14.1: Probabilidades condicionales

A medida que el mundo cambia, las probabilidades también cambian. La probabilidad de sacar un as de una baraja completa de cartas es 4/52. Pero si dibujas dos ases y no los reemplazas, la probabilidad de dibujar un as cambia. Decimos que la probabilidad condicional de dibujar un as, dado que se han eliminado dos ases, es 2/50.

La probabilidad de que algo sea el caso dado que algo más es el caso se llama probabilidad condicional. Expresamos la probabilidad condicional de A sobre B escribiendo Pr (A|B). Leemos esto como 'la probabilidad de A dada B'. En el ejemplo anterior, nos interesa la probabilidad de dibujar un as dado que ya se han sorteado dos ases.

Mucho aprendizaje implica la condicionalización. A medida que adquirimos nueva información, nuestras evaluaciones de probabilidades cambian. Siempre pensaste que Wilbur era muy honesto, pero ahora te das cuenta de que le robó la billetera a alguien y luego mintió al respecto. Esto te lleva a reevaluar tu creencia de que probablemente haya sido honesto en otras ocasiones. Condicionalizas la nueva información sobre Wilbur, actualizando tus puntos de vista sobre cuán probables son las cosas a la luz de las nuevas pruebas.

Ejemplo 1: Tu amigo te pide que escojas una carta, cualquier carta, de una baraja completa. ¿Qué tan probable es que hayas dibujado a un rey? Ahora tu amigo se ve como la tarjeta y declara que es una tarjeta facial. Esta nueva información cambia tu estimación de la probabilidad de que hayas escogido a un rey. Ahora te preocupa la probabilidad de que hayas sacado a un rey, dado que sacaste una carta facial.

Ejemplo 2: La probabilidad de contraer cáncer de pulmón (C) es mayor para los fumadores (S) que para los no fumadores. En nuestra nueva notación, esto significa que Pr (C|S) es mayor que Pr (C|~S).

Ejemplo 3: Estás a punto de rodar un dado justo. La probabilidad de que rodes un cuatro es 1/6. Rodas demasiado fuerte y se cae de la mesa donde no puedes verla, pero Wilbur mira y anuncia que rodaste un número par. Esto adelgaza el conjunto de resultados relevantes al eliminar los tres números impares. La Figura 14.1.1 muestra las posibilidades antes y después del anuncio de Wilbur. Antes del anuncio, la probabilidad de rodar un cuatro era 1/6. Pero una vez que diluye los resultados relevantes (por condicionalización), solo quedan tres posibilidades, y solo una salida de esas tres de rodar un cuatro. Cuando restringimos nuestra atención de esta manera, ahora centrándonos únicamente en los números pares, se dice que condicionamos la afirmación de que el número es par.

Figura\(\PageIndex{1}\): Adelgazamiento de los resultados relevantes

Caracterización de probabilidad condicional

La siguiente regla da la definición de probabilidades condicionales.

• Regla 7. (probabilidad condicional): La probabilidad de A dada B es la probabilidad de la conjunción de A & B, dividida por la probabilidad de B.

Pr (A|B) = Pr (A y B)/Pr (B)

En la Regla 7, también debemos exigir que la probabilidad de B no sea cero (porque la división por cero es indefinida).

La idea detrás de la Regla 7 es que las probabilidades condicionales cambian el conjunto de resultados relevantes. Cuando tu amigo te dice que seleccionaste una carta facial, el conjunto de posibilidades relevantes se reduce de 52 (podría ser cualquiera de las cartas de la baraja) hasta 12 (ahora sabemos que es una de las doce cartas faciales).

Ponemos A & B en el numerador, porque ahora hemos restringido el rango de casos relevantes a los cubiertos por B. Esto significa que la única parte relevante de la región para A es la parte que se solapa con B, que es solo la parte donde la conjunción A & B es verdadera. Entonces, en términos de nuestros diagramas, Pr (A|B) es la cantidad de B ocupada por A.

Y ponemos a Pr (B) en el denominador porque queremos restringir el abanico de posibilidades relevantes a aquellas en las que B es cierto. Esto es justo lo que significa hablar de la probabilidad de A dada B. Sin embargo, puede que no sea obvio que estos números hagan el trabajo deseado, así que trabajaremos a través de un ejemplo para ver exactamente cómo funcionan las cosas.

Cómo funcionan los números

Supongamos que hay 100 alumnos en tu clase de inglés. Hay 50 hombres (M), y 20 de ellos son tejanos (T). Podemos usar estas probabilidades y la Regla 7 para determinar la probabilidad de que alguien sea tejano dado que es masculino, es decir, Pr (T|M). Contamos con:

Pr (T&M) = 20/100 (la probabilidad —o proporción— de personas de la clase que son hombres y tejanos).

Pr (M) = 50/100 (la probabilidad —o proporción— de los machos en la clase).

Luego conectamos estos números en la fórmula dada por la Regla 7 a la izquierda para obtener los valores reales a la derecha (Figura 14.1.2)

Figura\(\PageIndex{2}\): La condicionalización recorta una nueva unidad

Entonces, la probabilidad de que alguien de la clase sea tejano si es masculino es 20/100 x 100/50 = 20/50 (los dos 100s cancelan) 2/5 = .4.

Lo que hace el numerador

Desatendemos a todos los que no son varones (algunos de los cuales pueden, pero no necesitan, ser tejanos). La Figura 14.1.2 representa esto cortando el círculo de Machos. Entonces solo nos interesa el porcentaje de tejanos entre los varones, lo que viene dado por la probabilidad de que alguien de la clase sea tanto texano como Masculino. Representamos esto como Pr (T & M). Es sólo el solapamiento entre los tejanos y los machos.

Qué hace el denominador

M solo tenía la mitad de la probabilidad antes, pero una vez que nos enfocamos en Machos, una vez que condicionamos en esto, recortando todo lo demás, la probabilidad de M debería convertirse en 1. Entonces, necesitamos aumentar la probabilidad de M de 1/2 (lo que era antes) a 1 (lo que es una vez que limitamos la atención a los machos). Dividir por una fracción produce el mismo resultado que invertir y multiplicar por ella. Entonces, las cosas funcionan porque dividir por 50/100 es lo mismo que multiplicar por 100/50, es decir, es lo mismo que multiplicar por 2. Esto asegura que podamos tratar a M como que ahora tiene toda la unidad de probabilidad (una vez que condicionamos en M).

En cuanto al barro, cuando cortamos todo fuera de M también debemos tirar todo el lodo que originalmente estaba fuera de M. Entonces pensamos en M como la nueva área total, y así ahora vemos la cantidad de lodo que contiene como una sola unidad. Otra forma de ver que M debería tener ahora una probabilidad de 1 una vez que nos condicionamos en M es señalar que Pr (M|M) = 1.

En

Pr (A|B) = Pr (A y B)/Pr (B)

cuanto menos probable era B antes de condicionarnos, más tenemos a múltiples Pr (A & B) para inflar la nueva probabilidad de B hasta 1. Si la probabilidad de B era 1/2 dividimos por 1/2, lo que tiene el efecto de multiplicar por 2. Si la probabilidad de B era 1/5 dividimos por 1/5, lo que tiene el efecto de multiplicar por 5. Aquí 1/5 x 5/1 nos devuelve a 1 unidad de probabilidad. En definitiva, la división por el antiguo Pr (B) hace que el nuevo (post condicionalización) Pr (B) = 1.

En general, Pr (A|B) no es igual a Pr (B|A). La probabilidad de que alguien sea varonil dado que juega para los Yankees de Nueva York es de 1. Pero la probabilidad de que alguien sea yanqui dado que es varón es muy pequeña. Veremos en un capítulo posterior que Pr (A|B) = Pr (B|A) por si acaso Pr (A) = Pr (B). Más importante aún, veremos que confundir estas dos probabilidades es responsable de una buena cantidad de malos razonamientos.

La regla general de la conjunción

Al reorganizar los términos en la Regla 7, obtenemos una regla general para las conjunciones (dividir ambos lados de la igualdad en la Regla 7 por Pr (B)).

• Regla 8. (conjunciones): La probabilidad de la conjunción A y B, donde las conjunciones no necesitan ser independientes, es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B dada A.

Pr (A y B) = Pr (A) x Pr (B|A)

Esta regla es más general que la Regla 5. Se aplica a todas las conjunciones, sean sus conjunciones independientes o no. A diferencia de la Regla 7, a menudo utilizaremos la Regla 8 en nuestros cálculos.

Ejemplo: Robas dos cartas de una baraja completa, y no reemplazas la primera carta antes de sacar la segunda. La probabilidad de conseguir un rey en ambos sorteos es la probabilidad de conseguir un rey en el primer sorteo multiplicado por la probabilidad de conseguir un rey en el segundo sorteo, dado que ya tienes un rey en el primero. En símbolos: Pr (K ₁ y K ₂) = Pr (K ₁) x Pr (K ₂ |K ₁).

Ahora que tenemos probabilidades condicionales, podemos definir la independencia con bastante precisión. A y B son independientes por si acaso la verdad (o ocurrencia) de uno no tiene influencia o efecto sobre la ocurrencia del otro.

Independencia: A y B son independientes por si acaso Pr (A) = Pr (A|B). Si B ocurre (o es verdadero) o no, no tiene ningún efecto sobre si A ocurre (o es cierto). Si aprendemos que B es verdadero (o falso), eso no debería hacer nada para cambiar nuestras creencias sobre la probabilidad de A.

La regla 5 nos dice que si A y B son independientes, entonces Pr (A & B) = Pr (A) x Pr (B). Esto es sólo un caso especial de la Regla 8 más general. Funciona porque si A y B son independientes, Pr (B) = Pr (B|A). Entonces, en lugar de escribir Pr (B|A) en el caso especial (conjunciones independientes) abarcado por la Regla 5, podemos arreglárselas con el Pr (B) más simple.

Regla 8. nos dice que Pr (A & B) = Pr (A) x Pr (B|A). Pero sabemos que el orden de las conjunciones en una conjunción no afecta el significado de la conjunción: A & B dice lo mismo que B & A. Así Pr (A & B) = Pr (B & A). Esto significa que Pr (A & B) = Pr (B & A) = Pr (B) x Pr (A|B). El valor para esto será el mismo que el valor que obtenemos cuando usamos la Regla 8, aunque en algunos casos un enfoque será más fácil de calcular y en otros casos el otro lo será.