14.4: Ejercicios de Capítulo

Ejercicios de Capítulo

Los ejercicios están incluidos en la mayoría de las secciones. Aquí te presentamos algunos problemas más difíciles, extras para expertos, aunque ahora sabes lo suficiente como para trabajar al menos algunos de los problemas aquí. Las respuestas a algunas de ellas se dan a continuación pero piense en los problemas antes de mirar (necesitará una calculadora bastante buena para obtener los números exactos; si no tiene una, solo resuelva las fórmulas).

1. La probabilidad de que consigas un auto para graduarte es 1/3, y la probabilidad de que consigas una computadora nueva es 1/5, pero ciertamente no obtendrás ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que consigas uno u otro?
2. Tienes un 35% de probabilidad de obtener una A en el Razonamiento Crítico y un 40% de probabilidad de obtener una A en Sociología. ¿Importa si los dos resultados son independientes cuando se quiere calcular la probabilidad de al menos una A? ¿Importa si los dos resultados son independientes cuando se quiere calcular la probabilidad de obtener una A en ambos cursos? ¿Es probable que sean independientes? ¿Por qué?
3. Cinco de las 20 manzanas de la caja están podridas. Si sacas dos al azar, no reemplazarlos a medida que los sacas, ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén podridos?

Los problemas restantes son más difíciles.

4. Ahora resuelve el segundo problema de El Chevalier de Méré. ¿Cuál es la probabilidad de rodar al menos un doble seis en veinticuatro tiradas de un par de dados? Utilizar la misma estrategia que se utilizó anteriormente para resolver su primer problema.
5. Ases y Reyes. Retira todas las cartas excepto los ases y reyes de una baraja. Esto te deja con una baraja de ocho cartas: cuatro ases y cuatro reyes. De esta baraja, repartir dos cartas a un amigo.
   1. Si miran sus cartas y te dicen (con veracidad) que su mano contiene un as, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases?
   2. Si en cambio te dicen (con veracidad) que una de sus cartas es el as de espadas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases? Las probabilidades en los dos casos no son las mismas.
6. Está en la Bolsa. Frente a ti hay dos bolsas opacas. Uno contiene dos billetes de veinte dólares y el otro contiene un billete de veinte dólares y un billete de cinco dólares. Te metes en una de las bolsas y sacas una veintena. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra factura en esa bolsa sea también una veintena?
7. El problema de Monty Hall. Hay tres puertas frente a ti. No hay nada que valga la pena tener detrás de dos de ellos, pero hay una maleta que contiene 50 mil dólares detrás de la tercera. Si eliges la puerta correcta, el dinero es tuyo. Escoja una puerta: 1, 2 o 3. Tú eliges la puerta número 1. Pero antes de que Monty Hall te muestre lo que hay detrás de esa puerta, abre una de las otras dos puertas, escogiendo una que sabe que no tiene nada detrás de ella. Supongamos que abre la puerta número 2. Esto saca a 2 de la carrera, por lo que la única pregunta ahora es sobre la puerta 1 y la puerta 3. Ahora puede reconsiderar su elección anterior: puede quedarse con la puerta 1 o cambiar a la puerta 3.
   1. ¿Cuál es la probabilidad de que el dinero esté detrás de la puerta 1?
   2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dinero esté detrás de la puerta 3?
   3. ¿Tus posibilidades de ganar mejoran si cambias?
8. El problema del cumpleaños. ¿Cuántas personas necesitarían estar en una habitación para que haya una probabilidad de 5 de que dos de ellas tengan un cumpleaños común (nacidos el mismo día del mes, pero no necesariamente del mismo año)? Supongamos que una persona es igual de probable que nazca en un día cualquiera como en otro e ignore los años bisiestos.

Pista: Al igual que en el problema anterior, es más fácil usar la regla para las negaciones al responder a esto.

Contestar

7. El problema de Monty Hall. Trabajaremos la respuesta en un capítulo posterior utilizando las reglas para calcular las probabilidades. Por ahora, aquí hay tres pistas (no mires al tercero hasta que hayas intentado trabajar el problema). Primero, mejoras tus posibilidades al cambiar a la puerta 3. Segundo, piensa en lo que pasaría si repitieras este proceso cien veces. En tercer lugar, dibuje un diagrama que represente todas las cosas que podrían suceder y no la frecuencia con la que se paga el apagado en comparación con el número total de resultados.
8. El problema del cumpleaños. La negación de la afirmación de que al menos dos personas en la habitación comparten un cumpleaños es la afirmación de que ninguna de ellas comparte un cumpleaños. Si podemos calcular este último, podemos restarlo de 1 para obtener el primero.

Ordene a las personas por edad. La persona más joven nació en uno de los 365 días del año. Ahora ve a la siguiente persona. Podrían haber nacido en cualquiera de los 365 días del año, por lo que la probabilidad de que su cumpleaños difiera del de la primera persona es 364/365. Ahora pasa a la siguiente persona. La probabilidad de que su cumpleaños difiera de los del primero y del segundo es 363/365. Para la siguiente persona, la probabilidad relevante es 362/365, y así sucesivamente.

Los cumpleaños son independientes entre sí, por lo que la probabilidad de que las primeras cuatro personas tengan diferentes cumpleaños es 365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365. Aquí hay un patrón que podemos generalizar. La probabilidad de que las primeras N personas tengan diferentes cumpleaños es de 365 x 364 x... x (365 - (N+1)) /365N. Y así, la probabilidad de que al menos dos de N personas tengan un cumpleaños común es uno menos todo esto, es decir, (1 - (365 x 364 x... x (365- (N+1))) /365N. Ahora que tenemos esta fórmula, podemos ver qué valores da para diferentes números de personas (y así para diferentes valores de N). Cuando hay veintidós personas en la habitación N es 22, y la fórmula nos dice que la probabilidad de que al menos dos de ellas tengan un cumpleaños común es de aproximadamente .47. Para veintitrés personas, es un poco más de la mitad (.507). Para treinta y dos personas, la probabilidad de un cumpleaños común supera .75, y para cincuenta personas es .97. Y con cien personas sólo hay alrededor de una posibilidad en tres millones de que ninguna comparta un cumpleaños común.