32.3: Manipulación de la negación

Como se mencionó anteriormente, la lógica formal es especialmente útil cuando se trata de reclamos muy complicados. No hay mucho que podamos hacer para gestionar lo compleja que puede llegar a ser la oración simbolizada, pero una cosa que podemos hacer es manipular oraciones que contengan negaciones para hacerlas un poco más manejables. En esta sección, veremos algunas reglas que ayudarán a simplificar las reclamaciones. Será más fácil trabajar con las afirmaciones simplificadas en el siguiente capítulo, cuando empecemos a usar tablas para probar nuestras oraciones de varias maneras.

La forma más fácil e intuitiva de simplificar un reclamo es reducir el número de negaciones. En ocasiones, te encontrarás con una doble negación. Como cabría esperar, podemos tomar un doble negativo y cancelarlos. Entonces, ~~A se puede convertir en A. Los '~'s pueden eliminarse completamente cada vez que haya un número par de '~” s uno al lado del otro. Entonces, ~~~~~A se puede convertir en A. Los números impares de '~” s pueden reducirse a solo uno. Entonces, ~~~A se convierte en ~A y ~~~~A también se convierte en A. Este proceso se conoce como eliminación de negación. A menudo no te encontrarás con un montón de negaciones, pero puede suceder, y cuando lo hace, es útil poder deshacerte de ellas.

La eliminación no es la única manera de manipular los símbolos de negación. También podemos moverlos entre paréntesis. Cuando mueve un símbolo de negación dentro de un conjunto de paréntesis para las declaraciones '&' y 'v', niega los términos dentro del paréntesis y cambia el operador lógico. Entonces:

• ~ (A y B) se convierte en ~A v ~ B

Del mismo modo:

• ~ (A v B) se convierte en ~A y ~B

También puede mover las negaciones fuera de los paréntesis a través de un proceso similar. Para eliminar las negaciones de los paréntesis, elimine un símbolo de negación de cada término y cambie el operador lógico. Entonces:

• ~A v ~B puede retroceder a ~ (A y B) y
• ~A y ~B pueden moverse de nuevo a ~ (A v B)

Si esto nos parece extraño, en el siguiente capítulo aprenderemos a probar las afirmaciones para ver si son lógicamente equivalentes usando tablas de verdad. En ese momento, podrás usar tablas para probar que estas afirmaciones están diciendo lo mismo (equivalencia lógica), pero por ahora vamos a pensarlo bien. Cuando alguien dice:

• “No me gusta la comida tailandesa o india”.

en realidad están diciendo:

• “No me gusta la comida tailandesa” y “No me gusta la comida india”.

Así mismo, cuando alguien dice:

• “No voy a salir con Amy y Carl”.

Quieren decir que no van a salir con Amy ni con Carl (pero a lo mejor van a salir con uno de ellos). Las cosas se complican más a la hora de mover las negaciones por condicionales y bicondicionales. Para condicionales, puede mover una negación dentro de un conjunto de paréntesis negando el primer término y cambiando el operador a un '&'. Entonces:

• ~ (P → Q) se convierte en P & ~Q

Pensando en el Capítulo 3, hay que recordar que un condicional dice que si el antecedente es verdadero entonces el consecuente es verdadero. Si alguien está negando un condicional, entonces debe estar diciéndonos que cuando el antecedente es verdadero el condicional es falso, así: P & ~Q. también puedes eliminar las negaciones de la manera inversa. Entonces:

• P & ~Q puede llegar a ser ~ (P→Q)

Por ahora, está bien que solo aceptes que esta regla funciona, y podrás usar la prueba de equivalencia lógica en el siguiente capítulo para demostrarlo.

Los bicondicionales son aún más complicados. Un bicondicional negada:

• ~ (P→ Q), se convierte en (~P y Q) v (P & ~Q)

Recuerda que un bicondicional es realmente decir que estas cosas suceden juntas y nunca solas. Entonces, si se está negando lo bicondicional, significa que P o Q están sucediendo solos. Nuevamente, esto se puede revertir. Entonces:

• (~P & Q) v (P & ~Q) se puede simplificar a ~ (P ← → Q)

Con toda honestidad, la regla de manipulación bicondicional no aparece con tanta frecuencia, pero estarás agradecido cuando puedas convertir 5 operadores lógicos, dos conjuntos de variables y dos conjuntos de paréntesis en dos variables, dos operadores y un conjunto de paréntesis. Nuevamente, si la razón no tiene sentido ahora eso está bien. En el siguiente capítulo aprenderás a probarlo.

Ejercicios en Manipulación de Negación

Simplifica las siguientes oraciones usando la manipulación de negación.

1. ~~A v ~~B
2. ~ (~A v ~B)
3. ~ (~A y ~B)
4. ~ (~~A v B)
5. ~ (~A y B)
6. ~~~ [A → (~~B v A)]
7. (~P y Q) v (P y ~Q)
8. ~A v (~B v ~C)
9. ~A → (~B ← →~C)
10. (A v B) y ~C
11. ~A y [(~B v C) y D]
12. ~ [(~P y Q) v (P y ~Q)]
13. ~~~A → (~~~B y ~C)
14. ~ A & [~B & (~C & D)]
15. [(A v ~~~B) v C] y ~~D
16. ~A v (~~B y ~~C)
17. A → (B → C)
18. B ← → ~~C
19. (~A v B)
20. ~~~ [~~~~A → (~~~B ← →~~~~~~C)

Respuestas a ejercicios seleccionados

6. ~~~ [A → (~~B v A)]

El primer paso es siempre eliminar cualquier par de negaciones (recuerde que los números impares de negaciones adyacentes entre sí siempre se pueden reducir a uno, y los números pares se pueden reducir a cero). Esta frase no reduce más, por lo que la respuesta final es: ~ [A → (B v A)].

10. (A v B) y ~C

Esta ya es tan simple como puede ser.

13. ~~~A → (~~~B y ~C)

Primero, elimina cualquier par de negaciones para obtener: ~A → (~B & ~C). Entonces, saca la negación de los paréntesis: ~A → ~ (B v C). No hay regla sobre qué hacer cuando un condicional se ve así, entonces ya terminaste.

14. ~ A & [~B & (~C & D)]

No hay pares de negaciones, así que podemos saltarnos ese paso. Al mirar el problema puede que no quede claro, pero podemos simplificar las cosas. La clave es usar la regla para sacar una negación de una 'y'. Esto nos consigue: ~ A & [~B &~ (C v ~D)]. Observe que como D no fue negada antes, tenemos que agregarle un ~. Ahora, podemos hacer la parte entre corchetes: ~ A & ~ [B v (C v ~D)]. Podemos llevarlo un paso más allá agregando otro conjunto de () alrededor de lo que tenemos y tirando el ~ out: ~ (A v [B v (C v ~D)]). No queda nada que sacar, así que ya terminamos.

16. ~A v (~~B y ~~C)

Lo primero que hay que hacer es remover los pares de negaciones: ~A v (B & C). Con eso hecho, la oración es lo más simple que puede ser. Podrías cambiar la 'v' a una '&' agregando () y sacando la negación, pero eso la haría más complicada.

17. A → (B → C)

No tenemos una regla para tratar este caso así que no hay nada que hacer.