33.1: Teoría de Conjuntos

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33.1 Teoría de Conjuntos

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La teoría de conjuntos es la técnica analítica que utilizaremos para analizar la música expresionista. Los principales compositores asociados al expresionismo son Arnold Schoenberg (1874-1951), Anton Webern (1883—1945) y Alban Berg (1885—1935). En este texto, asociaremos la música atonal —música que evita las armonías y escalas tradicionales— con el expresionismo. En lugar de escalas y acordes, los intervalos son los bloques de construcción de la música expresionista. Si bien los compositores comenzaron a escribir música atonal en 1908, no hubo un enfoque analítico sistemático ampliamente aceptado que pudiera mostrar relaciones entre diferentes piezas hasta que Allen Forte publicó su seminal La estructura de la música atonal en 1973, en el que Forte aplicó las matemáticas de teoría de conjuntos a la música. Sin embargo, nuestro acercamiento a la forma normal y a la forma prima seguirá el enfoque ligeramente modificado establecido por John Rahn en su Teoría Atonal Básica (1980), que es el enfoque seguido por Joseph Straus en su conocida y ampliamente utilizada Introducción a la Teoría Post-Tonal. ¹

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33.1.1 Música Atonal

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Escucha el siguiente ejemplo de Anton Webern.

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Figura 33.1.1. Webern, 5 movimientos para cuarteto de cuerda, núm. 3. Sehr bewegt

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Atrás quedaron las estructuras triádicas que hemos estudiado a lo largo de este texto. En esta música, los intervalos son primordiales. Examinemos los intervalos que encontramos.

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Observe la estructura interválica de los dos primeros acordes, ² sin incluir el C ♯ en la parte de violonchelo. Vemos el intervalo de un 5to incrementado por debajo del intervalo de un 3o menor en el primer acorde, y el intervalo de un sexto menor por debajo del intervalo de un 3o menor en el segundo acorde. Observe que los nombres que usamos para intervalos tienen implicaciones tonales. Una 5ª aumentada funcionaría de manera diferente a una sexta menor, pero en la música atonal, estos intervalos tienen el mismo sonido, están separados por el mismo número de medios pasos, y no tienen implicaciones tonales (no tienen que resolver de ninguna manera en particular). Por lo tanto, analistas como Allen Forte utilizaron enteros para representar tonos e intervalos para eliminar las implicaciones tonales de la notación pentagrama.

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33.1.2 Notación entera para tonos

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Un rasgo notable de la teoría de conjuntos es que representaremos tonos con enteros, como se ve en la siguiente tabla.

Nombre de la nota:	C	C ♯ /D ♭	D	D ♯ /E ♭	E	F	F ♯ /G ♭	G	G ♯ /A ♭	A	A ♯ /B ♭	B
Entera:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

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Puede ser útil recordar que la tríada de C mayor (C, E y G) consiste en enteros 0, 4 y 7.

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La notación entera de tonos significa que asumimos la equivalencia enarmónica de las notas. Por ejemplo, D, C�y E�se representan todos como enteros de tono 2. También asumimos la equivalencia de octava, que a su vez presume la noción de clase de tono. Cuando decimos que la primera sinfonía de Beethoven está en C, no nos referimos a ninguna C específica (CC1, CC2, CC3, etc.), sino al concepto de la clase de tono C, que incluye todas y cada una de las Cs. Por lo tanto, etiquetaría la nota C como clase de tono 0, sin importar el registro en el que se produzca.

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33.1.3 Notación de enteros para intervalos

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También mediremos intervalos usando enteros, con cada intervalo representado por el número de semitonos (medios pasos) que contiene. La siguiente tabla contiene el número de semitonos en cada intervalo.

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Cuadro 33.1.2. Integrados de intervalo

Intervalo	Número de semitonos	Intervalo	Número de semitonos
m2	1	P5	7
M2	2	m6	8
m3	3	M6	9
M3	4	m7	10
P4	5	M7	11
TT	6	P8	12

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33.1.4 Conjuntos de clase de campo

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En la música atonal analizaremos conjuntos de clases de pitch, de ahí el término “pitch class set analysis”. Volvamos al ejemplo de Webern, esta vez con enteros para tonos y para intervalos.

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El primer acorde consta de E ♭, B y D, o enteros de tono 3, 11 y 2. Si examinamos la distancia interválica, encontramos 8 semitonos entre los enteros de tono 3 y 11, y 3 semitonos entre 11 y 2. Tenga en cuenta que estamos trabajando en un sistema módulo 12, es decir, reiniciamos nuestra numeración después de 11 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, etc.). Estamos acostumbrados al módulo 12 pensando ya que todos tratamos con relojes. Si una reunión iba de 11 a 14 horas, duró 3 horas. Por lo tanto, un intervalo desde el entero de tono 11 hasta el entero de tono 2 abarca 3 semitonos. El segundo acorde tiene la misma construcción interválica.

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Ahora, veamos los dos acordes en la segunda mitad del tercer compás.

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Vemos enseguida que el segundo de estos acordes tiene la misma construcción que los dos acordes que examinamos en ejemplos anteriores (un sexto menor debajo de un 3er menor). Sin embargo, el primer acorde en este ejemplo (G ♯, C, A, o 8, 0, 9) parece ser diferente, con una 4ª disminuida de G ♯ a C (un intervalo que abarca 4 semitonos, equivalente enarmónicamente a una tercera mayor) por debajo del intervalo de una 6ª mayor de C a A (que abarca 9 semitonos). Para ver la relación de este acorde con los demás, necesitamos aprender sobre la forma normal y la forma prima.