14.3: Probabilidades y Finales

En muchas situaciones, traducimos las probabilidades en las probabilidades a favor o en contra de un resultado dado. Por ejemplo, la probabilidad de rodar un dos cuando se rueda un dado justo es 1/6, y la probabilidad de no obtener un dos es 5/6. Decimos que las probabilidades de rodar un dos son de 1 a 5 y las probabilidades en su contra son de 5 a 1. Las probabilidades a favor de un dos es la relación entre el número de formas de obtener un dos (una vía) al número de formas de no obtener un dos (cinco vías). Y las probabilidades en contra de rodar un dos son las cinco oportunidades de que algún otro bando se enfrente a la única oportunidad de que un dos surja.

La relación entre probabilidades y probabilidades es simple y directa:

\[Pr(A) = \dfrac{m}{n}\]

si y sólo si las cuotas a favor de A son\(m\) para\(n - m\).

De probabilidades a probabilidades

Si la probabilidad de algo es 1/36 (como es la probabilidad de rodar autos box), entonces las probabilidades a favor de ello en 1 a 35 y las probabilidades en su contra son 35 a 1. Convertimos probabilidades en probabilidades con la siguiente regla: si la probabilidad de un resultado dado es m/n, entonces las probabilidades a favor son m a n -m y las probabilidades en su contra son n - m a m.

De las probabilidades a las probabilidades

Si tu amiga dice que las probabilidades de que OU gane a Texas A&M son 1:5, ¿cuál cree que es la probabilidad de que A&M gane? Obtenemos el denominador para esta probabilidad sumando los dos números en esta relación, por lo que el número en la parte inferior es 6. Tu amigo cree que hay una posibilidad en 6 de que OU gane, lo que se traduce en una probabilidad de 1/6. Y también cree que la probabilidad de que A&M gane es 5/6. Si las probabilidades a favor de S son de m a n, entonces la probabilidad de S es el primer número (m) sobre la suma del primer y segundo números (m + n).

Apuestas Justas

Las apuestas justas se basan en las probabilidades. Si quieres hacer una apuesta justa de que un dos surgirá cuando ruedes un dado justo, debes apostar $1 a que obtendrás un dos y tu oponente debe apostar 5 dólares que no lo hará.Si ambos siempre apuestan estas cantidades, entonces a la larga ambos tenderán a igualar. Los jugadores llaman a tal apuesta una propuesta igualada.

Por el contrario, si apostaras $1 a que tirarías un dos y tu oponente apuesta $6 que no lo harás, entonces a largo plazo saldrás adelante. Y si apuestas $1 a que tirarás un 2 y tu oponente apuesta $4 que no lo harás, entonces a largo plazo perderás.

El juego organizado suele implicar apuestas que no son igualadas. Un casino no podría pagar sus gastos operativos, mucho menos convertir una ganancia, si hacía apuestas igualadas. La casa toma un porcentaje, lo que significa pagar a los ganadores menos de lo que requerirían las cuotas reales. Lo mismo ocurre con las primas de seguros. También es cierto para las loterías estatales, que de hecho ofrecen probabilidades mucho peores que la mayoría de los casinos. Si juegas en tales escenarios el tiempo suficiente, estás prácticamente seguro de perder más de lo que ganas. Por supuesto, si disfrutas lo suficiente del juego, es posible que estés dispuesto a aceptar pérdidas razonables como el precio de llegar a apostar.

Ejemplo: Ruleta

La ruleta es un juego de azar en el que se hace girar una rueda en una dirección y se lanza una pelota alrededor del borde hacia la rueda en la dirección opuesta Una rueda de ruleta tiene muchos compartimentos, y los jugadores apuestan en qué compartimento aterrizará la pelota. En Estados Unidos, las ruedas de ruleta tienen treinta y ocho compartimentos. Están numerados del 1 al 36; también hay un trigésimo séptimo compartimento numerado 0 y un trigésimo octavo numerado 00.

Hay varias apuestas que los jugadores pueden hacer, pero aquí nos centraremos en la más simple, donde un jugador apuesta a que la pelota aterrizará en un número específico (digamos 14), del 1 al 36. Si bien el juego puede ser complejo, la siguiente discusión da los puntos básicos.

Dado que hay treinta y ocho compartimentos en la rueda, la probabilidad de que la pelota aterrice en cualquier número dado, digamos 14, es 1/38; Pr (14) = 1/38. De ahí que las verdaderas probabilidades en contra de rodar un 14 son 37 a 1. Si jugabas el juego una y otra vez, apostando a estas probabilidades, saldrías a la par. Ganarías una vez cada treinta y ocho veces, y el casino (la “casa” o “el banco”) ganaría las otras treinta y siete veces. Pero cuando ganaste, te pagarían 37 dólares, lo que te compensaría exactamente las treinta y siete veces que perdiste $1 (37x $1 = $37). Decimos que su apuesta tiene un valor esperado de $0.0.

Pero claro, la casa no da sus frutos con las verdaderas probabilidades de 37 a 1. En cambio, las cuotas de casa o cuotas de apuestas contra rodar un 14 son 35 a 1 (la casa tiene la ventaja del 0 y 00). Cuando pierdes, esto no hace ninguna diferencia. Pero cuando ganas solo obtienes $36 (los $35 más el $1 original que apuestes). Esto es $2 menos de lo que obtendrías si te pagaran con las verdaderas probabilidades de 1 a 37. Dado que la casa mantiene $2 de cada 38 dólares que se pagarían con las verdaderas probabilidades, su porcentaje es 2/38, o 5.26%. Todas menos una de las apuestas que puedes hacer en la ruleta te cuestan 5.26% a largo plazo (la apuesta restante es aún peor, desde el punto de vista del jugador).

Si juegas solo unas cuantas veces, bien puedes ganar. En efecto, unas pocas personas ganarán a un plazo razonablemente largo. Pero el hecho básico es que su apuesta en 14 tiene un beneficio esperado negativo de -5.26%. Esto significa que a la larga seguramente perderá en la ruleta. Las probabilidades están en tu contra, y no hay sistemas ni estrategias o trucos que puedan cambiar este hecho básico. En pocas palabras, no hay absolutamente ninguna manera de que puedas esperar ganar en este juego. Hay algunas personas altamente capacitadas que se ganan la vida jugando al póquer, al blackjack o apostando a los caballos. Pero nadie puede ganarse la vida jugando juegos de casino como keno, dados o ruleta.

Ejercicios sobre Probabilidades y Probabilidades

Calcular las probabilidades y probabilidades en cada uno de los siguientes casos.

1. ¿Cuáles son las probabilidades de sacar a un rey de espadas de una baraja llena de naipes?
2. ¿Cuáles son las probabilidades de sacar a un rey de una baraja completa?
3. ¿Cuáles son las probabilidades de sacar una carta facial de una baraja completa?
4. ¿Cuáles son las probabilidades de robar a un rey si ya has sacado dos cartas (una un rey, la otra una seis)?
5. Tienes una moneda doblada. Las probabilidades de voltear una cabeza son de 3 a 2. ¿Cuál es la probabilidad de lanzar una cola?
6. En Europa, una rueda de ruleta sólo tiene treinta y siete compartimentos, uno al 36, más 0. Pagan con las mismas probabilidades que los casinos estadounidenses. ¿Cómo cambiaría esto las probabilidades y las probabilidades?
7. Si la probabilidad de que Duke gane el campeonato del torneo de basquetbol de la NCAA es de 0.166 (= 1/6), ¿cuáles son las probabilidades de que ganen? ¿Cuáles son las probabilidades de que ganen? ¿Cuáles son las apuestas justas a favor y en contra de su victoria? Defiende tus respuestas.

Problemas de muestra con respuestas

En cada caso, explique qué reglas son relevantes para el problema. Tu análisis del problema es más importante que el número exacto que se te ocurra.

1. Vas a rodar un solo dado. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un dos o un número impar?
   1. Se le pregunta sobre la probabilidad de una disyunción; ¿Qué es Pr (T u O)?
   2. ¿Son incompatibles los dos desjuntos?
   3. Sí. Entonces, podemos usar la regla de disyunción simple (R4).
   4. Dice que Pr (T u O) = Pr (T) + Pr (O).
   5. Y Pr (T) + Pr (O) = 1/6 + 3/6 = 4/6 (= 2/3).
2. Vas a sacar una sola carta de una baraja completa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una pala o un tres?
   1. Se le pregunta sobre la probabilidad de una disyunción; ¿Qué es Pr (S o T)?
   2. ¿Son incompatibles los dos desjuntos?
   3. No. Se superponen debido a las tres de espadas.
   4. Entonces debemos usar la regla de disyunción más compleja (R6), en la que restamos el solapamiento.
   5. Dice que Pr (S o T) = Pr (S) + Pr (T) - Pr (T & S).
   6. Pr (T&S) es solo la probabilidad de dibujar el tres de espadas, que es 1/52.
   7. Entonces Pr (S o T) = Pr (S) + Pr (T) - Pr (T & S) = (13/52 + 4/52) - 1/52.
3. Vas a robar dos cartas de una baraja completa sin reemplazar la primera carta. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir exactamente un rey y exactamente una reina (la orden no importa)?
   1. Se le pregunta sobre Pr (K & Q), donde el orden no importa.
   2. Hay dos formas diferentes para que esto ocurra:
      1. Rey en primer sorteo y reina en segundo: (K ₁ y Q ₂)
      2. Reina en primer sorteo y rey en segundo: (Q ₁ y K ₂)
   3. Entonces debemos calcular la probabilidad de una disyunción: ¿Qué es Pr [(K ₁ & Q ₂) o (Q ₁ & K ₂)]?
   4. Los dos disjuntos son incompatibles, por lo que utilizamos la regla de disyunción simple (R4).
   5. Pero cada disjunto es en sí mismo una conjunción, y las conjunciones de cada conjunción no son independientes.
   6. El primer disjunto es: Pr (K ₁ & Q ₂). La regla general (R8) para las conjunciones nos dice que Pr (K ₁ & Q ₂) = Pr (K ₁) x Pr (Q ₂ |K ₁), que es 4/52 x 4/51.
   7. El segundo disjunto es: Pr (Q ₁ & K ₂). Funciona de la misma manera: Pr (Q ₁ & K ₂) = Pr (Q ₁) x Pr (K ₂ |Q ₁), que también es 4/52 x 4/51.
   8. Ahora agregue las probabilidades para cada disjunto: (4/52 x 4/51) + (4/52 x 4/51).

Problemas más complejos

En el siguiente módulo, veremos una serie de aplicaciones de probabilidad de la vida real. Concluimos este módulo con varios problemas que son más complejos que los que hemos tratado hasta ahora.

La teoría de la probabilidad se formalizó en la década de 1650. El Chevalier de Méré era un rico jugador parisino. Había ideado un juego de dados que le hacía ganar dinero. Apostaría incluso dinero (apostando probabilidades de 1:1) a que podría rodar al menos uno seis en cuatro tiros de un dado. Eventualmente la gente se puso sabia en este juego y dejó de jugarlo, por lo que ideó un nuevo juego en el que apostó incluso dinero a que podría rodar al menos un doble seis (un seis en cada dado) en veinte cuatros rollos de un par de dados. Pero con el tiempo perdió dinero con esta apuesta.

Por último, le preguntó a su amigo, el filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662), por qué era así. Pascal (y Pierre de Fermat, con quien correspondía) elaboraron la teoría de la probabilidad y la utilizaron para explicar por qué el primer juego fue rentable mientras que el segundo no lo fue. Veamos cómo resolver el primer problema (el segundo se deja como ejercicio).

• ¿Cuál es la probabilidad de rodar al menos un seis en cuatro tiros de un dado?

Rodar al menos un seis significa rodar un seis en el primer rollo, o el segundo, o el tercero, o el cuarto. Pero es difícil trabajar el problema de esta manera porque hay que restar todas las superposiciones relevantes.

Es más fácil acercarse a esto por medio de su negación. La negación de la declaración de que ruedas al menos un seis es la declaración de que no ruedas ningún seis. Esta negación equivale a una conjunción: no haces rodar un seis en el primer tiro y no tiras un seis en el segundo tiro y no haces rodar un seis en el tercer lanzamiento y no haces rodar un seis en el cuarto lanzamiento. Esta conjunción tiene cuatro conjunciones, pero eso no cambia realmente nada que afecte las probabilidades. Cada conjunción dice que se obtiene algo que no sea un seis, y así cada uno tiene una probabilidad de 5/6.

Además, cada conjunción es independiente de las otras tres (el dado no recuerda resultados anteriores). Entonces, simplemente multiplicamos las probabilidades de las cuatro conjunciones para obtener la probabilidad de que la conjunción en sí sea verdadera: la probabilidad de que no obtengas un seis en ninguno de los cuatro rollos es 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 (= (5/6) 4), que resulta ser 625/1296.

Esta es la probabilidad de que no consigas seis. Entonces la probabilidad sobre la que originalmente preguntamos (obtener al menos un seis) es solo uno menos esto: la probabilidad de obtener al menos un seis es 1 - (625/1296) (que es aproximadamente 671/1296). Esto es sólo un poco más de 1/2. Esto significa que las probabilidades de conseguir al menos un seis son 671 a 625, así que a la larga la casa saldrá adelante, y perderás si sigues jugando su juego