11.3: Derivación de la Ecuación de Euler-Lagrange

En esta sección, utilizamos el Principio de Acción Mínima para derivar una relación diferencial para el camino, y el resultado es la ecuación de Euler-Lagrange. Esta derivación sigue de cerca [163, p. 23-33], así que vea esa referencia para una derivación más rigurosa. Supongamos que conocemos el lagrangiano que describe la diferencia entre dos formas de energía, y conocemos la acción. Queremos encontrar una relación diferencial para el camino\(y(t)\) que minimice la acción. Este camino tiene la menor integral sobre\(t\) la diferencia entre las dos formas de energía.

Supongamos que el camino\(y(t)\) minimiza la acción y es el camino que se encuentra en la naturaleza. Considera un camino\(\tilde y(t)\) que está muy cerca del camino\(y(t)\). Path\(\tilde y(t)\) es igual a path\(y(t)\) más una pequeña diferencia.

\[\tilde y = y + \varepsilon \eta \label{11.3.1} \]

En Ecuación\ ref {11.3.1},\(\varepsilon\) es un parámetro pequeño, y\(\eta = \eta(t)\) es una función de\(t\). Podemos evaluar el lagrangiano en este camino cercano.

\[\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}\left(t, y+\varepsilon \eta, \dot{y}+\varepsilon \frac{d \eta}{d t}\right) \nonumber \]

El lagrangio del camino cercano\(\tilde y(t)\) puede estar relacionado con el lagrangiano del camino\(y(t)\).

\[\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}(t, y, \dot{y})+\varepsilon\left(\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right) \label{11.3.3} \]

La ecuación\ ref {11.3.3} se escribe como una expansión en el parámetro pequeño\(\varepsilon\). Se muestran los términos de orden más bajos, e\(O(\varepsilon^2)\) indica que todos los términos adicionales se multiplican por\(\varepsilon^2\) o mayores potencias de este pequeño parámetro.

También podemos expresar la diferencia en la acción por caminos\(\tilde y\) y\(y\) como una expansión en el parámetro pequeño\(\varepsilon\).

\[\mathbb{S}(\hat{y})- \mathbb{S}(y)= \varepsilon\left[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \nonumber \]

El término entre paréntesis se llama la primera variación de la acción, y se denota con el símbolo\(\delta\).

\[\delta \mathbb{S}(\eta, y)=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t \nonumber \]

El camino\(y\) tiene la menor acción, y todos los caminos cercanos\(\tilde y(t)\) tienen una acción más grande. Por lo tanto, la pequeña diferencia\(\mathbb{S}(\tilde y)−\mathbb{S}(y)\) es positiva para todas las opciones posibles de\(\eta(t)\). La única forma en que esto puede ocurrir es si la primera variación es cero.

\[\delta \mathbb{S}(\eta, y)=0 \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t=0 \label{11.3.7} \]

Si la acción es mínima para path\(y\), entonces la Ecuación\ ref {11.3.7} es verdadera. Sin embargo, si path\(y\) satisface la Ecuación\ ref {11.3.7}, la acción puede o no ser mínima.

Usa la integración por partes en el segundo término para poner la Ecuación\ ref {11.3.7} en una forma más familiar.

\[u = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \nonumber \]

\[du = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}dt \nonumber \]

\[v = \eta \nonumber \]

\[dv = \frac{d \eta}{dt}dt \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t =\left[\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber \]

Asumir los puntos finales de la ruta\(y\) y\(\tilde y\) alinear.

\[\eta (t_0) = \eta (t_1) = 0. \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t = -\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.10} \]

Combine la ecuación\ ref {11.3.10} con la ecuación\ ref {11.3.7}.

\[0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber \]

\[0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} - \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.12} \]

Para que la Ecuación\ ref {11.3.12} sea verdadera para todas las funciones\(\eta\), el término entre paréntesis debe ser cero, y el resultado es la ecuación de Euler-Lagrange.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) =0 \nonumber \]

Hemos completado la derivación. Usando el Principio de Acción Mínima, hemos derivado la ecuación de Euler-Lagrange. Si conocemos el Lagrangiano para un proceso de conversión de energía, podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar el camino que describe cómo evoluciona el sistema a medida que pasa de tener energía en la primera forma a la energía en la segunda forma.

La ecuación de Euler-Lagrange es una ecuación diferencial de segundo orden. La relación se puede escribir en su lugar como un par de ecuaciones diferenciales de primer orden,

\[\frac{d\mathbb{M}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \nonumber \]

y

\[ \mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}. \nonumber \]

El hamiltoniano puede expresarse en función del impulso generalizado, [167, ch. 3].

\[H(t, y, \mathbb{M}) =|\mathbb{M} \dot{y} -\mathcal{L}| \nonumber \]

Usando el hamiltoniano, la ecuación de Euler-Lagrange se puede escribir como [167]

\[\frac{d\mathbb{M}}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial y} \nonumber \]

y

\[\frac{dy}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbb{M}}. \nonumber \]

Este par de ecuaciones diferenciales de primer orden se llama ecuaciones de Hamilton, y contienen la misma información que la ecuación de Euler-Lagrange de segundo orden. Se pueden utilizar para resolver los mismos tipos de problemas que la ecuación de Euler-Lagrange, por ejemplo encontrando el camino desde el lagrangiano.