33.2: Tautología, Contradicción y Contingencias

Cuando buscamos evaluar un solo reclamo, muchas veces puede ser útil saber si se trata de una tautología, una contradicción o una contingencia.

Las tautologías son afirmaciones que siempre son ciertas. Los siguientes son ejemplos de tautologías:

• O va a llover mañana, o no va a
• Es lo que es.
• No hay nada que puedas hacer que no se pueda hacer.

Las contradicciones son declaraciones que siempre son falsas. Los siguientes son ejemplos de contradicciones:

• Está lloviendo ahora mismo, y no está lloviendo en este momento.
• El vaso está lleno y vacío.
• El triángulo es un círculo.

Las contingencias, a menudo llamadas declaraciones contingentes, son ciertas en algunos casos y no ciertas en otros. Por ejemplo:

• Si vamos a la tienda, entonces compraremos algunas manzanas.
• Si una zona de alta presión se encuentra con una zona de baja presión, hay un tornado.
• Si tienes un gato, no tendrás ratones.

Con toda honestidad, no solemos necesitar ayuda para determinar si una oración es una tautología, contradicción o contingencia. A menudo decimos que las tautologías son triviales, y las contradicciones son obvias. Ciertamente, esto es cierto en los ejemplos que aquí se dan. Dicho esto, a veces las reclamaciones serán muy complejas, y puede ser menos obvio en qué categoría caen. Aquí es donde las mesas nos pueden ayudar. También es el caso de que estas son las cosas más fáciles que podemos probar para usar tablas, por lo que es un buen lugar para comenzar, aunque en última instancia, no usamos la prueba muy a menudo.

Dado que las tautologías son siempre verdaderas, la forma en que las probamos es hacer una tabla de verdad para la sentencia y luego verificar cada fila de la misma para ver si hay alguna Fs. Si los hay, entonces el enunciado no es una tautología. En otras palabras, todas las Ts significan que se trata de una tautología. 'P v ~P' es una tautología, como muestra esta tabla de verdad:

'P v Q' no es una tautología, como muestra la siguiente tabla de verdad:

Observe que en la fila cuatro de la tabla, el reclamo es falso. Incluso una F en el lado derecho significará que el reclamo no es una tautología (ya que hay al menos un caso en el que no será cierto).

Las pruebas de contradicción funcionan exactamente opuestas a las pruebas de tautología. Para que una declaración sea una contradicción, tiene que ser siempre falsa, por lo que la tabla tiene que mostrar todas las 'F's del lado derecho. Entonces, si hay alguna 'T en la tabla, entonces la afirmación no es una contradicción. 'P & ~P' es una contradicción, como muestra la siguiente tabla:

'P v Q' no es una contradicción, como muestra la siguiente tabla:

Observe en las tres primeras filas de la tabla el reclamo es cierto, por lo que no puede ser una contradicción.

Una declaración contingente tendrá una tabla de verdad con filas tanto verdaderas como falsas. Como se vio anteriormente, 'P v Q' es una declaración contingente — hay instancias en las que es verdadera (fila 1, 2 y 3), y una instancia donde es falsa (fila 4).

Ejercicios

Construir tablas de verdad para probar las siguientes oraciones para tautología, contradicción y contingencia.

1. P → Q
2. (P v ~P) y (Q y ~Q)
3. P ← → Q
4. ~ (P y ~P)
5. ~ (P v ~P)
6. ~ (P v P)
7. (P y ~P) v (Q y ~Q)
8. ~ (P v ~~Q) y (P y ~Q)
9. (P ← → Q) v (Q ← → P)
10. ~ [(P → Q) → R]
11. [P → (Q → R)] y (P → R)
12. (P & Q) → (P → Q)
13. ~P → P
14. ~P → (Q v P)
15. ~P y ~ (~P v ~Q)
16. P v (Q → P)
17. (P ← → Q) y [(~P v ~Q) y P]
18. (P ← → Q) y (P → Q)
19. [P → (Q → R)] y (R → P)
20. (P ← → Q) v ~ [(~P & Q) v (P & ~Q)

Respuestas Seleccionadas

2. (P v ~P) y (Q y ~Q)

Contradicción. Como puede ver en la tabla de abajo todas las filas son falsas.

7. (P y ~P) v (Q y ~Q)

Contradicción. Como puede ver en la tabla de abajo todas las filas son falsas.

16. P v (Q → P)

Contingente. Como puede ver en la siguiente tabla hay una mezcla de filas verdaderas y falsas.