33.1: Tablas de la Verdad

El objetivo de aprender a simbolizar oraciones en el último capítulo es que ahora somos capaces de utilizarlas en tablas de verdad. Las tablas de verdad son una herramienta lógica formal que nos permite determinar bajo qué condiciones una declaración o grupo de afirmaciones son verdaderas o falsas o, en otras palabras, el valor de verdad de la declaración. 'verdad-valor' es el término que utilizamos para referirnos a si una declaración es verdadera, falsa o indeterminante. Podremos utilizar estas tablas para determinar:

1. Si una declaración es una tautología, una contradicción, o una contingencia.
2. Si un par de declaraciones son consistentes o lógicamente equivalentes.
3. Si un argumento es válido o inválido.

Esta será una cantidad justa para tomar en. Por ahora, centrémonos en las mesas y en cómo hacerlas.

Primeros pasos

Es útil pensar en una tabla de verdad como un tipo de gráfico de hoja de cálculo. En un lado del gráfico habrá columnas que representan las posibles combinaciones de verdad-valor para los términos de la declaración, y a la derecha usaremos estos valores de verdad para “resolver” la tabla obteniendo información sobre la oración. El lado izquierdo se verá más o menos igual para cada tabla de la verdad, por lo que deberías poder acostumbrarte a instalarlos con bastante rapidez. El número de columnas y filas que tiene el lado izquierdo de la tabla depende del número de variables (una por cada oración simple simbolizada en la sentencia que estamos considerando. Por cada oración simple en el reclamo, habrá una columna para esa variable y el número de filas comenzará en 2 y el doble por cada oración simple adicional. Entonces, para una reclamación 'P' tendríamos una columna y dos filas. Para 'P & Q', tendríamos dos columnas y 4 filas, para '(P & Q) & R' tendríamos tres columnas y 8 filas, etc. Técnicamente hablando, no hay límite a lo grande que puede ser una tabla, así que podrías hacer una para cualquier número de oraciones simples. Sin embargo, se ponen bastante difíciles de manejar bastante rápido, así que nunca te pediremos que trabajes una para más de tres variables. En este punto, ayudará a mirar algunos ejemplos.

Ahora que tenemos las tablas en blanco, necesitamos rellenarlas con las combinaciones de valores de verdad. Para ello, ingresaremos T's y F's en las casillas. Como cabría esperar, 'T' significa 'verdadero' y 'F' significa 'falso'. La idea es que estas T y F's nos muestren todas las combinaciones posibles en las que nuestra oración simple puede ser verdadera o falsa relativa entre sí. Volvamos a los ejemplos. Cuando sólo hay una frase simple, sólo hay dos opciones posibles: P puede ser verdadera o falsa. Entonces, la mesa se ve así.

Si hay dos variables, habrá el doble de posibilidades, porque ambas pueden ser verdaderas, la primera puede ser falsa y la segunda verdadera, la primera puede ser verdadera y la segunda falsa, y ambas pueden ser falsas. Esto nos da una mesa que se ve así:

Las cosas se complican más para nuestro conjunto de tres variables. En lugar de escribir todas las opciones, solo podemos mirar la tabla a continuación. Observe que cada fila tiene una combinación diferente de valores de verdad para cada letra, comenzando por que todos sean verdaderos y terminando con que todos sean falsos.

Solo como recordatorio, siempre puedes construir una tabla con oraciones más simples, pero cada vez estarás duplicando el número de filas.

El más observador de ustedes probablemente habrá notado un patrón en cómo se configuraron estos tres ejemplos. La columna más alejada a la derecha es T a mitad de camino hacia abajo y luego F es el resto del camino hacia abajo. La columna más alejada a la izquierda alterna T y F, y la columna media alterna por dos. Este siempre será el caso, y lo mejor de esto es que nos ayuda a poblar los valores de verdad en el lado izquierdo de la mesa muy rápidamente. No hay que preocuparse por si hemos cubierto todas las permutaciones. Si alternamos así, tendremos todas las opciones sin repeticiones. (Si nos encontráramos haciendo una tabla para 4 frases simples, entonces simplemente agregaríamos otra fila al interior; la tabla sería el doble de larga, así que tendríamos 8 T's y luego 8 F's).

Las Reglas

El lado derecho de una mesa de verdad es donde realmente se hace el trabajo. En el lado derecho, utilizamos los valores que ingresamos en el lado izquierdo y un puñado de reglas para determinar los valores de verdad de oraciones complejas. Cada uno de los conectores lógicos que usamos para simbolizar oraciones en el último capítulo (&, v, →, ← →, ~) tienen un gráfico correspondiente que nos dice cuál debe ser el valor de verdad para una fila dada en el lado derecho. Veamos los gráficos uno por uno, comenzando con la función and (&).

Para que 'P & Q' sea cierto, tanto 'P' como 'Q' necesitan ser verdaderas. Esto debería ser obvio, dada la forma en que 'y' funciona en nuestra gramática tradicional. También debería ser obvio que ninguna otra combinación de valores de verdad hará que 'P & Q' sea verdadero, porque ya sea 'P' o 'Q' serán falsas en cualquier otra línea de la tabla, y no pueden ser ambas verdaderas si una de ellas es falsa. Esto es lo que nos dice la tabla anterior. Cuando queremos conocer el valor de verdad para el '&', miramos a las columnas del lado izquierdo de la tabla para las variables a cada lado del símbolo '&'. Bajando por cada fila, miramos para ver si ambas son ciertas. Si lo son, ponemos un “T”, y si incluso uno de ellos es falso, ponemos una 'F'.

La función 'o' (v) es un poco más complicada. Esto se debe a que 'o' es una palabra complicada en inglés. A veces usamos 'o' para significar 'solo una de dos opciones', y a veces nos referimos a 'cualquiera o ambos'. Al primero lo llamamos un 'o 'exclusivo, y el segundo es un' o 'inclusivo. Lo importante a tener en cuenta es que cuando usamos el operador lógico 'v', siempre nos referimos al inclusivo 'o'. Entonces, las condiciones de 'v' se cumplen si una o ambas de las variables son verdaderas. Esto quiere decir que la verdad de 'P' es suficiente para hacer que 'P v Q' sea cierto, como lo es la verdad de 'Q', y la verdad de 'P' y 'Q'. 'P v Q' se representa en la siguiente tabla.

Este gráfico debería verse como esperabas — la única línea de la tabla donde 'P v Q' es falsa es la línea donde ni 'P' ni 'Q' son verdaderas.

Los condicionales (→) complican un poco más las cosas. Hablamos largamente de condicionales en el Capítulo 3. Como recordatorio, un condicional dice que si la primera afirmación es verdadera, entonces la segunda también lo es. Pensando en lo que esto significa a la inversa, la única forma en que un condicional sería falso es si la primera afirmación es verdadera, y la segunda falsa. Si eso tiene sentido para ti, entonces esta mesa también debería. Si no es así, ojalá la mesa ayude.

Al mirar la primera línea de la tabla, debería ser obvio que 'P' y 'Q' siendo verdad hace que 'P → Q' sea verdadera (si la 'P' es verdadera, y lo es, entonces 'Q' será verdadera, y lo es). Ahora, mira la segunda línea. Está diciendo: 'P' no es verdad, y 'Q' lo es. El condicional dice que si 'P' es verdad, entonces 'Q' será verdad, pero no dice nada acerca de que 'P' no sea verdad. Entonces, el condicional sigue siendo cierto. Es la tercera línea donde vemos que el condicional se muestra como falso. El condicional requiere que si 'P' es verdadera, entonces 'Q' también lo es, y ese no es el caso con este emparejamiento verdad-valor. La última fila es cierta por la misma razón que la segunda línea. Al condicional sólo le importan los casos en los que 'P' es verdadera.

A continuación, veremos lo bicondicional (← →). Esencial para entender la tabla bicondicional es comprender que la segunda afirmación sólo es verdadera cuando la primera también lo es. Ya que la segunda afirmación sólo es cierta cuando la primera afirmación es, cuando la primera no es cierta, la segunda tampoco puede ser cierta. Pensando en esto en términos de los conceptos del Capítulo 3, un bicondicional ocurre cuando el antecedente y consecuente de un condicional son conjuntamente necesarios y suficientes el uno para el otro. Aquí está la tabla:

La tabla final es la negación (~). La negación solo significa cuando la proposición que sigue a la negación es falsa, la negación es verdadera, y cuando la proposición que sigue a la negación es verdadera, la negación es falsa. Las negaciones son el conector más fácil de tratar porque todo lo que tienes que hacer es tomar lo contrario: girar T a F y F a T. Aquí está la tabla:

Ahora tienes todas las herramientas básicas para hacer tablas de la verdad. Estas herramientas se pueden utilizar para hacer tablas para cualquier oración compleja, utilizando cualquier número de conectores lógicos.

Completando la Tabla

Con estas reglas implementadas, ahora podemos usarlas para resolver algunas mesas. Empecemos con la frase compleja:

~ (P v Q)

El primer paso es configurar el lado izquierdo de la mesa. Con dos variables, eso significará 4 filas.

A continuación configuramos el lado derecho. Estamos resolviendo para ~ (P v Q), así que eso irá en la parte superior de la columna derecha.

A continuación, necesitamos determinar los valores de verdad para la oración compleja. Podemos ver que se están utilizando dos operadores lógicos —' ~ 'y' v ', así que sabemos que necesitamos referirnos a las tablas que nos dirigen sobre cómo usar esos operadores. La tabla '~' nos dice que necesitamos tomar lo contrario de lo que sigue al símbolo '~'. Pero antes de que podamos hacer eso, necesitamos conocer el valor de verdad para (P v Q). Para averiguarlo, usamos la regla de la 'v'. Como podemos ver en la tabla 'v', P v Q es cierto cada vez que P o Q es cierto. Dándonos:

Por último, tomamos lo contrario de esos valores de verdad (aplicando la regla de negación) y obtenemos:

Pensando a través de lo que significa ~ (P v Q), que ni P ni Q son ciertos, esta tabla debería tener sentido. La única línea que se marca como verdadera es la última (donde P y Q son ambas falsas).

Para mesas más complicadas, ayuda tener algo de papel de desecho a mano. Considere [~ (P v ~Q)] & (Q → P)]. En estas oraciones complejas, al igual que en las matemáticas, trabajamos desde dentro de los paréntesis hacia fuera. Vamos a verlo paso a paso. Sabemos que 'P v ~Q' es cierto en cada línea donde 'P' es verdad. Entonces, ponemos una 'T' en las filas 1 y 3. También sabemos que es cierto en cada línea que 'Q' es falsa. Entonces, ponemos una 'T' en la fila 4 (y ya hay una en la línea 3). La única fila que queda es la segunda, y esa obtiene una 'F'.

Ahora aplicamos la regla de negación y tomamos lo contrario de eso para conseguir:

A continuación, hacemos el segundo lado de la conjunción. Usando la regla condicional, sabemos si 'Q' es verdadera, entonces 'P' debe ser verdadera. Busca la línea donde este no es el caso (línea 2). Esta línea es falsa, y todas las demás son verdaderas.

Todo lo que queda ahora es aplicar la regla de conjunción e identificar las líneas donde tanto [~ (P v ~Q)] como (Q → P) son verdaderas. El cuadro muestra que no hay línea donde este sea el caso, por lo que todos obtienen una 'F'.

Y así es como haces tablas de la verdad. Las oraciones complejas para las que estamos resolviendo pueden volverse más complejas ya sea involucrando más operadores lógicos o más variables, pero las resolveremos haciendo tablas como acabamos de hacer en los dos ejemplos anteriores. Ten en cuenta que también puedes usar los trucos que aprendiste la semana pasada para reducir la negación para hacer la mesa más simple. Entonces, si tienes que hacer una tabla para ~ (~P v ~Q), primero puedes sacar la negación, convirtiéndola en: ~~ (P & Q), y luego eliminando la negación, convirtiéndola en: P & Q.

Algunos de ustedes probablemente se sientan bastante seguros, y otros probablemente se sientan un poco incómodos. Como mencionamos al inicio de esta sección, al igual que con las matemáticas, la única manera real de sentirse cómodo y de asegurarse de que sabe lo que está haciendo es trabajar a través de ejemplos. En la siguiente sección se le pedirá construir tablas para algunas oraciones complejas. Si te tomas tu tiempo y lo piensas paso a paso, empezará a hacer click, aunque te sientas perdido. El apéndice para esta sección también tiene todas las reglas de antes en una página. Tal vez quieras tenerlo abierto mientras trabajas a través de las mesas.

Ejercicios

Construir una tabla de verdad para las siguientes oraciones complejas.

1. ~ (~P y Q)
2. P ← → (P v Q)
3. P v (Q v R)
4. P & (~P → Q)
5. P ← → (Q ← → ~P)
6. Q v ~P
7. (P & ~Q) & R
8. P → ~Q
9. (P & ~Q) v P
10. Q v (P ← → ~P)
11. ~Q ← → (P & ~Q)
12. P → (Q v ~R)
13. (P v R) ← → (P ← →R)
14. ~ (~Q v P) y Q
15. R y [(R → P) → Q]
16. ~P v [(~Q → P) v ~ (P → ~Q)]
17. [(P v ~P) v (Q v ~Q)] v ([(R v ~ R) v (P & ~P)] v [(Q & ~Q) v (R & ~R)])
18. (~P v ~R) → [~Q & (~P → ~R)]
19. ~ [(P v ~P) v (Q v ~Q)]
20. (~~ [(P —? ~Q) y (P v R)]) ← → [(~R v R) v (P & Q)]

Respuestas a ejercicios seleccionados

1. ~ (~P y Q)

Comenzamos por usar las reglas de manipulación de negación del último capítulo para simplificar esto. ~ (~P & Q) es lo mismo que P v ~Q, pero hay menos operadores lógicos con los que lidiar. La oración tiene dos variables, por lo que la tabla tendrá cuatro líneas de largo. Los valores para P vienen del lado izquierdo de la tabla, así que lo único que tenemos que hacer es copiarlos hacia abajo. Para ~Q, tomamos el opuesto de Q en el lado izquierdo de la tabla.

Ahora, usamos esos nuevos valores y la regla 'o' para completar la tabla. La regla 'o' dice que ponemos una T en la casilla en cualquier momento ya sea la pretensión a la izquierda de la 'v' o la de la derecha de la 'v' es verdadera, y ponemos una F cuando ambas son falsas. Entonces, las líneas 1, 3 y 4 obtienen T y la línea 2 obtiene una F.

Ahora ya terminamos.

2. P ← → (P v Q)

No hay manera de simplificar esta frase, así que sólo empezamos por hacer una mesa. Nuevamente, solo hay 2 letras (aunque una aparece dos veces), por lo que la tabla tiene 4 líneas de largo. El primer paso es poner los valores de verdad para P y Q debajo de las letras de la derecha. Nuevamente, estos valores apenas vienen de la izquierda de la tabla.

Ahora podemos empezar a resolver la mesa. Tenemos que trabajar desde dentro de paréntesis hacia fuera, al igual que en álgebra, entonces usaremos la regla 'o', al igual que en el problema 1. Las tres primeras líneas serán T, y la última será F.

Ahora resolvemos para el ← →, el último paso. La regla para el ← → dice que cuando el lado izquierdo y derecho del símbolo son verdaderos entonces pones una T. También dice que siempre que el lado izquierdo y derecho del símbolo sean falsos pones una T y en todos los demás casos pones una F. Entonces, las líneas 1, 3 y 4 son todas T y la línea 2 es F.

3. P v (Q v R)

Al igual que con la pregunta 2, esta frase no puede simplificarse. Entonces, haremos una tabla para la oración tal como está. Esta vez hay tres variables, por lo que la tabla tendrá 8 líneas de largo. Como siempre, el primer paso es poner los valores de verdad para todas las letras de la derecha.

Ahora trabajamos desde los paréntesis hacia fuera. Entonces, usando la regla 'o', buscamos cualquier línea donde la Q sea falsa y la R sea falsa, ya que esta es la única línea donde ponemos una F. En cada otra línea, ponemos una T.

Ahora volvemos a usar la regla 'o', usando los valores para P y los que acabamos de calcular a partir de los paréntesis. Nuevamente, cada línea obtiene una T excepto cuando ambos lados de la 'v' son falsos.

Ahora ya terminamos.

Con esos ejemplos en nuestro haber, pasemos a aprender a usar realmente las mesas.