14.2: Análisis de Problemas de Probabilidad

Debes conocer las reglas si vas a calcular probabilidades.

Resumen de las Reglas para el Cálculo de Probabilidades

1. Eventos que están seguros de ocurrir: Si A es cierto que es cierto, Pr (A) = 1.
2. Eventos que son seguros de no ocurrir: Si A es seguro que es falso, Pr (A) = 0.
3. Negaciones: Pr (~A) = 1- Pr (A).
4. Disyunciones con Desjuntos Incompatibles: Si A y B son incompatibles, Pr (A o B) = Pr (A) + Pr (B).
5. Conjunciones con Conjunciones Independientes: Si A y B son independientes, Pr (A y B) = Pr (A) x Pr (B).
6. Disyunciones: Pr (A o B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (A & B).
7. Definición de Probabilidad Condicional: Pr (A|B) = Pr (A & B) /Pr (B).
8. Conjunciones: Pr (A y B) = Pr (A) x Pr (B|A).

Cómo abordar un problema

La clave es analizar un problema antes de comenzar a anotar las cosas. La primera pregunta que debe hacerse es: ¿Estoy calculando la probabilidad de una negación, una disyunción o una conjunción? La respuesta a esto te dirá qué regla es relevante para el problema; si haces esto bien, estás en camino hacia una solución exitosa. En un problema complicado, es posible que tengas que usar varias de estas reglas en tus cálculos, pero siempre comienza preguntando qué regla aplica primero.

Comience pensando en estos pasos:

1. Si la oración es una negación, utilice la Regla 3.
   • Encuentra la probabilidad de la sentencia que se está negando y restarla de 1.
2. Si se trata de una disyunción
   • ¿Los desjuntos son incompatibles? Si es así, utilice la Regla 4.
   • ¿Los desjuntos son compatibles? En caso afirmativo, utilice la Regla 6.
3. Si es una conjunción
   • ¿Las conjunciones son independientes? En caso afirmativo, utilice la Regla 5.
   • ¿Las conjunciones son dependientes (= no independientes)? En caso afirmativo, utilice la Regla 8.

El diagrama de árbol en la Figura 14.2.1 representa la misma información pictóricamente.

Ejemplos de Análisis de Problemas

Problema A. Supongamos que tienes una baraja estándar de 52 cartas. Sacarás una sola carta de la baraja. ¿Cuál es la probabilidad de dibujar ya sea un as o un gato? Análisis del problema:

1. Quieres saber sobre la probabilidad de dibujar un as o dibujar un jack, así tienes una disyunción. El primer disjunto es, “me sale un as”, y el segundo disjunto es, “me sale un gato”. Podríamos simbolizar esto como (A o J).
2. ¿Los desjuntos son incompatibles? Bueno, si dibujas un as tampoco puedes dibujar un jack (en ese mismo sorteo). Conseguir un as excluye conseguir un jack (y conseguir un jack excluye obtener un as). Entonces, los desjuntos son incompatibles, y usas R4 (la regla de disyunciones con desjuntos incompatibles).

Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama de árbol de análisis de problemas de probabilidad

3. La regla dice agregar las probabilidades de los dos disjuntos: Pr (A o J) = Pr (A) + Pr (J)
4. Hay exactamente cuatro ases de 52 cartas, por lo que Pr (A) (la probabilidad de sacar un as) es 4/52 (lo que se reduce a 1/13). También hay cuatro tomas, por lo que Pr (J) es lo mismo que el de dibujar un as, es decir, 1/13.
5. La regla 4 nos dice que agreguemos estas probabilidades: Pr (A o J) = 1/13 +1/13 (= 2/13).

Problema B. Supongamos que tienes una baraja estándar de 52 cartas. Sacarás una sola carta de la baraja. ¿Cuál es la probabilidad de dibujar ya sea un gato o un corazón? Análisis:

1. Quieres saber sobre dibujar un gato o dibujar un corazón, así que de nuevo tienes una disyunción. El primer disjunto es, “me sale un gato” y el segundo disjunto es, “me sale un corazón”. Simbolizamos esto como (J o H).
2. Dado que tiene una disyunción, la regla relevante será una de las dos Reglas de Disyunción. Cuál es depende de si los desjuntos son incompatibles.
3. ¿Los desjuntos son incompatibles? Bueno, si dibujas un gato, ¿eso excluye dibujar un corazón? No. Podrías dibujar la jota de corazones. Entonces, los disjuntos no son incompatibles, y debes usar la Regla 6 (la regla general de disyunción).
4. Esta regla dice sumar las probabilidades a los dos disjuntos, pero luego “restar la superposición”. En otras palabras, debes restar la probabilidad de que obtengas tanto una jota como un corazón, y esta es solo la probabilidad de obtener el jota de corazones. Entonces tenemos Pr (J o H) = Pr (i) + Pr (H) - Pr (J & H).
5. Hay cuatro tomas de 52 tarjetas, por lo que Pr (J), la probabilidad de sacar un gato es 4/52. Y hay 13 corazones, entonces Pr (H), la probabilidad de dibujar un corazón es 13/52. Por último, solo hay una posibilidad de obtener una jota y un corazón, es decir, la jota de corazones, por lo que Pr (J&H) es 1/52.
6. La Regla General de Disyunción nos dice entonces Pr (J o H) = 4/52 + 13/52 - 1/52 (no nos preocuparemos por calcular realmente tales cosas hasta que bajemos los conceptos básicos e incluso entonces puedes usar una calculadora).

Ejercicios

1. Las posibilidades de que haya dos bombas en un avión son muy pequeñas, así que cuando vuelo, siempre llevo consigo una bomba. —Laurie Anderson. ¿Qué debemos hacer de los consejos de Anderson (dado lo que hemos aprendido hasta ahora)?
2. ¿Cuál es el valor numérico de Pr (A|A)? Explica por qué tu respuesta es correcta.
3. Supongamos que va a voltear una moneda justa. ¿Cuál de las posibles secuencias es/son las más probables?
   1. HHHHTTTT
   2. HTHTHT
   3. HTHTHTH
   4. HTHHTHT
   5. Nadie de estos es más probable que los demás.
4. Supongamos que estás a punto de entregar cuatro cartas desde la parte superior de una baraja estándar. ¿Cuál de las siguientes series de tarjetas (en el orden dado) es la más probable?
   1. As de corazones, rey de diamantes, reina de espadas, jota de corazones
   2. As de corazón, rey de corazones, reina de corazones, jota de corazones
   3. As de corazones, ocho de espadas, jota de diamantes, cuatro de palos
   4. Nadie de estos es más probable que los demás.
5. Si dos frases son incompatibles, entonces:
   1. También deben ser independientes.
   2. La verdad de uno es completamente irrelevante a la verdad del otro.
   3. Tampoco pueden ser independientes.
   4. Ninguna de las anteriores.
6. Tienes una baraja ordinaria de 52 cartas. Usted robará una carta, la colocará sobre la mesa, luego robará otra carta. (Es importante utilizar las reglas en estos cálculos.)
   1. ¿Cuál es la probabilidad de dos reyes?
   2. ¿Cuál es la probabilidad de que una reina en el segundo sorteo le dé un rey en el primero?
   3. ¿Cuál es la probabilidad de un rey en el primer sorteo?
   4. ¿Cuál es la probabilidad del rey de espadas y del rey de corazones (en cualquier orden)?
   5. ¿Cuál es la probabilidad de un rey y una reina?
   6. ¿Cuál es la probabilidad de que el gato de diamantes y una pala (donde no importa el orden en que obtienes los dos)?
   7. ¿Cuál es la probabilidad de no dibujar un cinco en absoluto?
7. Supongamos que estoy planeando qué hacer este próximo fin de semana, y el pronóstico del tiempo es de 40% de probabilidad de lluvia el sábado y 40% de probabilidad de lluvia el domingo (40% de probabilidad = .40 de probabilidad). ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en algún momento u otro durante el fin de semana (supongamos que está lloviendo o no el sábado no hará que sea más o menos probable que llueva el domingo)?
8. ¿Qué es Pr (S|S)? ¿Qué pasa con Pr (~S|~S). Explica y defiende tus respuestas.
9. Tú y tu amigo Wilbur están tomando un examen de opción múltiple (y estás trabajando de forma independiente, y tus respuestas son independientes). Hay exactamente una respuesta correcta para cada pregunta, y tu tarea es seleccionarla entre cinco respuestas posibles, 'a', 'b', 'c', 'd' y 'e'. Se llega a la tercera pregunta y no tienes idea de cuál es la respuesta correcta, y lo mismo sucede con Wilbur. Adivina 'a', y Wilbur adivina 'c'.
   1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ustedes obtenga la respuesta correcta?
   2. Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos haya obtenido la respuesta correcta [la respuesta aquí no es 4/5 x 4/5].
   3. También adivinaste sobre el cuarto problema. ¿Cuál es la probabilidad de que consigas al menos una de tus dos conjeturas es correcta?
10. La mayoría de los accidentes automovilísticos ocurren cerca de casa. ¿Por qué supone que esto es cierto? ¿Cómo podrías explicar lo que implica usando la noción de probabilidades condicionales?