1.6: Derivaciones condicionales
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6. Derivaciones condicionales
6.1 Un argumento de Hobbes
En su gran obra, Leviatán, el filósofo Thomas Hobbes (1588-1679) da un argumento importante a favor del gobierno. Hobbes comienza por afirmar que sin un poder común, nuestra condición es realmente muy pobre. Llama a este estado sin gobierno, “el estado de la naturaleza”, y reclama
Con esto se manifiesta que durante el tiempo los hombres viven sin un poder común para mantenerlos a todos asombrados, están en esa condición que se llama guerra; y tal guerra como es de todo hombre contra cada hombre... En tal condición no hay lugar para la industria, porque el fruto de la misma es incierto: y en consecuencia no hay cultura de la tierra; ninguna navegación, ni uso de las mercancías que puedan ser importadas por mar; ningún edificio meroso; ningún instrumento de mover y quitar cosas que requieran mucha fuerza; ningún conocimiento de la faz de la tierra; ninguna cuenta del tiempo; ni artes; ni letras; ninguna sociedad; y lo que es peor de todo, el miedo continuo, y peligro de muerte violenta; y la vida del hombre, solitario, pobre, desagradable, violento y corto. [8]
Hobbes desarrolló lo que a veces se llama “teoría del contrato”. Esta es una visión de gobierno en la que se ve al Estado como producto de un contrato racional. A pesar de que heredamos nuestro gobierno, la idea es que en algún sentido encontraríamos racional elegir el gobierno, alguna vez estuvimos en condiciones de hacerlo. Entonces, en el pasaje anterior, Hobbes afirma que en este estado de la naturaleza, tenemos libertad absoluta, pero esto lleva a la lucha universal entre todas las personas. No puede haber propiedad, por ejemplo, si no hay facultad para hacer valer los derechos de propiedad. Eres libre de tomar las cosas de otras personas, pero también son libres de llevarse las tuyas. Sólo la violencia puede desalentar ese robo. Pero, un poder común, como un rey, puede hacer cumplir reglas, como los derechos de propiedad. Para tener este poder común, debemos renunciar a algunas libertades. Estás (o deberías estar, si alguna vez te correspondiera) dispuesto a renunciar a esas libertades por los beneficios que obtienes de esto. Por ejemplo, estás dispuesto a renunciar a la libertad de simplemente apoderarse de los bienes de la gente, porque te gusta aún más que otras personas no puedan apoderarse de tus bienes.
Podemos reconstruir la defensa del gobierno de Hobbes, muy simplificada, como algo así:
Si queremos estar seguros, entonces deberíamos tener un estado que nos pueda proteger.
Si tuviéramos que tener un estado que nos proteja, entonces deberíamos renunciar a algunas libertades.
Por lo tanto, si queremos estar seguros, entonces deberíamos renunciar a algunas libertades.
Usemos la siguiente clave de traducción.
P: Queremos estar seguros.
P: Deberíamos tener un estado que nos pueda proteger.
R: Deberíamos renunciar a algunas libertades.
El argumento en nuestro lenguaje lógico sería entonces:
(P →Q)
(Q→R)
_____
(P→R)
Este es un argumento válido. Tomemos el tiempo para mostrar esto con una tabla de la verdad.
| premisa | premisa | conclusión | |||
| P | Q | R | (P→Q) | (Q→R) | (P→R) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T |
Las filas en las que todas las premisas son verdaderas son las filas primera, quinta, séptima y octava. Obsérvese que en cada una de esas filas, la conclusión es cierta. Así, en cualquier tipo de situación en la que las premisas sean verdaderas, la conclusión es cierta. Esta es nuestra semántica para un argumento válido.
¿Qué método sintáctico podemos usar para probar que este argumento es válido? Ahora mismo, no tenemos ninguno. Aparte de la doble negación, ni siquiera podemos aplicar ninguna de nuestras reglas de inferencia utilizando estas premisas.
Algunos sistemas lógicos introducen una regla para capturar esta inferencia; esta regla se suele llamar la “regla de cadena”. Pero, aquí está en juego un principio más general: necesitamos una manera de mostrar condicionales. Entonces queremos tomar otro enfoque para demostrar que este argumento es válido.
6.2 Derivación condicional
Como regla práctica, podemos pensar en las reglas de inferencia como una manera de mostrar una especie de oración, o de hacer uso de una especie de oración. Por ejemplo, la amonestación nos permite mostrar una conjunción. La simplificación nos permite hacer uso de una conjunción. Pero este patrón no está completo: tenemos reglas para hacer uso de un condicional (modus ponens y modus tollens), pero ninguna regla para mostrar un condicional.
Vamos a querer tener algún medio para probar un condicional, porque a veces un argumento tendrá un condicional como conclusión. No está claro qué regla debemos introducir, sin embargo. El condicional es verdadero cuando el antecedente es falso, o si tanto el antecedente como el consecuente son ciertos. Ese es un asunto bastante desordenado por hacer una regla de inferencia.
No obstante, piense en lo que afirma el condicional: si el antecedente es verdadero, entonces lo consecuente es cierto. Podemos hacer uso de esta idea no con una regla de inferencia, sino más bien en la estructura misma de una prueba. Tratamos la prueba como que encarna una relación condicional.
Nuestra idea es la siguiente: asumamos alguna frase, Φ. Si entonces podemos probar otra frase ψ, habremos probado que si Φ es verdad entonces ψ es verdad. La estructura de prueba tendrá así una forma como esta:
\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ phi}} {\ elipsesline\\ pline {\ psi}}\ fpline {(\ phi\ lif\ psi)}}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-formato” height="139" title="Rendido por Quicklatex.com” width="92" src= https://human.libretexts.org/@api/de...tex.com-f44d62” b347166c1ab081e704d08c5c4c_l3.png "/>
La última línea de la prueba se justifica por la forma de la prueba: asumiendo que Φ es verdadera, y luego usando nuestras reglas de inferencia para probar ψ, sabemos que si Φ es verdad entonces ψ es verdad. Y esto es justo lo que afirma el condicional.
A este método se le hace referencia a veces como una aplicación del teorema de la deducción. En el capítulo 17 probaremos el teorema de deducción. Aquí, en cambio, pensaremos en esto como un método de prueba, tradicionalmente llamado “derivación condicional”.
Una derivación condicional es como una derivación directa, pero con dos diferencias. Primero, junto con las premisas, se obtiene una única suposición especial, llamada “la suposición para derivación condicional”. Segundo, no pretendes mostrar tu conclusión, sino más bien la consecuencia de tu conclusión. Entonces, para mostrar (Φ→ψ) siempre asumirás Φ e intentarás mostrar ψ. También, en nuestro sistema lógico, una derivación condicional siempre será una subprueba. Una subprueba es una prueba dentro de otra prueba. Siempre comenzamos con una prueba directa, y luego hacemos la prueba condicional dentro de esa prueba directa.
Así es como aplicaríamos el método de prueba para probar la validez del argumento de Hobbes, tal y como lo reconstruimos anteriormente.
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {(Q\ lif R))} [premisa]\\} {\ subprueba {\ pline [3.] {P} [suposición para derivación condicional]} {\ pline [4] {Q} [modus ponens, 1, 3]\\\ pline [5.] {R} [modus ponens, 2, 4]}\ pline [6.] {(P\ lif R)} [derivación condicional, 3-5]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="183" title="Rendido por Quicklatex.com” width="653" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...730ae3e_l3.png "/>
Nuestras barras Fitch dejan claro lo que es una sub-prueba aquí; nos dejan ver esto como una derivación directa con una derivación condicional incrustada en ella. Este es un concepto importante: podemos tener pruebas dentro de las pruebas.
Un principio importante es que una vez que se hace una subprueba, no podemos usar ninguna de las líneas en la subprueba. Necesitamos esta regla porque la derivación condicional nos permitió hacer una suposición especial que utilizamos sólo temporalmente. Arriba, asumimos P. Nuestro objetivo es sólo demostrar que si P es verdad, entonces R es verdad. Pero tal vez P no es cierto. No queremos posteriormente hacer uso de P para algún otro propósito. Entonces, tenemos la regla de que cuando se completa una subprueba, no se pueden usar las líneas que ocurren en la subprueba. En este caso, eso significa que no podemos usar las líneas 3, 4 o 5 para ningún otro propósito que no sea mostrar el condicional (P→R). Ahora no podemos volver a citar esas líneas individuales. Podemos, sin embargo, utilizar la línea 6, la conclusión de la subprueba.
Las barras Fitch, que hemos utilizado antes en nuestras pruebas solo para separar las premisas de los pasos posteriores, ahora tienen un uso muy beneficioso. Nos permiten dejar de lado una derivación condicional como subprueba, y ayudan a recordarnos que no podemos citar las líneas en esa subprueba una vez que la subprueba está completa.
Podría ser útil dar un ejemplo de por qué esto es necesario. Es decir, podría ser útil dar un ejemplo de un argumento invalidado porque hace uso de líneas en una subprueba terminada. Considera el siguiente argumento.
Si eres Papa, entonces tienes una casa en el Vaticano.
Si tienes un hogar en el Vaticano, entonces escuchas campanas de iglesia a menudo.
_____
Si eres Papa, entonces escuchas campanas de iglesia a menudo.
Ese es un argumento válido, con la misma forma que el argumento que adoptamos de Hobbes. No obstante, si rompimos nuestra regla sobre derivaciones condicionales, podríamos probar que usted es Papa. Usemos esta clave:
S: Tú eres Papa.
T: Tienes una casa en el Vaticano.
U: A menudo se escuchan campanas de iglesia.
Ahora considere esta “prueba”:
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(S\ lif T)} [premisa]\\\ pline [2.] {(T\ lif U))} [premisa]\\} {\ subprueba {\ pline [3.] {S} [suposición para derivación condicional]} {\ pline [4] {T} [modus ponens, 1, 3]\\\ pline [5.] {U} [modus ponens, 2, 4]}\ pline [6.] {(S\ lif U)} [derivación condicional, 3-5]\\\ pline [7.] {S} [repetir, 3]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="205" title="Rendido por Quicklatex.com” width="653" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...67914e5_l3.png "/>
Y, así, hemos probado que usted es Papa. Pero, claro, usted no es el Papa. Desde verdaderas premisas, terminamos con una conclusión falsa, por lo que el argumento es obviamente inválido. ¿Qué salió mal? El problema fue que después de completar la derivación condicional que ocurre en las líneas 3 a 5, y usamos esa derivación condicional para afirmar la línea 6, ya no podemos usar esas líneas 3 a 5. Pero en la línea 7 hicimos uso de la línea 3. La línea 3 no es algo que sepamos que es verdad; nuestro razonamiento de las líneas 3 a la línea 5 era preguntar, si S fuera verdad, ¿qué más sería verdad? Cuando hayamos terminado con esa derivación condicional, podemos usar solo el condicional que derivamos, y no los pasos utilizados en la derivación condicional.
6.3 Algunos ejemplos adicionales
Aquí hay algunos tipos de argumentos que ayudan a ilustrar el poder de la derivación condicional.
Este argumento hace uso de conjunciones.
(P→Q)
(R→S)
_____
((P^R) → (Q^S))
Siempre comenzamos construyendo una prueba directa, utilizando la barra Fitch para identificar las premisas de nuestro argumento, si las hubiera.
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {(R\ lif S)} [premisa]\\} {}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-formato” height="99" title="Rendido por Quicklatex.com” width="422" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...a70a51a_l3.png "/>
Debido a que la conclusión es un condicional, asumimos el antecedente y mostramos lo consecuente.
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {(R\ lif S)} [premisa]\\} {\ subprueba {\ pline [3.] {(P\ tierra R)} [suposición para derivación condicional]} {\ pline [4] {P} [simplificación, 3]\\\ pline [5.] {Q} [modus ponens, 1, 4]\\\ pline [6.] {R} [simplificación, 3]\\\ pline [7.] {S} [modus ponens, 2, 6]\\\ pline [8.] {(Q\ tierra S)} [amonestación, 5, 7]}\ pline [9.] {((P\ land R)\ lif (Q\ land S))} [derivación condicional, 3-8]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="249" title="Rended by Quicklatex.com” width="653" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...d70f788_l3.png "/>
Aquí hay otro ejemplo. Obsérvese que el siguiente argumento es válido.
(P→ (S→R))
(P→ (Q→S))
_____
(P→ (Q→R))
La prueba requerirá varias subpruebas incrustadas.
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif (S\ lif R))} [premisa]\\\ pline [2.] {(P\ lif (Q\ lif S))} [premisa]\\} {\ subprueba {\ pline [3.] {P} [suposición para derivación condicional]} {\ subproof {\ pline [4.] {Q} [suposición para derivación condicional]} {\ pline [5.] {(Q\ lif S)} [modus ponens, 2, 3]\\\ pline [6.] {S} [modus ponens, 5, 4]\\\ pline [7.] {(S\ lif R)} [modus ponens, 1, 3]\\\ pline [8.] {R} [modus ponens, 7, 6]}\ pline [9.] {(Q\ lif R)} [derivación condicional, 4-8]}\ pline [10.] {(P\ lif (Q\ lif R))} [derivación condicional, 3-9]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="289" title="Rendido por Quicklatex.com” width="654" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...02f0c78_l3.png "/>
6.4 Teoremas
La derivación condicional nos permite ver un nuevo concepto importante. Considera la siguiente frase:
((P→Q) → (¬Q→¬P))
Esta frase es una tautología. Para comprobar esto, podemos hacer su tabla de verdad.
| P | Q | ¬Q | ¬P | (P→Q) | (¬Q→¬P) | ((P→Q) → (¬Q→¬P)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | F | F | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
Esta frase es cierta en todo tipo de situaciones, que es lo que entendemos por una “tautología”.
Ahora reflexionemos sobre nuestra definición de “válido”: necesariamente, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. ¿Y un argumento en el que la conclusión es una tautología? Por nuestra definición de “válido”, un argumento con una conclusión que debe ser cierta debe ser un argumento válido, ¡sin importar cuáles sean las premisas! (Si esto te confunde, mira hacia atrás en la tabla de la verdad para el condicional. Nuestra definición de válido incluye el condicional: si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. Supongamos que ahora nuestra conclusión debe ser cierta. Cualquier condicional con un verdadero consecuente es verdadero. Por lo que la definición de “válido” debe ser cierta para cualquier argumento con una tautología como conclusión.) Y, dado eso, parecería que es irrelevante si tenemos alguna premisas en absoluto, ya que alguna servirá. Esto sugiere que puede haber argumentos válidos sin premisas.
La derivación condicional nos permite construir tales argumentos. Primero, dibujaremos nuestra barra Fitch para nuestro argumento principal para indicar que no tenemos premisas. Entonces, construiremos una derivación condicional. Empezará así:
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [suposición para derivación condicional]} {}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="117" title="Rended by Quicklatex.com” width="652" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...93cd27a_l3.png "/>
Pero, ¿y ahora qué? Bueno, hemos asumido el antecedente de nuestra sentencia, y debemos esforzarnos ahora por mostrar lo consecuente. Pero tenga en cuenta que lo consecuente es un condicional. Entonces, volveremos a hacer una derivación condicional.
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [suposición para derivación condicional]} {\ subproof {\ pline [2.] {\ lnot Q} [suposición para derivación condicional]} {\ pline [3.] {\ lnot P} [modus tollens, 1, 2]\\}\ pline [4.] {(\ lnot Q\ lif\ lnot P)} [derivación condicional, 2-3]}\ pline [5.] {((P\ lif Q)\ lif (\ lnot Q\ lif\ lnot P))} [derivación condicional, 1-4]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="201" title="Rendido por Quicklatex.com” width="654" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...0e4bbed_l3.png” />
Esta es una prueba, sin premisas, de ((P→Q) → (¬Q→¬P)). La parte superior de la prueba muestra que no tenemos premisas. Nuestra conclusión es un condicional, entonces, en la línea 1, asumimos el antecedente del condicional. Ahora tenemos que mostrar lo consecuente del condicional; pero el consecuente del condicional también es un condicional, por lo que asumimos su antecedente en la línea 2. La línea 4 es el resultado de la derivación condicional de las líneas 2 a 3. Las líneas 1 a 4 nos dicen que si (P→Q) es verdadero, entonces (¬Q→¬P) es verdadero. Y eso es lo que concluimos en la línea 5.
Llamamos “teorema” a una frase que puede probarse sin premisas. Los teoremas son especiales porque revelan las cosas que siguen solo de la lógica. Es un beneficio muy grande de nuestra lógica proposicional que todos los teoremas sean tautologías. Es un beneficio igualmente grande de nuestra lógica proposicional que todas las tautologías sean teoremas. Sin embargo, estos conceptos son diferentes. “Tautología” se refiere a un concepto semántico: una tautología es una oración que debe ser cierta. “Teorema” se refiere a un concepto de sintaxis y derivación: un teorema es una oración que se puede derivar sin premisas.
Teorema: una frase que se puede probar sin premisas.
Tautología: una frase de la lógica proposicional que debe ser cierta.
6.5 Problemas
- Demostrar que los siguientes argumentos son válidos. Esto requerirá derivación condicional.
- Premisa: (P → Q), (S → R). Conclusión: (¬Q ^ ¬R) → (¬P ^ ¬S).
- Premisa: (P → Q). Conclusión: (P ^ R) → Q).
- Premisa: ((R^Q) → S), (¬P → (R^Q)). Conclusión: (¬S → P).
- Premisa: (P → ¬Q). Conclusión: (Q → ¬P).
- Locales: (P → Q), (P → R). Conclusión: (P → (Q^R))).
- Locales: (P → (Q → R)), Q. Conclusión: (P → R).
- Demostrar los siguientes teoremas.
- (P → P).
- ((P → Q) → ((R → P) → (R → Q))).
- ((P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)).
- ((¬P → Q) → (¬Q → P)).
- (((P → Q) ^ (P → R)) → (P → (Q^R))).
- Hacer una tabla de verdad para cada una de las siguientes oraciones complejas, a fin de ver cuándo es verdadera o falsa. Identificar cuáles son las tautologías. Demostrar las tautologías.
- ((P → Q) → Q).
- (P → (P → Q)).
- (P → (Q → P)).
- (P → ¬P).
- (P → ¬¬P).
- En inglés coloquial normal, escribe tu propio argumento válido con al menos dos premisas y con una conclusión que sea condicional. Tu argumento debe ser solo un párrafo (no una lista ordenada de oraciones o cualquier otra cosa que parezca lógica formal). Traducirlo a lógica proposicional y demostrar que es válido.
[8] Hobbes (1886:64).