14.4: Derivación de los Generadores Infinitesimales

Procedimiento para Encontrar Generadores Infinitesimales

Estamos estudiando ecuaciones diferenciales, las cuales pueden escribirse como

\[F(t, y, \dot{y}, \ldots) = 0 \nonumber \]

para alguna función\(F\). Estamos buscando simetrías continuas que puedan aplicarse a esta ecuación de tal manera que la ecuación original y la ecuación transformada tengan las mismas soluciones. Las simetrías son denotadas por generadores infinitesimales

\[U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \nonumber \]

que describen cómo se\(y\) transforman la variable independiente\(t\) y la variable dependiente. Tras una transformación de simetría, la variable independiente y la variable dependiente se transforman, pero también lo hacen las derivadas de\(\ldots\) la variable dependiente\(\dot{y}\)\(\ddot{y}\),,, La prolongación de un generador infinitesimal es una generalización del generador infinitesimal que describe la transformación de la variable independiente, la variable dependiente y las derivadas de la variable dependiente [164, p. 94].

La\(\mathfrak{n}\) prolongación de un generador\(U\) se define como

\[pr^{(\mathfrak{n})}U = \xi \partial_t + \eta \partial_y + \eta^t \partial_{\dot{y}} + \eta^{tt} \partial_{\ddot{y}} + \eta^{ttt} \partial_{\dddot{y}} + \dots, \label{14.4.3} \]

y tiene términos que involucran\(\eta^{t^{\mathfrak{n}}}\). Las funciones\(\eta^{t}\) y\(\eta^{tt}\) se definen [164],

\[\eta^t = \eta^t(t, y, \dot{y}) = \frac{d}{dt}(\eta - \xi\dot{y})+\xi\ddot{y} \label{14.4.4} \]

\[\eta^{tt} = \eta^{tt}(t, y, \dot{y}) = \frac{d^2}{dt^2}(\eta - \xi\dot{y})+\xi\dddot{y} \label{14.4.5} \]

Las cantidades\(\eta^{ttt}\),\(\eta^{tttt}\), y así sucesivamente se pueden definir de manera similar, pero no serán necesarias para los ejemplos a continuación. La prolongación del generador infinitesimal es un operador que describe la transformación de\(t\),\(y\),\(\dot{y}\),\(\ddot{y}\), y así sucesivamente hasta la derivada\(\mathfrak{n}\) th. Algunos autores [189] utilizan el término mapeo tangencial en lugar de prolongación.

El procedimiento para encontrar todas las simetrías continuas posibles de una ecuación se basa en la idea de que las soluciones de una ecuación permanecen sin cambios en una operación de simetría. Para que una transformación dada sea una operación de simetría, no sólo todas las soluciones deben permanecer inalteradas, sino que también deben ser todas las derivadas de las soluciones. Así, para una ecuación diferencial de la forma\(F(t, y, \dot{y}, \ldots) = 0\), todas las simetrías\(U\) obedecen a la condición de simetría

\[pr^{(\mathfrak{n})}UF=0. \label{14.4.6} \]

Resolvemos esta condición de simetría para encontrar todos los generadores infinitesimales permitidos que describen simetrías continuas de la ecuación original.

Podemos usar la Ecuación\ ref {14.4.4} y\ ref {14.4.5} para escribir la condición de simetría en términos de los componentes de los generadores infinitesimales,\(\xi\) y\(\eta\). Entonces, resolvemos la condición de simetría para\(\xi\) y\(\eta\). Este paso implica algo de álgebra, pero se puede lograr con cierta paciencia y un suministro adecuado de tinta y papel.

Podemos resolver la condición de simetría para los generadores infinitesimales permitidos. Por solución cuidadosa, encontramos todos los generadores infinitesimales de la forma\(U = \xi \partial_t + \eta \partial_y\). Este procedimiento nos da una manera sistemática de encontrar todas las simetrías continuas de la ecuación.

Esta técnica se aplica a cualquier ecuación diferencial. Estamos muy interesados en aplicarlo a ecuaciones de movimiento que describen procesos de conversión de energía. A partir de esta técnica, obtenemos información sobre soluciones de la ecuación incluso cuando la ecuación de movimiento es no lineal. Además, en la Sec. 14.5 vemos que podemos usar las simetrías para encontrar invariantes de la ecuación, y los invariantes a menudo tienen significado físico. Todas las simetrías de cálculo de variaciones problemas de la forma\(\delta \int \mathcal{L}dt = 0\) son necesariamente simetrías de la ecuación de Euler-Lagrange. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto, por lo que no todas las simetrías de la ecuación de Euler-Lagrange son simetrías de la ecuación integral [164, p. 255].

Ejemplo de Ecuación de Thomas-Fermi

Como ejemplo, aplicamos este procedimiento a la ecuación de Thomas-Fermi

\[\ddot{y} = y^{3/2}t^{-1/2}. \label{14.4.7} \]

Esta ecuación se derivó en el Capítulo 13. A partir de la solución de esta ecuación\(y(t)\), la densidad\(\rho_{ch}(r)\) de carga de los electrones alrededor de un átomo aislado y el voltaje que\(V (r)\) sienten los electrones pueden calcularse dentro de los supuestos, bastante severos, especificados en ese capítulo. La variable independiente de la ecuación es una versión escalada de la posición radial, no el tiempo. Sin embargo, se\(t\) utilizará como la variable independiente aquí porque el procedimiento se aplica a las ecuaciones independientemente del nombre de la variable. La referencia [190] aplica este procedimiento a una familia de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Emden-Fowler. La ecuación de Thomas-Fermi es un caso especial de una ecuación de Emden-Fowler, por lo que el resultado de este ejemplo se puede encontrar en la referencia [190].

Nos gustaría identificar simetrías continuas de la Ecuación\ ref {14.4.7}. Estas simetrías serán especificadas por generadores infinitesimales de la forma

\[U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \label{14.4.8} \]

donde\(\xi\) y\(\eta\) tener la forma\(\xi(t, y)\) y\(\eta(t, y)\). Las soluciones de la ecuación satisfacen

\[(\ddot{y} - y^{3/2}t^{-1/2}) = 0. \label{14.4.9} \]

Para los generadores infinitesimales que describen simetrías de esta ecuación, la prolongación también es cero.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U (\ddot{y} - y^{3/2}t^{-1/2}) = 0. \label{14.4.10} \]

La ecuación\ ref {14.4.10} se puede resolver para todos los generadores\(U\) correspondientes a simetrías continuas de la ecuación de Thomas-Fermi. Las ecuaciones\ ref {14.4.3} y\ ref {14.4.10} se pueden combinar.

\[\eta^{tt} + \frac{1}{2}\xi y^{3/2}t^{-3/2} - \frac{3}{2}\eta y^{1/2}t^{-1/2} = 0 \nonumber \]

A continuación, se utiliza la Ecuación\ ref {14.4.5}.

\[\partial_{t t} \eta+2 \dot{y} \partial_{y t} \eta+\ddot{y} \partial_{y} \eta+\dot{y}^{2} \partial_{y y} \eta-2 \ddot{y} \partial_{t} \xi-\dot{y} \partial_{t t} \xi-2 \dot{y}^{2} \partial_{y t} \xi - \dot{y}^{3} \partial_{y y} \xi-3 \dot{y} \ddot{y} \partial_{y} \xi+\frac{1}{2} \xi y^{3 / 2} t^{-3 / 2}-\frac{3}{2} \eta y^{1 / 2} t^{-1 / 2}=0 \nonumber \]

Sustituir la ecuación original por\(\ddot{y}\).

\[\partial_{t t} \eta+2 \dot{y} \partial_{y t} \eta+y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{y} \eta+\dot{y}^{2} \partial_{y y} \eta-2 y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{t} \xi-\dot{y} \partial_{t t} \xi-2 \dot{y}^{2} \partial_{y t} \xi -\dot{y}^{3} \partial_{y y} \xi-3 \dot{y} y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{y} \xi+\frac{1}{2} \xi y^{3 / 2} t^{-3 / 2}-\frac{3}{2} \eta y^{1 / 2} t^{-1 / 2}=0 \label{14.4.13} \]

Términos de reagrupación.

\[(\partial_{t t} \eta+y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{y} \eta-2 y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{t} \xi+\frac{1}{2} \xi y^{3 / 2} t^{-3 / 2}-\frac{3}{2} \eta y^{1 / 2} t^{-1 / 2}) +\dot{y}(2 \partial_{y t} \eta-\partial_{t t} \xi-3 y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{y} \xi)+\dot{y}^{2}(\partial_{y y} \eta-2 \partial_{y t} \xi)-\dot{y}^{3}(\partial_{y y} \xi)=0 \label{14.4.14} \]

Cada uno de los términos entre paréntesis en la Ecuación\ ref {14.4.14} debe ser cero.

\[\partial_{t t} \eta+y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{y} \eta-2 y^{3 / 2} t^{-1 / 2} \partial_{t} \xi+\frac{1}{2} \xi y^{3 / 2} t^{-3 / 2}-\frac{3}{2} \eta y^{1 / 2} t^{-1 / 2}=0 \label{14.4.15} \]

\[2\partial_{yt}\eta - \partial_{tt}\xi - 3y^{3/2}t^{-1/2}\partial_y\xi = 0 \label{14.4.16} \]

\[\partial_{yy}\eta - 2\partial_{yt}\xi = 0 \label{14.4.17} \]

\[\partial_{yy}\xi = 0 \label{14.4.18} \]

Las ecuaciones\ ref {14.4.15},\ ref {14.4.16},\ ref {14.4.17}, y\ ref {14.4.18} se pueden resolver para\(\xi\) y\(\eta\). De la Ecuación\ ref {14.4.18}\(\partial_{yy}\xi = 0\), así que\(\xi\) debe tener forma

\[\xi = (c_1 + c_2y) b(t). \nonumber \]

Las cantidades denotadas\(c_{\mathfrak{n}}\) son constantes. De la Ecuación\ ref {14.4.17},\(\eta\) debe tener la forma

\[\eta = (c_3 + c_4y + c_5y^2) g(t). \nonumber \]

Funciones\(b(t)\) y\(g(t)\) sólo dependen de\(t,\) no\(y\). La condición de Ecuación\ ref {14.4.16} puede ser reescrita.

\[(2c_4\partial_tg - c_1\partial_{tt}b) + y(4c_5\partial_tg - 2c_2\partial_{tt}b) - 3y^{3/2} t ^{-1/2} c_2b = 0 \label{14.4.21} \]

Para satisfacer la Ecuación\ ref {14.4.21},\(c_2\) debe ser cero, y cualquiera\(c_5 = 0\) o\(g(t) = 0\). De Ecuaciones\ ref {14.4.16} y\ ref {14.4.17},\(\partial_y\eta\) y\(\partial_y\xi\) deben ser constantes. Por lo tanto, la forma de\(\xi\) debe ser

\[\xi = c_6 + c_7t. \nonumber \]

Esta forma se puede sustituir en la Ecuación\ ref {14.4.15}.

\[y^{3/2} t^{-1/2} (c_4 + 2c_5y) - 2y^{3/2} t^{-1/2} c_7 + \frac{1}{2} (c_6 + c_7t)y^{3/2} t^{-3/2} - \frac{3}{2} (c_3 + c_4y + c_5y^{2})y^{1/2} t^{-1/2} = 0 \nonumber \]

\[y^{3/2} t^{-1/2} (c_4 - 2c_7 + \frac{1}{2}c_7 - \frac{3}{2}c_4) + \frac{1}{2} c_6 y^{3/2} t^{-1/2} - \frac{3}{2} c_3 y^{1/2} t^{-1/2} + y^{5/2}t^{-1/2} (2c_5 - \frac{3}{2}c_5) = 0 \nonumber \]

Los coeficientes\(c_3\),\(c_5\), y\(c_6\) deben ser cero. También,\(c_4 = -3c_7\). Aquí no hay otras soluciones posibles. Así, la condición de simetría de la Ecuación\ ref {14.4.10} puede ser satisfecha por\(\xi = t\) y\(\eta = -3y\).

Este procedimiento encuentra una simetría infinitesimal continua regular de la ecuación de Thomas-Fermi, con generador de simetría infinitesimal

\[U = t\partial_t - 3y\partial_y. \nonumber \]

Ninguna otra solución puede satisfacer las restricciones dadas por la Ecuación\ ref {14.4.10}. Por lo tanto, esta ecuación tiene sólo una simetría continua.

Las transformaciones finitas se relacionan con transformaciones infinitesimales por la Ecuación 14.3.8. En este caso, la variable independiente se transforma como

\[t \rightarrow \tilde t = e^{\varepsilon (t\partial_t - 3y\partial_y)}t. \nonumber \]

\[t \rightarrow \tilde{t}=\left[1+\varepsilon\left(t \partial_{t}-3 y \partial_{y}\right)+\frac{1}{2 !} \varepsilon^{2}\left(t \partial_{t}-3 y \partial_{y}\right)^{2}+\ldots\right] t \nonumber \]

\[t \rightarrow \tilde{t}=\left[t+\varepsilon t\left(\partial_{t}t\right)+\frac{1}{2 !} \epsilon^{2}t \left(\partial_{t}t\right) \left(\partial_{t}t\right) +\ldots\right] \nonumber \]

\[t \rightarrow \tilde t = te^{\varepsilon} \nonumber \]

La variable dependiente se transforma como

\[y \rightarrow \tilde y = e^{\varepsilon (t\partial_t - 3y\partial_y)}y. \nonumber \]

\[y \rightarrow \tilde{y}=\left[1+\varepsilon\left(t \partial_{t}-3 y \partial_{y}\right)+\frac{1}{2 !} \varepsilon^{2}\left(t \partial_{t}-3 y \partial_{y}\right)^{2}+\ldots\right] y \nonumber \]

\[y \rightarrow \tilde y = ye^{-3\varepsilon} \nonumber \]

Definiendo la constante\(c_6 = e^{\varepsilon}\), la transformación puede escribirse como

\[t \rightarrow c_6t \quad \text{ and } \quad y \rightarrow (c_6)^{-3}y. \nonumber \]

El análisis anterior muestra que la ecuación original de Thomas-Fermi de la Ecuación\ ref {14.4.7} y la ecuación transformada

\[\frac{d^2 (yc_6^{-3})}{d (tc_6)^2} = (yc_6^{-3})^{3/2}(tc_6)^{-1/2} \nonumber \]

tienen las mismas soluciones. De ella, podemos concluir que si\(y(t)\) es una solución a la ecuación de Thomas-Fermi, sabemos que\(c_6^{-3} y(\tau)\) para también\(\tau = c_6t\) es una solución.

Ejemplo de Ecuación de Línea

Consideremos otro ejemplo de este procedimiento aplicado a la ecuación\(\ddot{y} = 0\). La solución de esta ecuación se puede encontrar por inspección

\[y{t}=c_0t + c_1 \nonumber \]

porque esta es la ecuación de una línea recta. Los coeficientes\(c_{\mathfrak{n}}\) son constantes, y son diferentes del ejemplo anterior. En este ejemplo, identificaremos los generadores infinitesimales para simetrías continuas de esta ecuación, y encontraremos ocho generadores infinitesimales. El resultado de este problema aparece en [191], y es una versión modificada del problema 2.26 de referencia [164, p. 180].

Las soluciones de la ecuación original deben ser las mismas que las soluciones de una ecuación transformada por una simetría continua, y esta idea está contenida en la condición de simetría de la Ecuación\ ref {14.4.6}. En este caso, la ecuación original es\(\ddot{y} = 0\), por lo que la prolongación de un generador infinitesimal que actúa sobre esta ecuación también debe ser cero para un generador infinitesimal\(U\) que describa una simetría continua.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U (\ddot{y}) = 0 \nonumber \]

Usando Ecuaciones\ ref {14.4.3},\ ref {14.4.4}, y\ ref {14.4.5}, podemos escribir esta condición de simetría en términos de\(\xi\) y\(\eta\).

\[\eta^{tt} = 0 \nonumber \]

\[\eta^{tt} = 0 = \partial_{tt}\eta + 2 \dot{y}\partial_{yt}\eta + \ddot{y}\partial_{y}\eta + \dot{y}^2\partial_{yy}\eta - 2\ddot{y}\partial_{t}\xi - \dot{y}\partial_{tt}\xi - 2\dot{y}^2\partial_{yt}\xi - \dot{y}^3\partial_{yy}\xi - 3\dot{y}\ddot{y}\partial_{y}\xi \nonumber \]

Utilice\(\ddot{y} = 0\) y reagrupe los términos.

\[(\partial_{tt}\eta) + \dot{y}(2\partial_{yt}\eta - \partial_{tt}\xi) + \dot{y}^2 (\partial_{yy}\eta - 2\partial_{yt}\xi) - \dot{y}^3(\partial_{yy}\xi) = 0 \nonumber \]

La ecuación anterior es verdadera para todos\(y\) solo si todas las cantidades entre paréntesis son cero.

\[\partial_{tt}\eta = 0 \label{14.4.40} \]

\[2\partial_{yt}\eta - \partial_{tt}\xi = 0 = 0 \label{14.4.41} \]

\[\partial_{yy}\eta - 2\partial_{yt}\xi = 0 \label{14.4.42} \]

\[\partial_{yy}\xi = 0 \label{14.4.43} \]

El siguiente paso es resolver el conjunto anterior de ecuaciones para todas las soluciones posibles de\(\xi\) y\(\eta\) que determinarán los generadores infinitesimales de todas las transformaciones de simetría continua posibles.

Consideraremos tres casos: caso 1 con\(\eta = 0\), caso 2 con\(\xi = 0\), y caso 3 con ambos\(\xi\) y\(\eta\) distinto de cero.

Caso 1 con\(\eta = 0\): Asumir\(\eta = 0\). ¿Para qué soluciones se pueden encontrar\(\xi\)? La ecuación\ ref {14.4.40} a la ecuación\ ref {14.4.43} se puede reducir.

\[\partial_{tt}\xi = 0 \nonumber \]

\[\partial_{yy}\xi = 0 \nonumber \]

\[\partial_{yt}\xi = 0 \nonumber \]

Hay tres posibles soluciones independientes para\(\xi\). Ellos son\(\xi = 1\),\(\xi = t\), y\(\xi = y\). Entonces, encontramos tres generadores infinitesimales.

\[U_1 = \partial_t \nonumber \]

\[U_2 = t\partial_t \nonumber \]

\[U_3 = y\partial_t \nonumber \]

Caso 2 con\(\xi = 0\): Supongamos\(\xi = 0\). ¿Para qué soluciones se pueden encontrar\(\eta\)? Ecuación\ ref {14.4.40} a la ecuación\ ref {14.4.43} simplificar.

\[\partial_{tt}\eta = 0 \nonumber \]

\[\partial_{yt}\eta = 0 \nonumber \]

\[\partial_{yy}\eta = 0 \nonumber \]

Hay tres posibles soluciones independientes para\(\eta\). Ellos son\(\eta = 1\),\(\eta = y\), y\(\eta = t\). Entonces, encontramos tres generadores infinitesimales más.

\[U_4 = \partial_y \nonumber \]

\[U_5 = y\partial_y \nonumber \]

\[U_6 = t\partial_y \nonumber \]

Caso 3 donde ambos\(\xi\) y\(\eta\) son distintos de cero: De la Ecuación\ ref {14.4.40}, podemos escribir

\[\eta = (c_1 + c_2t) b(y). \nonumber \]

Aquí,\(b\) es una función de sólo\(y\), no\(t\). Por lo tanto,

\[\partial_{yt}\eta = c_2\partial_y b(y) \nonumber \]

que no es una función de\(t\). De la Ecuación\ ref {14.4.43}, podemos escribir

\[\xi = (c_3 + c_4y) g(t). \nonumber \]

Aquí,\(g\) es una función de sólo\(t\), no\(y\). Por lo tanto,

\[\partial_{yt}\xi = c_4\partial_t g(t) \nonumber \]

que no es una función de\(y\). Ahora usa la Ecuación\ ref {14.4.41}.

\[2c_2\partial_y b(y) - (c_3 + c_4y) \partial_{tt}g = 0 \nonumber \]

El primer término no es una función de\(t\). Por lo tanto,\(\xi\) es a lo sumo cuadrático en\(t\). Entonces,\(\xi\) tiene la forma

\[\xi = (c_3 + c_4y) (c_5 + c_6t + c_7t^2). \nonumber \]

Distribuir la multiplicación.

\[\xi = c_3c_5 + c_3c_6t + c_3c_7t^2 + c_4c_5y + c_4c_6yt + c_4c_7yt^2 \nonumber \]

\[\partial_{yt}\xi = c_4c_6 + 2c_4c_7t \label{14.4.63} \]

A continuación, utilice la Ecuación\ ref {14.4.42}.

\[\partial_{yy}\eta = 2c_4\partial_t g = 0 \nonumber \]

El segundo término no es una función de\(y\). Por lo tanto,\(\eta\) es a lo sumo cuadrático en\(y\). Entonces,\(\eta\) tiene la forma

\[\eta = (c_1 + c_2t) (c_8 + c_9y + c_{10}y^2). \nonumber \]

Distribuir la multiplicación.

\[\eta = c_1c_8 + c_1c_9y + c_1c_{10}y^2 + c_2c_8t + c_2c_9yt + c_2c_{10}ty^2 \nonumber \]

\[\partial_{yt}\eta = c_2c_9 + 2c_2c_{10}y \label{14.4.67} \]

Ahora usa Ecuaciones\ ref {14.4.41} y\ ref {14.4.67}.

\[2 (c_2c_9 + 2c_2c_{10}y) - 2 (2c_3c_7 + 2yc_4c_7) = 0 \nonumber \]

\[(2c_2c_9 - 4c_3c_7) + y (4c_2c_{10} - 4c_4c_7) = 0 \nonumber \]

Terminamos con el par de ecuaciones

\[c_2c_9 = 2c_3c_7 \label{14.4.70} \]

\[c_2c_{10} = 2c_4c_7 \label{14.4.71} \]

Siguiente uso Ecuaciones\ ref {14.4.42} y\ ref {14.4.63}.

\[(2c_1c_{10} + 2tc_2c_{10}) - 2 (c_4c_6 + 2c_4c_7t) = 0 \nonumber \]

\[(2c_1c_{10} - 2c_4c_6) + t(2c_2c_{10} - 4c_4c_7) = 0 \nonumber \]

y terminamos con un par de ecuaciones.

\[c_1c_{10} = c_4c_6 \label{14.4.74} \]

\[c_2c_{10} = 2c_4c_7 \label{14.4.75} \]

Estas son la única solución posible de Ecuaciones\ ref {14.4.71} y\ ref {14.4.75}.

Finalmente, hay dos posibles soluciones que son independientes de las soluciones encontradas anteriormente. Podemos establecer los coeficientes de la Ecuación\ ref {14.4.74} a 1. La primera solución es\(\eta = y^2\) y\(\xi = yt\) corresponde a

\[U_7 = yt\partial_t + y^2\partial_y. \nonumber \]

Para la segunda solución, podemos establecer los coeficientes de la Ecuación\ ref {14.4.70} a 1. La segunda solución es\(\eta = yt\) y\(\xi = t^2\) corresponde a

\[U_8 = t^2 \partial_t + yt\partial_y. \nonumber \]

En este punto, hemos encontrado ocho generadores infinitesimales. Todos estos son generadores posibles de simetrías continuas regulares no geométricas.