos 4 rojos) + P (todos 4 blancos) + P (todos 4 azules) = .0016 + .0625 + .0081 = .0722

(b) Si no reemplazamos las canicas después de cada selección, los eventos no son independientes, por lo que debemos usar la Regla General del Producto para hacer nuestros cálculos. La probabilidad de seleccionar cuatro canicas rojas es la siguiente:

P (R1 • R2 • R3 • R4) = P (R1) x P (R2 | R1) x P (R3 | R1 • R2) x P (R4 | R1 • R2 • R3)

Comenzamos con 20 de cada 100 canicas rojas, así que P (R1) = 20/100. En la segunda selección, estamos asumiendo que ya se ha dibujado el primer mármol rojo, por lo que solo quedan 19 mármoles rojos de un total de 99; P (R2 | R1) = 19/99. Para la tercera selección, asumiendo que se han dibujado dos canicas rojas, tenemos P (R3 | R1 • R2) = 18/98. Y en la cuarta selección, tenemos P (R4 | R1 • R2 • R3) = 17/97.

P (R1 • R2 • R3 • R4) = 20/100 x 19/99 x 18/98 x 17/97 = .0012 (aproximadamente)

Las mismas consideraciones se aplican a nuestro cálculo de dibujar cuatro canicas blancas, salvo que comenzamos con 50 de las del primer sorteo:

P (W1 • W2 • W3 • W4) = 50/100 x 49/99 x 48/98 x 47/97 = .0587 (aproximadamente)

En nuestro problema de muestra anterior, calculamos la probabilidad de recoger cuatro canicas azules como .007. Al juntar estos, la probabilidad de escoger cuatro canicas del mismo color:

P (todos los 4 rojos, todos 4 blancos, todos 4 azules) = P (todos 4 rojos) + P (todos 4 blancos) + P (todos 4 azules) = .0012 + .0587 + .007 = .0669 (aproximadamente)

Como es de esperar, hay una probabilidad ligeramente menor de seleccionar cuatro canicas del mismo color cuando no las reemplazamos después de cada selección.

Pasamos ahora a la segunda mitad del problema, en la que se nos pide calcular la probabilidad de que al menos una de las cuatro canicas seleccionadas sea roja. La frase 'al menos uno' es una pista: se trata de un problema de ocurrencia disyuntiva. Queremos saber la probabilidad de que el primer mármol sea rojo o el segundo sea rojo o el tercero o el cuarto:

P (R1 SELO, R2, R2, R3, R3, R4) =?

Cuando nuestra tarea es calcular la probabilidad de ocurrencias disyuntivas, el primer paso es preguntar si los eventos son mutuamente excluyentes. En este caso, no lo son. No es el caso de que a lo sumo una de nuestras selecciones sea una canica roja; podríamos escoger dos o tres o incluso cuatro (calculamos la probabilidad de escoger cuatro hace apenas un minuto). Eso significa que no podemos usar la Regla de Adición Simple para hacer este cálculo. En cambio, debemos calcular la probabilidad indirectamente, confiando en el hecho de que P (éxito) = 1 - P (fracaso). Debemos restar la probabilidad de que no seleccionemos ninguna canica roja de 1:

P (R1 ricardo R2 saba R3 ricardo R4) = 1 - P (sin canicas rojas)

Como siempre ocurre, el fracaso de una ocurrencia disyuntiva es solo una conjunción de fallas individuales. No conseguir canicas rojas es no conseguir una canica roja en el primer empate y no conseguir una en el segundo empate y fallar en el tercero y en el cuarto:

P (R1 RICARDO R2 RICARDO R3 RICARDO R4) = 1 - P (~ R1 • ~ R2 • ~ R3 • ~ R4)

En esta formulación, '~ R1' significa la eventualidad de no dibujar un mármol rojo en la primera selección, y los demás términos para no ponerse rojo en las selecciones posteriores. Nuevamente, solo estamos tomando prestados símbolos de SL.

Ahora tenemos un problema de ocurrencia conjuntiva que resolver, y entonces la pregunta a hacer es si los eventos ~ R1, ~ R2, y así sucesivamente son independientes o no. Y la respuesta es que depende de si reemplazamos las canicas después de dibujarlas o no.

(c) Si reemplazamos las canicas después de cada selección, entonces la falta de selección roja en una selección no tiene efecto sobre la probabilidad de no seleccionar rojo posteriormente. Es la misma urna —con 20 canicas rojas de cada 100— por cada selección. En ese caso, podemos usar la Regla de Producto Simple para nuestro cálculo:

P (R1, etc.) = 1 - [P (~ R1) x P (~ R2) x P (~ R3) x P (~ R3) x P (~ R4)]

Dado que hay 20 canicas rojas, hay 80 canicas no rojas, por lo que la probabilidad de escoger un color distinto al rojo en cualquier selección dada es .8.

P (R1 ricardo R2 alisco R3 alisco R4) = 1 - (.8 x .8 x .8 x .8) = 1 - .4096 = .5904

(d) Si no reemplazamos las canicas después de cada selección, entonces los eventos no son independientes, y debemos usar la Regla General del Producto para nuestro cálculo. La cantidad que restemos de 1 será esta:

P (~ R1) x P (~ R2 | ~ R1) x P (~ R3 | ~ R1 • ~ R2) x P (~ R4 | ~ R1 • ~ R2 • ~ R3) =?

En la primera selección, nuestras posibilidades de elegir un mármol no rojo son 80/100. En la segunda selección, suponiendo que elegimos una canica no roja la primera vez, nuestras posibilidades son 79/99. Y en la tercera y cuarta selecciones, las probabilidades son 78/98 y 77/97, respectivamente. Multiplicando todos estos juntos, obtenemos .4033 (aproximadamente), y así nuestro cálculo de la probabilidad de obtener al menos un mármol rojo se ve así:

P (R1 saba, R2, etc.) = 1 - .4033 = .5967 (aproximadamente)

Tenemos un poco más de posibilidades de obtener una canica roja si no las reemplazamos, ya que cada selección de una canica no roja hace que la composición de la urna sea un poco más roja pesada.

Ejercicios

1. Voltear una moneda 6 veces; ¿cuál es la probabilidad de tener cabezas cada vez?

2. Entra en una cancha de raquetball y usa cinta adhesiva para dividir el piso en cuatro cuadrantes de igual área. Lanzas tres super-bolas en direcciones aleatorias contra las paredes tan fuerte como puedas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres bolas lleguen a descansar en el mismo cuadrante?

3. Estás en casa de tu abuela por Navidad, y hay un plato de M&Ms con temas navideños, solo rojos y verdes. Hay 500 caramelos en el bol, con igual número de cada color. Escoge uno, nota su color, luego cómelo. Escoge otro, toma nota de su color y cómelo. Escoge un tercio, anota su color y cómelo. ¿Cuál es la probabilidad de que comieras tres M&Ms rojas rectas?

4. Tú y dos de tus amigos entran a una rifa. Hay un premio: un juego completo de cartas Pokémon Raras Ultra Secretas. Se venden 1000 boletos totales; sólo uno es el ganador. Usted compra 20, y sus amigos compran cada uno 10. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ustedes gane esas cartas Pokémon?

5. Eres un tirador de tiro libre 75%. Te hacen falta al intentar un tiro de 3 puntos, lo que significa que obtienes 3 intentos de tiros libres. ¿Cuál es la probabilidad de que hagas al menos uno de ellos?

6. Tira dos dados; ¿cuál es la probabilidad de rodar un siete? ¿Qué tal un ocho?

7. En mi condado, el 70% de la gente votó por Donald Trump. Elige a tres personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea elector de Trump?

8. ¿Ves estas dos cajas aquí sobre la mesa? Cada uno de ellos tiene gomas en su interior. Vamos a jugar un pequeño juego, al final del cual hay que escoger un frijol de gelatina al azar y comérselo. Aquí está el trato con las gomas. Puede que no seas consciente de esto, pero los científicos de alimentos son capaces de crear gominolas con prácticamente cualquier sabor que quieras, y muchos que no quieras. Existe, de hecho, tal cosa como las gomas con sabor a vómito. (De veras: http://mentalfloss.com/article/62593... -sabores extraños) De todas formas, en una de mis dos cajas, hay 100 gominolas totales, 8 de las cuales tienen sabor a vómito (el resto son sabores de frutas normales). En la otra caja, tengo 50 gominolas, 7 de las cuales tienen sabor a vómito. Recuerda, todo esto termina con que elijas un frijol de gelatina al azar y comértelo. Pero tienes la opción entre dos métodos para determinar cómo va a bajar: (a) Tiras una moneda, y el resultado del volteo determina de cuál de las dos cajas eliges un frijol de gelatina; (b) Yo vuelco todas las gomas en la misma caja y tú eliges de eso. ¿Qué opción eliges? ¿Cuál minimiza la probabilidad de que acabes comiendo una jalea con sabor a vómito? ¿O no hace ninguna diferencia?

9. Para los hombres que ingresan a la universidad, la probabilidad de que terminen un grado dentro de cuatro años es de .329; para las mujeres, es .438. Considera dos estudiantes de primer año: Albert y Betty. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos no logre completar la universidad en al menos cuatro años? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos logre hacerlo?

10. Me encanta Chex Mix. Mis cosas favoritas en la mezcla son esas pequeñas papitas de níquel. Pero son relativamente raros comparados con los otros ingredientes. Eso está bien, sin embargo, ya que mi segundo favorito son las propias piezas de Chex, y son bastante abundantes. No sé cuáles son las proporciones exactas, pero supongamos que es 50% de cereal Chex, 30% pretzels, 10% de palitos de pan crujientes y 10% mis amados chips de pumpernickel. Supongamos que tengo un tazón grande de Chex Mix: 1,000 piezas totales de comida. Si como tres piezas del bol, (a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea una papilla de níquel? Y (b) ¿cuál es la probabilidad de que o los tres sean chips de níquel de pumpernickel o los tres sean mis segundos favoritos, las piezas de Chex?

11. Estás jugando al draw poker. Así es como funciona el juego: una mano de póquer es una combinación de cinco cartas; algunas combinaciones son mejores que otras; en el póquer de sorteo, se te reparte una mano inicial, y luego, después de una ronda de apuestas, se te da la oportunidad de descartar algunas de tus cartas (hasta tres) y dibujar otras nuevas, con la esperanza de mejorar tu mano; después de otra ronda de apuestas, ya ves quién gana. En esta mano en particular, inicialmente te reparten un 7 de corazones y el 4, 5, 6 y Rey de espadas. Esta mano es bastante débil por sí sola, pero está muy cerca de ser bastante fuerte, de dos maneras: está cerca de ser una “ras”, que son cinco cartas del mismo palo (tienes cuatro picas); también está cerca de ser una “recta”, que es cinco cartas de rango consecutivo (tienes cuatro seguidas en las 4, 5, 6 y 7). Un rubor le gana a una recta, pero en esta situación eso no importa; en base a cómo actuaron los otros jugadores durante la primera ronda de apuestas, estás convencido de que ya sea la recta o la flush ganarán el dinero al final. La pregunta es, ¿a cuál deberías ir? ¿Deberías descartar al Rey, esperando sacar un 3 o un 8 para completar tu recta? ¿O deberías descartar el 7 de corazones, esperando dibujar una pala para completar tu color? ¿Cuál es la probabilidad para cada uno? Debes elegir el que sea más alto. (Inspirado en un ejercicio de Copi y Cohen, pp. 596 - 597)