4.4: Validez y solidez

21 Validez y solidez ³⁷

Sentencias

Recordemos que una oración es una expresión significativa que puede ser verdadera o falsa. La oración ~~~D es verdadera si y solo si la oración ~~D es falsa, y así sucesivamente a través de la estructura de la oración hasta llegar a los componentes atómicos:

~~~D es verdadera si y solo si la oración atómica D es falsa.

Una “fórmula bien formada” (wff) como (Q&R) debe estar rodeada de paréntesis, porque podríamos volver a aplicar la definición para usar esto como parte de una oración más complicada. Si negamos (Q&R), obtenemos ~ (Q&R). Si solo tuviéramos Q&R sin los paréntesis y pusiéramos una negación delante de él, tendríamos ~Q&R. Lo más natural es leer esto con el significado de lo mismo que (~Q&R), algo muy diferente a ~ (Q&R). La frase ~ (Q&R) significa que no es el caso que tanto Q como R sean verdaderas; Q puede ser falsa o R puede ser falsa, pero la frase no nos dice cual. La frase (~Q&R) significa específicamente que Q es falsa y que R es verdadera. Como tal, los paréntesis son cruciales para el significado de la oración.

Entonces, estrictamente hablando, Q&R sin paréntesis no es una oración de SL (Lógica Sentencial). Sin embargo, al usar SL, a menudo podremos relajar la definición precisa para facilitarnos las cosas. Esto lo haremos de varias maneras.

Primero, entendemos que Q&R significa lo mismo que (Q&R). Como cuestión de convención, podemos dejar fuera de paréntesis que ocurren alrededor de toda la oración.

Segundo, a veces puede resultar confuso mirar oraciones largas con muchos pares de paréntesis anidados. Adoptamos la convención de usar corchetes `['y`]' en lugar de paréntesis. No hay diferencia lógica entre (P vQ) y [P v Q], por ejemplo. La sentencia impracticable

(((H & I) v (I & H)) y (J v K))

podría escribirse de esta manera:

(H & I) v (I & H)

Y (J v K)

Tercero, a veces vamos a querer traducir la conjunción de tres o más oraciones. Para la frase `Alice, Bob y Candice fueron todos a la fiesta', supongamos que dejamos que A signifique `Alicia fue', B significa `Bob went', y C significa `Candice fue'. La definición solo nos permite formar una conjunción a partir de dos oraciones, por lo que podemos traducirla como (A&B) &C o como A& (B & C). No hay razón para distinguir entre estos, ya que las dos traducciones son lógicamente equivalentes. No hay diferencia lógica entre el primero, en el que (A&B) está unido con C, y el segundo, en el que A está unido con (B &C). Así que bien podríamos escribir A&B & C. Como cuestión de convención, podemos dejar fuera paréntesis cuando juntamos tres o más oraciones.

Cuarto, una situación similar surge con múltiples disyunciones. `O Alice, Bob, o Candice fueron a la fiesta' se puede traducir como (aVb) vC o como Av (BvC). Dado que estas dos traducciones son lógicamente equivalentes, podemos escribir A v B v C. Estas dos últimas convenciones solo se aplican a múltiples conjunciones o disyunciones múltiples. Si una serie de conectivos incluye tanto disyunciones como conjunciones, entonces los paréntesis son esenciales; como con (A&B) v C y A& (B v C). También se requieren los paréntesis si hay una serie de condicionales o bicondicionales (los cuales serán cubiertos en el siguiente capítulo); como con (A B) C y A ↔ (B ↔ C).

Hemos adoptado estas cuatro reglas como convenciones notacionales, no como cambios en la definición de una oración. Estrictamente hablando, aVb v C todavía no es una oración. En cambio, es una especie de taquigrafía. Lo escribimos por conveniencia, pero realmente nos referimos a la frase (A v (B v C)).

El conectivo que miras primero al descomponer una oración se llama el principal operador lógico de esa oración. Por ejemplo: El operador lógico principal de ~ (E v (F & G)) es la negación, ~. El operador lógico principal de (~E v (F & G)) es disyunción, v.

Tablas de la Verdad

Este capítulo introduce una manera de evaluar oraciones y argumentos de SL. Si bien puede ser laborioso, el método de la tabla de la verdad es un procedimiento puramente mecánico que no requiere intuición ni perspicacia especial.

Conectivos verdad-funcionales

Cualquier oración no atómica de SL está compuesta por oraciones atómicas con conectivos sentenciales. El valor de verdad de la oración compuesta depende únicamente del valor de verdad de las oraciones atómicas que la componen. Para conocer el verdad-valor de (D&E), por ejemplo, solo necesitas conocer el valor de verdad de D y el valor de verdad de E. Los conectivos que funcionan de esta manera se denominan verdad-funcionales.

Escribimos las variables que estamos usando en la parte superior y luego generamos una tabla donde tenemos todas las combinaciones posibles de Verdadero y Falso para las variables. Por ejemplo, cuando solo tenemos A, necesitamos saber cuál es el valor de la negación cuando A es verdadera o cuando A es falsa. Lo que esto significa es que la afirmación A tiene el valor de ser verdadera o falsa. Así es como funciona esto: Si digo esa afirmación A es “Superman lleva una capa” y esta afirmación es cierta, entonces la negación de esta afirmación haría una nueva declaración falsa “Superman no usa capa”. No obstante, si digo que A es “Los Increíbles llevan capas” y que esta afirmación es Falsa, entonces negándola haría una nueva declaración Verdadera, “Los Increíbles no llevan capas”. Entonces, lo que significa esta tabla es que cuando A es Verdadero, su negación es Falso, y cuando A es Falso, su negación es Verdadero.

A ~A

T F

F T

No obstante, casi nunca tenemos argumentos con sólo 1 declaración. Entonces cuando tenemos 2 declaraciones, necesitamos tener todas las posibilidades de la Verdad para ellas. Lo que esto significa (y lo puedes ver en la tabla siguiente) es que tenemos que hacer una tabla que nos muestre cuál es el valor de verdad de las cosas cuando A y B son ambos Verdadero, cuando A es Verdadero y B es Falso, cuando A es Falso y B es Verdadero, y cuando A y B son ambos Falso. Entonces podemos agregar los conectivos y ver cuando son verdaderos, dada la verdad asumida de A y B. Por ejemplo, la conjunción (&) es solo Verdadero cuando ambos son Verdaderos y el disjunto (v) es verdadero cuando al menos uno de ellos es (y solo Falso cuando ambos son Falsos).

A B A y B aVb

T T T T

T F F T

F T F T

F F F F

Ahora deberías poder hacer algunos análisis sobre algunas oraciones básicas. Para lo siguiente, supongamos que A, B, C son Ciertos y que X, Y, Z son Falsos. Asumiendo estos valores de verdad, ¿las siguientes frases son verdaderas o falsas?

1) ~X v Y

2) (A v Z) y B

3) ~A v (Z y ~X)

4) (A v Z) v ~ (~ (B y ~Z) y ~ (C v ~Y))

Respuestas: 1) es T porque ~X es Verdadero y solo se necesita un lado de un disjunto para ser Verdadero para hacerlo todo Verdadero; 2) es Verdadero; 3) es Falso; y 4) es Verdadero (pista: Todo lo que necesitas saber es que A es Verdadero y se vuelve realmente simple)

¿Es cierta la siguiente afirmación?

El cielo es azul o la luna es rosa fuerte y los perros no son animales.

Para averiguarlo, necesitamos simbolizarlo. Propongo lo siguiente:

B = El cielo es azul. P = La luna es de color rosa intenso. D = Los perros son animales.

B v P y ~D

Pero, ¿está claro lo que esto significa? ¡Necesitamos usar paréntesis! Pero no está claro a dónde van los paréntesis, y dependiendo de dónde los pongamos puede ser Verdadero (en el primer caso) o Falso (en el segundo).

B v (P y ~D)

(B v P) y ~D

Tablas completas de verdad

El valor de verdad de las oraciones que contienen solo un conectivo viene dado por la tabla de verdad característica para ese conectivo. Para ponerlos todos en un solo lugar, las tablas de verdad para los conectivos de SL se repiten en la tabla.

La tabla de verdad característica para la conjunción, por ejemplo, da las condiciones de verdad para cualquier oración de la forma (A &B). Aunque las conjunciones A y B sean oraciones largas y complicadas, la conjunción es verdadera si y sólo si tanto A como B son verdaderas. Considera la frase (H &I) vH. Consideramos todas las combinaciones posibles de verdadero y falso para H e I, lo que nos da cuatro filas.

Luego copiamos los valores de verdad para las letras de la oración y los escribimos debajo de las letras de la oración.

H I (H & I) v H

T T T T T

T F T F T

F T F F

F F F F F

Ahora considere la suboración H &I. Esta es una conjunción A &B con H como A y con I como B. H y I son ambas verdaderas en la primera fila. Como una conjunción es verdadera cuando ambas conjunciones son verdaderas, escribimos una T debajo del símbolo de conjunción. Seguimos por las otras tres filas y obtenemos esto:

H I (H & I) v H

T T T T T T

T F T F F T

F T F F T F

F F F F F F F

Toda la oración es una disyunción aVb con (H &I) como A y con H como B. En la segunda fila, por ejemplo, (H &I) es falsa y H es verdadera. Dado que una disyunción es verdadera cuando el disjunto es Verdadero, escribimos una T en la segunda fila debajo del símbolo de disyunción. Seguimos por las otras tres filas y obtenemos esto:

H I (H & I) v H

T T T T T T T

T F T F F T T

F T F F F F F

F F F F F F F F F

La columna de Ts debajo del condicional nos dice que la oración (H &I) v I es verdadera siempre que H es verdadera, y la verdad de I no determina la verdad de la oración. Es crucial que hayamos considerado todas las combinaciones posibles. Si solo tuviéramos una tabla de verdad de dos líneas, no podríamos estar seguros de que la oración no fuera falsa para alguna otra combinación de valores de verdad.

La mayoría de las columnas debajo de la oración solo están ahí para fines de contabilidad. Cuando te vuelvas más adepto con las tablas de verdad, probablemente ya no necesitarás copiar sobre las columnas de cada una de las letras de la oración. En cualquier caso, el verdad-valor de la oración en cada fila es solo la columna debajo del operador lógico principal de la oración; en este caso, la columna debajo del condicional.

Una tabla de verdad completa tiene una fila para todas las combinaciones posibles de T y F para todas las letras de la oración. El tamaño de la tabla de verdad completa depende del número de letras de oración diferentes en la tabla. Una frase que contiene sólo una letra de oración requiere sólo dos filas, como en la tabla de verdad característica para la negación. Esto es cierto aunque la misma letra se repita muchas veces, como en la oración [(C v C) & C] &~ (C & C). La tabla de verdad completa requiere sólo dos líneas porque solo hay dos posibilidades: C puede ser verdadera o puede ser falsa. Una sola letra de oración nunca se puede marcar tanto T como F en la misma fila. La tabla de la verdad para esta frase se ve así:

C [(C vC) &C] y ~ (C & C)

T T T T T T F F T T T

F F F F F F F F F T F

Al mirar la columna debajo del conectivo principal, vemos que la oración es falsa en ambas filas de la tabla; es decir, es falsa independientemente de si C es verdadera o falsa.

Una oración que contiene dos letras de oración requiere cuatro líneas para una tabla de verdad completa, como en las tablas de verdad características y la tabla para (H &I) v I.

Una oración que contiene tres letras de oración requiere ocho líneas. Por ejemplo:

M N P M y (N v P)

T T T T T T T T T

T T F T T T T F

T F T T T F T T

T F F F F F F

F T T F F T T

F T F F F T T F

F F T F F F T T

F F F F F F F F F F

De esta tabla, sabemos que la oración M & (N vP) puede ser verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad de M, N y P.

Una tabla de verdad completa para una oración que contiene cuatro letras de oración diferentes requiere 16 líneas. Cinco letras, 32 líneas. Seis letras, 64 líneas. Y así sucesivamente. Para ser perfectamente general: Si una tabla de verdad completa tiene n letras de oración diferentes, entonces debe tener 2n filas.

Para rellenar las columnas de una tabla de verdad completa, comience con la letra de oración más a la derecha y alterne Ts y Fs. En la siguiente columna a la izquierda, escribe dos Ts, escribe dos Fs y repite. Para la letra de la tercera oración, escribir cuatro Ts seguidas de cuatro Fs. Esto arroja una tabla de verdad de ocho líneas como la anterior.

Para una tabla de verdad de 16 líneas, la siguiente columna de letras de oración debe tener ocho Ts seguidas de ocho Fs. Para una tabla de 32 líneas, la siguiente columna tendría 16 Ts seguidas de 16 Fs. Y así sucesivamente.

Tautologías, contradicciones y sentencias contingentes

Una oración en inglés es una tautología si debe ser cierta como cuestión de lógica. Con una tabla completa de la verdad, consideramos todas las formas en que podría ser el mundo. Si la oración es verdadera en cada línea de una tabla de verdad completa, entonces es verdad como cuestión de lógica, independientemente de cómo sea el mundo.

Entonces una oración es una tautología en SL si la columna bajo su conectivo principal es T en cada fila de una tabla de verdad completa. Por el contrario, una oración es una contradicción en SL si la columna bajo su conectivo principal es F en cada fila de una tabla de verdad completa.

Una oración es contingente en SL si no es ni una tautología ni una contradicción; es decir, si es T en al menos una fila y F en al menos una fila.

Equivalencia lógica

Dos frases son lógicamente equivalentes en inglés si tienen el mismo valor de verdad que una lógica de materia. Una vez más, las tablas de verdad nos permiten definir un concepto análogo para SL: Dos oraciones son lógicamente equivalentes en SL si tienen el mismo valor de verdad en cada fila de una tabla de verdad completa. Considera las frases ~ (A v B) y ~A&~B. ¿Son lógicamente equivalentes? Para averiguarlo, construimos una tabla de la verdad.

A B ~ (A v B) ~ A y ~ B

T T F T T T F F T F T

T F F T F T F F T F

F T F F T T T F F F T

F F T F F F T F T F

Mira las columnas para los conectivos principales; negación para la primera oración, conjunción para la segunda. En las tres primeras filas, ambas son F. En la fila final, ambas son T. Ya que coinciden en cada fila, las dos frases son lógicamente equivalentes.

Validez

Un argumento en inglés es válido si es lógicamente imposible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa al mismo tiempo. En otras palabras, y si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también debe ser cierta. Un argumento es válido en SL si no hay fila de una tabla de verdad completa en la que las premisas sean todas T y la conclusión sea F; un argumento no es válido en SL si existe tal fila. Considera este argumento:

~L v (J y L)

L

J

¿Es válido? Para averiguarlo, construimos una tabla de verdad

.

J L ~ L v (J y L) L J

T T F T T T T T T OK!

T F T F T T F F F T

F T F F F T F F T F

F F T F F F F F F F

Sí, el argumento es válido. La única fila en la que ambas premisas son T es la primera fila, y en esa fila la conclusión también es T.

¿Qué pasa con este?

~L v (J v L)

L

J

¿Es válido? Para averiguarlo, construimos una tabla de la verdad.

J L ~ L v (J v L) L J

T T F T T T T T T OK!

T F T F T T T F F T

F T F T T F T T F ¡No válido!

F F T F F F F F F F

No, el argumento no es válido. Hay dos filas donde ambas premisas son True. En una de ellas, la conclusión también es Verdadera. No obstante, cuando J es False y L es True (fila 3), las premisas son True y la conclusión es False, haciéndola inválida.

Solidez

La solidez es el concepto más fácil de entender, siempre que entiendas validez. La lógica tiene que ver con la estructura de los argumentos y determinar la validez ya que eso es todo lo que podemos hacer: asegurarnos de que el razonamiento que estamos usando sea adecuado y realmente nos lleve a las conclusiones que queremos. Los argumentos válidos pueden ser totalmente poco interesantes, pero al menos su razonamiento es sólido. Por ejemplo, esto es válido:

Si comes un sándwich, entonces te volverás morado.

Te comías un sándwich.

Por lo tanto, te volverás púrpura.

Es válido... pero ¿a quién le importa? Lo que realmente nos importa en la vida real es la solidez. Un argumento es sólido cuando es válido y todas las premisas son realmente verdaderas. Esto significa que acabas de aprender algo nuevo y real que nos importa. Por ejemplo,

O entenderás esto o lo volverás a leer.

Si vuelves a leer esto, entonces lo entenderás.

Por lo tanto, entenderás esto.

Esto es válido, y en realidad es cierto, ya que supongo que lo volverás a leer si no lo cogiste la primera vez. Aquí está su simbolización para que puedas comprobarlo tú mismo por su validez:

U v R

R > U

U