4.2: Declaraciones y simbolización

Lógica sentencial

La versión del lenguaje lógico que estamos usando a menudo se llama Lógica Sentencial o SL. Se llama lógica sentencial, porque las unidades básicas del lenguaje representarán oraciones enteras.

Letras de oración

En SL, se utilizan letras mayúsculas para representar oraciones básicas. Considerada únicamente como símbolo de SL, la letra A podría significar cualquier frase. Entonces, al traducir del inglés al SL, es importante proporcionar una clave de simbolización. La clave proporciona una oración en idioma inglés para cada letra de oración utilizada en la simbolización. Por ejemplo, considere este argumento:

Hay una manzana en el escritorio.

Si hay una manzana en el escritorio, entonces Jenny llegó a clase.

* Jenny llegó a clase.

Este es obviamente un argumento válido en inglés. Al simbolizarlo, queremos preservar la estructura del argumento que lo hace válido. ¿Qué pasa si reemplazamos cada oración por una letra? Nuestra clave de simbolización se vería así:

R: Hay una manzana en el escritorio.

B: Si hay una manzana en el escritorio, entonces Jenny llegó a clase.

C: Jenny llegó a clase.

Entonces simbolizaríamos el argumento de esta manera:

A

B

C

No hay conexión necesaria entre alguna frase A, que podría ser cualquier oración, y algunas otras oraciones B y C, que podrían ser cualesquiera oraciones. La estructura del argumento se ha perdido por completo en esta traducción. Lo importante del argumento es que la segunda premisa no es simplemente una sentencia cualquiera, lógicamente divorciada de las otras oraciones del argumento. La segunda premisa contiene la primera premisa y la conclusión como partes. Nuestra clave de simbolización para el argumento solo necesita incluir significados para A y C, y podemos construir la segunda premisa a partir de esas piezas. Entonces simbolizamos el argumento de esta manera:

A

Si A, entonces C.

C

Esto preserva la estructura del argumento que lo hace válido, pero todavía hace uso de la expresión inglesa `Si... entonces... 'Aunque en última instancia queremos reemplazar todas las expresiones inglesas por notación lógica, este es un buen comienzo.

Las oraciones que pueden simbolizarse con letras de oración se denominan oraciones atómicas, porque son los bloques básicos de construcción a partir de los cuales se pueden construir oraciones más complejas. Cualquiera que sea la estructura lógica que pueda tener una oración se pierde cuando se traduce como una oración atómica. Desde el punto de vista de SL, la frase es sólo una letra. Se puede utilizar para construir oraciones más complejas, pero no se puede desarmar.

Sólo hay veintiséis letras del alfabeto, pero no hay límite lógico para el número de oraciones atómicas. Podemos usar la misma letra para simbolizar diferentes oraciones atómicas agregando un subíndice, un pequeño número escrito después de la letra. Podríamos tener una clave de simbolización que se vea así:

A1: La manzana está debajo del gabinete.

A2: Los argumentos en SL siempre contienen oraciones atómicas.

A3: Adam Ant está tomando un avión de Anchorage a Albany.

...

A294: La aliteración enoja a astronautas por lo demás afables.

Tenga en cuenta que cada uno de estos es una letra de oración diferente. Cuando hay subíndices en la clave de simbolización, es importante hacer un seguimiento de ellos.

Aquí hay algo interesante a tener en cuenta, y tiene sentido. Siempre que se define una variable, usamos letras mayúsculas y puedes usar cualquiera que quieras, y a menudo es una buena idea elegir una que represente bien la oración, como usar B para “Barbara es increíble”. Sin embargo, cuando estamos

hablando abstractamente o discutiendo reglas en general, usamos letras minúsculas, las cursiva, y muchas veces empezamos con p y vamos de ahí.

Conectivos

Las conectivas lógicas se utilizan para construir oraciones complejas a partir de componentes atómicos. Hay cinco conectivas lógicas en SL. A continuación se resumen. Hoy estamos viendo los 3 primeros y estaremos viendo los otros 2 en otra lección.

~ = negación: `No es el caso que p', ~p

& = conjunción: `Tanto p como q' p & q

v = disyunción: `O p o q' p v q (sí, eso es solo una v minúscula, pero técnicamente es un carácter diferente)

= condicional: `Si p entonces... q' p q (puedes copiar y pegar “” o puedes usar >)

↔ = bicondicional: 'p si y solo si q' p ↔ q (puedes copiar y pegar “↔” o puedes usar <>)

Negación

Considera cómo podríamos simbolizar estas frases:

1. Mary está en Barcelona.

2. María no está en Barcelona.

3. Mary está en algún lugar además de Barcelona.

Para simbolizar la oración 1, necesitaremos una letra de oración. Podemos proporcionar una clave de simbolización:

B: María está en Barcelona.

Tenga en cuenta que aquí le estamos dando a B una interpretación diferente a la que hicimos en el apartado anterior. La clave de simbolización solo especifica lo que significa B en un contexto específico. Es vital que sigamos usando este significado de B siempre y cuando estemos hablando de María y Barcelona. Posteriormente, cuando estamos simbolizando diferentes oraciones, podemos escribir una nueva clave de simbolización y usar B para significar otra cosa.

Ahora bien, la frase 1 es simplemente B.

Dado que la oración 2 está obviamente relacionada con la oración 1, no queremos introducir una letra de oración diferente. Para ponerlo en parte en inglés, la frase significa `Not B. ' Para simbolizar esto, necesitamos un símbolo para la negación lógica. Vamos a utilizar ~.

Ahora podemos traducir `Not B' a ~B, que es la frase 2.

La frase 3 trata sobre si María está o no en Barcelona, pero no contiene la palabra `no'. Sin embargo, es lógicamente equivalente a la frase 2.

Ambos quieren decir: No es el caso de que María esté en Barcelona.

Como tal, podemos traducir tanto la oración 2 como la oración 3 como ~B. Una oración puede simbolizarse como ~A si se puede parafrasear en inglés como `No es el caso que A. ' Considere estos ejemplos adicionales:

4. El widget se puede reemplazar si se rompe.

5. El widget es insustituible.

6. El widget no es insustituible.

Si dejamos que R signifique `El widget es reemplazable', entonces la oración 4 puede traducirse como R.

¿Qué pasa con la oración 5? Decir que el widget es insustituible significa que no es el caso de que el widget sea reemplazable. Entonces, aunque la oración 5 no sea negativa en inglés, la simbolizamos usando la negación como ~R.

La frase 6 puede parafrasearse como `No es el caso de que el widget sea irremplazable'. Usando la negación dos veces, traducimos esto como ~R. Las dos negaciones seguidas cada una funcionan como negaciones, por lo que la oración significa `No es el caso que no sea el caso que R. ' Si piensas en la oración en inglés, es lógicamente equivalente a la oración 4. Entonces, cuando definimos la equivalencia lógica es SL, nos aseguraremos de que R y ~~R sean lógicamente equivalentes.

Más ejemplos:

7. Elliott está feliz.

8. Elliott es infeliz.

Si dejamos que H signifique `Elliot es feliz', entonces podemos simbolizar la oración 7 como H. Sin embargo, sería un error simbolizar la oración 8 como ~H. Si Elliott es infeliz, entonces no es feliz, pero la oración 8 no significa lo mismo que `No es el caso de que Elliott sea feliz'. Podría ser que no esté contento pero que tampoco sea infeliz. Quizás esté en algún lugar entre los dos. Para simbolizar la oración 8, necesitaríamos una nueva letra de oración.

Para cualquier frase A: Si A es verdadera, entonces ~A es falsa. Si ~A es verdadero, entonces A es falso.

Usando `T' para true y `F' para false, podemos resumir esto en una tabla de verdad característica para la negación:

A ~A

T F

F T

Conjunción

Considera estas frases:

9. Adam es atlético.

10. Bárbara es atlética.

11. Adam es atlético, y Bárbara también es atlética.

Necesitaremos letras de oración separadas para 9 y 10, así definimos esta clave de simbolización:

R: Adán es atlético.

B: Bárbara es atlética.

La oración 9 puede simbolizarse como A.

La oración 10 puede simbolizarse como B.

La sentencia 11 puede parafrasearse como `A y B' Para simbolizar completamente esta frase, necesitamos otro símbolo. Usaremos `&. ' Traducimos `A y B' como A&B. El `&' conectivo lógico se llama conjunción, y A y B se llaman cada uno conjunciones.

Observe que no hacemos ningún intento de simbolizar `también' en la sentencia 11. Palabras como `ambos' y `también' funcionan para llamar nuestra atención sobre el hecho de que dos cosas están siendo unidas. No están haciendo ningún otro trabajo lógico, por lo que no necesitamos representarlos en SL.

Algunos ejemplos más:

12. Barbara es atlética y enérgica.

13. Barbara y Adam son ambos atléticos.

14. A pesar de que Bárbara es enérgica, no es atlética.

15. Bárbara es atlética, pero Adam es más atlético que ella.

La sentencia 12 es obviamente una conjunción. La frase dice dos cosas sobre Bárbara, por lo que en inglés está permitido referirse a Bárbara sólo una vez. Podría ser tentador probar esto al traducir el argumento: Como B significa `Bárbara es atlética', uno podría parafrasear las oraciones como `B y enérgico'. Esto sería un error. Una vez que traducimos parte de una oración como B, se pierde cualquier estructura adicional. B es una oración atómica; no es más que verdadera o falsa. Por el contrario, `energético' no es una frase; por sí sola no es ni verdadera ni falsa. En cambio, deberíamos parafrasear la oración como `B y Bárbara es enérgida'. Ahora necesitamos agregar una letra de oración a la clave de simbolización. Que E signifique `Bárbara es energética'. Ahora la oración se puede traducir como B & E. Una oración puede simbolizarse como A &B si se puede parafrasear

en inglés como `Ambos A y B. ' Cada una de las conjunciones debe ser una sentencia.

La frase 13 dice una cosa sobre dos temas diferentes. Dice tanto de Bárbara como de Adam que son atléticos, y en inglés usamos la palabra `athletic' sólo una vez. Al traducir a SL, es importante darse cuenta de que la sentencia puede ser parafraseada como, `Bárbara es atlética, y Adán es atlético'. Esto se traduce como B & A.

La sentencia 14 es un poco más complicada. La palabra `aunque” establece un contraste entre la primera parte de la oración y la segunda parte. No obstante, la sentencia dice tanto que Bárbara es enérgica como que no es atlética. Para hacer de cada una de las conjunciones una sentencia atómica, necesitamos sustituir `ella' por `Bárbara. '

Entonces podemos parafrasear la frase 14 como, `Tanto Bárbara es enérgica, y Bárbara no es atlética. ' La segunda conjunción contiene una negación, por lo que parafraseamos más: `Ambas Bárbara es enérgica y no es el caso de que Bárbara sea atlética'. Esto se traduce como E &:B.

La frase 15 contiene una estructura contrastiva similar. Es irrelevante para el propósito de traducirlo a SL, por lo que podemos parafrasear la frase como `Tanto Bárbara es atlética, y Adam es más atlético que Bárbara. ' (Observe que una vez más reemplazamos el pronombre `ella' por su nombre.) ¿Cómo debemos traducir la segunda conjunción? Ya tenemos la frase letra A que trata sobre Adam siendo atlético y B que se trata de que Barbara sea atlética, pero tampoco se trata de que uno de ellos sea más atlético que el otro. Necesitamos una nueva letra de oración. Let

R significa `Adán es más atlético que Bárbara. ' Ahora la oración se traduce como B &R.

Las oraciones que pueden parafrasearse `A, pero B' o `Aunque A, B' se simbolizan mejor usando conjunción: A &B Es importante tener en cuenta que las letras de oración A, B y R son oraciones atómicas. Considerados como símbolos de SL, no tienen sentido más allá de ser verdaderos o falsos. Los hemos usado para simbolizar diferentes frases en idioma inglés que tratan de que las personas sean atléticas, pero esta similitud se pierde por completo cuando traducimos a SL. Ningún lenguaje formal puede capturar toda la estructura del idioma inglés, pero mientras esta estructura no sea importante para el argumento no se pierde nada al dejarla fuera.

¿Cuál de estas tres afirmaciones dice lo mismo?

1) Mike y George son boxeadores

2) Mike es boxeador y George es boxeador

3) Mike y George están boxeando entre sí

Los 2 primeros son iguales —pero el tercero dice algo diferente. A pesar de que implica la palabra “y” no se está utilizando como conjunción. Nos está diciendo que están participando en una acción con el otro. Si lo tratáramos como una conjunción, sería: Mike está boxeando entre sí y George está boxeando entre sí. No obstante, podríamos decir que esta frase está diciendo, “Mike está boxeando a George y George está boxeando a Mike”, pero esto está cambiando un poco las cosas. Sin embargo, el

dos frases estarían expresando casi las mismas ideas. Recuerda que una conjunción solo se une a dos proposiciones.

Para cualquier oración A y B, A &B es verdadera si y solo si tanto A como B son verdaderas. Podemos resumir esto en la tabla de verdad característica para la conjunción:

A B A & B

T T T

T F F

F T F

F F F

La conjunción es simétrica porque podemos intercambiar las conjunciones sin cambiar el verdad-valor de la oración. Independientemente de lo que sean A y B, A &B es lógicamente equivalente a B &A.

¿Son estos argumentos válidos?

“Harry es bajito y John es alto, por lo tanto Harry es bajito”.

“Harry es bajito. John es alto. Por lo tanto, Harry es bajito y John es alto”.

Ambos son válidos. Piense en los medios de validez y luego en lo que se dice. Recuerda que en un argumento válido, si las premisas son verdaderas, la conclusión también debe ser cierta. Es decir, si las premisas son verdaderas, no hay manera de que la conclusión pueda ser alguna vez falsa. Entonces, con ambos argumentos, si las premisas son ciertas, las conclusiones tienen que ser ciertas también. Por lo tanto, son válidos. Son sólidos si Harry es realmente bajo y John es realmente alto, pero al hacer lógica simbólica, solo nos importa la validez. La solidez es demasiado práctica e importante.

Mirando hacia el futuro, esto es lo que nos van a decir las tablas de la verdad: estaremos haciendo complejas que nos harán saber cuando todas las premisas son verdaderas, y si la conclusión es cierta cada vez que todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es válido.

Disyunción

Considera estas frases:

16. O Denison jugará al golf conmigo, o verá películas.

17. Ya sea Denison o Ellery jugarán al golf conmigo.

Para estas frases podemos usar esta clave de simbolización:

D: Denison jugará al golf conmigo.

E: Ellery jugará al golf conmigo.

M: Denison verá películas.

La sentencia 16 es `O D o M. ' Para simbolizar completamente esto, introducimos un nuevo símbolo. La sentencia se convierte en D vM. El conectivo `v' se llama disyunción, y D y M se llaman disjuncts.

La sentencia 17 es sólo un poco más complicada. Hay dos temas, pero la oración en inglés sólo da el verbo una vez. Al traducir, podemos parafrasearlo como. `O Denison jugará al golf conmigo, o Ellery jugará al golf conmigo. ' Ahora obviamente se traduce como D v E.

Una oración puede simbolizarse como A v B si se puede parafrasear en inglés como `O A, o B. ' Cada uno de los disjuntos debe ser una sentencia.

A veces en inglés, la palabra `or' excluye la posibilidad de que ambos disjuntos sean ciertos. Esto se llama exclusivo o. Una exclusiva o está claramente pensada cuando dice, en el menú de un restaurante, `Los platos principales vienen con sopa o ensalada'. Puede que tengas sopa; puedes tener ensalada; pero, si quieres tanto sopa como ensalada, entonces tienes que pagar extra.

En otras ocasiones, la palabra `or' permite la posibilidad de que ambos disjuntos puedan ser ciertos. Este es probablemente el caso de la sentencia 17, arriba. Podría jugar con Denison, con Ellery, o con Denison y Ellery. La sentencia 17 se limita a decir que jugaré con al menos uno de ellos. Esto se llama inclusivo o.

El símbolo `v' representa un inclusivo o. Entonces D v E es verdadera si D es verdadera, si E es verdadera, o si tanto D como E son verdaderas. Es falso sólo si tanto D como E son falsos. Podemos resumir esto con la característica tabla de verdad para la disyunción:

A B A v B

T T T

T F T

F T T

F F F

Como la conjunción, la disyunción es simétrica. aVB es lógicamente equivalente a BVa.

Estas frases son algo más complicadas:

18. O no vas a tener sopa, o no vas a tener ensalada.

19. No tendrás ni sopa ni ensalada.

20. Se obtiene sopa o ensalada, pero no ambas.

Dejamos que S1 signifique que obtienes sopa y S2 significa que obtienes ensalada.

La sentencia 18 se puede parafrasear de esta manera: `O no es el caso de que te den sopa, o no es el caso de que te den ensalada. ' Traducir esto requiere tanto disyunción como negación. Se convierte en S1 v S2.

La sentencia 19 también requiere de negación. Se puede parafrasear como, `No es el caso de que o que te den sopa o que te den ensalada. ' Necesitamos alguna manera de indicar que la negación no sólo niega el disjunto derecho o izquierdo, sino que niega toda la disyunción. Para ello, ponemos paréntesis alrededor de la disyunción: `No es el caso que (S1 VS2). ' Esto se convierte simplemente en ~ (S1 v S2). Observe que los paréntesis están haciendo un trabajo importante aquí. La frase ~S1vs2 significaría `O no vas a tener sopa, o vas a tener ensalada. '

Sentencia 20 es una exclusiva o. Podemos romper la oración en dos partes. La primera parte dice que obtienes uno u otro. Esto lo traducimos como (S1 v S2). La segunda parte dice que no se obtienen las dos. Podemos parafrasear esto como, `No es el caso tanto de que te den sopa como de que te den ensalada. ' Usando tanto negación como conjunción, traducimos esto como ~ (S1 &S2). Ahora sólo tenemos que juntar las dos partes. Como vimos anteriormente, `pero' suele traducirse como una conjunción. La oración 20 puede traducirse así como (S1 v S2) & ~ (S1 y S2).

Aunque `v' es una o inclusiva, podemos simbolizar una exclusiva o en SL. Solo necesitamos más de un conectivo para hacerlo.

Paréntesis

Debes usar paréntesis en lógica como lo harías en cualquier otro lugar. Como te mostró el ejemplo anterior, dejarlos fuera puede cambiar completamente el significado de una oración. Las reglas son simples: usa paréntesis para conectar solo 2 declaraciones a la vez y cuando 2 cosas están entre paréntesis, básicamente se convierten en una cosa. Entonces, si quisiera simbolizar

“Adam fue a la tienda, Mark fue a la obra, John no fue a la tienda, y Belle no fue a la obra” podríamos escribir

(A y M) y (~J y ~B) o

A & (M & (~J & ~B)) o muchas otras formas cambiando entre paréntesis.

(Te voy a dejar que averiguaras lo que representa cada letra)