14.5: Invariantes

Importancia de los invariantes

El teorema de Noether describe la relación entre simetrías continuas de una ecuación que describe un proceso de conversión de energía e invariantes del sistema. El teorema fue descubierto originalmente por Noether alrededor de 1918 [165] [166]. La importancia de este teorema se describe en la introducción a la traducción al inglés del artículo original [165]. “El conocido teorema de Emmy Noether juega un papel de fundamental importancia en muchas ramas de la física teórica. Debido a que proporciona una conexión directa entre las leyes de conservación de una teoría física y las invarianzas de la integral variacional cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones de esa teoría, puede decirse que el teorema de Noether ha colocado a la formulación lagrangiana en una posición de primacía. “

Teorema de Noether

Considere un proceso de conversión de energía con un Lagrangiano conocido que satisfaga una ecuación de Euler-Lagrange. Supongamos que hemos identificado simetrías continuas descritas por generadores infinitesimales. El teorema de Noether dice que existe una relación entre estas simetrías continuas y las leyes de conservación que dicen que cierta cantidad es invariante. Nos gustaría encontrar las leyes de conservación correspondientes e invariantes. Si podemos encontrar una cantidad\(G\) que satisfaga,

\[\frac{dG}{dt} = pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} + \mathcal{L}\frac{d\xi}{dt}, \label{14.5.1} \]

luego la cantidad

\[\Upsilon=\eta \frac{d \mathcal{L}}{d \dot{y}}+\xi \mathcal{L}-\xi \dot{y} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}-G \label{14.5.2} \]

es una invariante. Para Lagrangianos con unidades de julios, la cantidad\(G\) también tiene unidades julios. En la Ecuación\ ref {14.5.1},\(pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L}\) se encuentra la prolongación del generador infinitesimal que actúa sobre el Lagrangiano donde se definió la prolongación en la Ecuación 14.4.3.

Derivación del teorema de Noether

Podemos derivar esta forma del teorema de Noether, y esta derivación sigue de cerca la derivación clara y simplificada en referencia [192]. Este teorema se detalla y deriva más rigurosamente en múltiples otras referencias [163, p. 208] [164]. A los efectos de esta derivación, supongamos que comenzamos con una ecuación de movimiento que es a lo sumo una ecuación diferencial de segundo orden. Sin embargo, las ideas también generalizan a ecuaciones de orden superior. También, supongamos que conocemos el Lagrangiano correspondiente de la forma\(\mathcal{L} = \mathcal{L}(t, y, \dot{y})\). El enfoque general es asumir que podemos encontrar un valor de\(G\) definido por la Ecuación\ ref {14.5.1}. Realizaremos algún álgebra sobre la Ecuación\ ref {14.5.1} para mostrar que la elección de\(G\) necesariamente implica que\(\Upsilon\) es invariante.

Usa la definición de la prolongación para escribir la Ecuación\ ref {14.5.1} en términos de\(\xi\) y\(\eta\).

\[pr^{(\mathfrak{n})}U = \xi \partial_t + \eta \partial_y + \eta^t \partial_{\dot{y}} \nonumber \]

Para una ecuación diferencial de segundo orden, no se necesitan más términos porque el lagrangiano depende, como mucho, de la primera derivada\(\dot{y}\). Sustituir la prolongación que actúa sobre el Lagrangiano en la Ecuación\ ref {14.5.1}.

\[\frac{dG}{dt} = [ \xi \partial_t \mathcal{L} + \eta \partial_y \mathcal{L} + \eta^t \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}] + \frac{d\xi}{dt} \mathcal{L} \label{14.5.4} \]

Considere la transformación continua descrita por

\[t \rightarrow \tilde{t} = (1 + \varepsilon \xi + \varepsilon^2 \ldots) t \nonumber \]

y

\[y \rightarrow \tilde{y} = (1 + \varepsilon \eta + \varepsilon^2 \ldots) y \nonumber \]

en el límite\(\varepsilon \rightarrow 0\). El Lagrangiano\(\mathcal{L} (t, y, \dot{y}) \) de un proceso de conversión de energía representa la diferencia entre dos formas de energía. El lagrangiano\(\mathcal{L} (\tilde{t}, \tilde{y}, \dot{\tilde{y}}) \) representa la diferencia entre dos formas de energía sobre la transformación continua de simetría descrita por el generador infinitesimal\(U\). Cualitativamente, la cantidad\(\frac{dG}{dt}\) representa el cambio\(\mathcal{L} \frac{d\tilde{t}}{dt}\) con respecto a\(\varepsilon\) en este límite [192].

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial}{\partial \varepsilon} \left[\mathcal{L} (\tilde{t}, \tilde{y}, \dot{\tilde{y}} \frac{d\tilde{t}}{dt}\right] \nonumber \]

Utilice la Ecuación 14.4.4 para sustituir\(\eta^t\) en la Ecuación\ ref {14.5.4}.

\[\eta^{t}=\frac{d}{d t}(\eta-\xi \dot{y})+\xi \ddot{y} \nonumber \]

\[\eta^{t}=\dot{\eta}-\dot{\xi} \dot{y}-\xi \ddot{y}+\ddot{y}=\dot{\eta}-\dot{y} \dot{\xi} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}=\left[\xi \partial_{t} \mathcal{L}+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+(\dot{\eta}-\dot{y} \dot{\xi}) \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Queremos expresar el lado derecho como la derivada total de alguna cantidad, a la que llamamos\(G\). Con algo de álgebra, podemos escribir esto como una derivada total. Usaremos la definición de la derivada total.

\[\frac{d \mathcal{L}}{d t}=\partial_{t} \mathcal{L}+\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}+\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\partial_{t} \mathcal{L}=\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)=\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) \nonumber \]

\[\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}=\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) \nonumber \]

\[\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)=\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}+\xi \dot{y} \frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}=\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}-\xi \dot{y} \frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} \nonumber \]

Utilice estas piezas para reemplazar los términos de entre\(\frac{dG}{dt}\) paréntesis.

\[\frac{d G}{d t}= [\xi \partial_{t} \mathcal{L}] +\eta \partial_{y} \mathcal{L}+ [\dot{\eta} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}] - [\dot{y}\dot{\xi}\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}]+ \dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}= \xi\left[\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+\left[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] -\left[\dot{y} \dot{\xi} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

\[\frac{d G}{d t}= \xi\left[\dot{\mathcal{L}}-\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L}-\ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right]+\eta \partial_{y} \mathcal{L}+\left[\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] - \left[\frac{d}{dt} (\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) - \xi \ddot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} - \xi \dot{y} \frac{d}{dt} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right] +\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Dos términos cancelan.

\[\frac{d G}{d t} = \xi\dot{\mathcal{L}} - \xi\dot{y} \partial_{y} \mathcal{L} +\eta \partial_{y} \mathcal{L}+ \frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\eta \frac{d}{d t}\left(\partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right) - \frac{d}{dt} (\dot{\xi} \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) + \xi \dot{y} \frac{d}{dt} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L} +\dot{\xi} \mathcal{L} \nonumber \]

Términos de reagrupación.

\[\frac{d G}{d t}=\left(\partial_{y} \mathcal{L}-\frac{d}{d t} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)(\eta-\dot{y} \xi) +\left[(\xi \dot{\mathcal{L}}+\mathcal{L} \dot{\xi})+\frac{d}{d t}\left(\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)-\frac{d}{d t}\left(\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}\right)\right] \nonumber \]

El primer término entre paréntesis es cero porque el Lagrangiano\(\mathcal{L}\) satisface la ecuación de Euler-Lagrange.

\[\frac{dG}{dt} = \frac{d}{dt} (\xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L})) \nonumber \]

\[\frac{d}{dt}[\xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − G] = 0 \nonumber \]

Por lo tanto, si podemos encontrar\(G\), entonces la cantidad entre paréntesis\(\Upsilon\) debe ser invariante.

\[\Upsilon = \xi \mathcal{L} + (\eta \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − (\xi \dot{y} \partial_{\dot{y}} \mathcal{L}) − G = \text{invariant} \nonumber \]

Ejemplo de Invariantes de Ecuación de Línea

Apliquemos el teorema de Noether a algunos ejemplos. Primero, considere la ecuación lineal\(\ddot{y} = 0\) que resulta de la aplicación del cálculo de variaciones con Lagrangiano

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2. \nonumber \]

Una simetría continua de esta ecuación es descrita por el generador infinitesimal\(U = \partial_y\) con\(\xi = 0\) y\(\eta = 1\). La prolongación del generador que actúa sobre el Lagrangiano es cero.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} = \eta^t\dot{y} = \dot{y} \left(\frac{d\eta}{dt}\right) = 0 \nonumber \]

Usando la ecuación\ ref {14.5.1}, vemos eso\(G = 0\).

\[\frac{dG}{dt} = 0 + \mathcal{L} \cdot 0 = 0 \nonumber \]

A continuación usa la ecuación\ ref {14.5.2} para encontrar la invariante.

\[\Upsilon = \eta\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} = \dot{y} \nonumber \]

Cualitativamente,\(\dot{y}\) representa la pendiente de la línea, por lo que esta invariante nos dice que la pendiente de las soluciones a la ecuación lineal debe ser constante.

Otra simetría continua de esta ecuación es descrita por el generador infinitesimal\(U = t\partial_y\) con\(\xi = 0\) y\(\eta = t\). Podemos resolver para la prolongación del generador que actúa sobre el lagrangiano.

\[pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} = \eta^t\dot{y} = \dot{y} \left(\frac{d}{dt}(t − 0) + 0 \right) = \dot{y}\nonumber \]

Podemos encontrar\(G\) usando la Ecuación\ ref {14.5.1}, y podemos encontrar la invariante usando la Ecuación\ ref {14.5.2}.

\[\frac{dG}{dt} = \dot{y} + \frac{1}{2}\dot{y}^2 \cdot 0 = \dot{y} \nonumber \]

\[G = y \nonumber \]

\[\Upsilon = y - t\dot{y} \nonumber \]

Cualitativamente, esta invariante representa la intercepción y de la línea, por lo que esta invariante nos dice que la intercepción y de la solución a la ecuación lineal debe ser constante.

Ejemplo de Invariantes de Ecuación de Péndulo

Consideremos la ecuación que describe un péndulo, estudiada en Problema 11.8. El proceso de conversión de energía es descrito por el Lagrangiano

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mg \cos y \nonumber \]

que corresponde a la ecuación de movimiento

\[\ddot{y} = g \sin y. \nonumber \]

En estas ecuaciones\(m\) representa la masa, y\(g\) representa las constantes gravitacionales. Ambos\(m\) y\(g\) se suponen constantes aquí. Esta ecuación de movimiento tiene solo una simetría continua descrita por el generador infinitesimal (U =\ partial_t\) con\(\xi = 1\) y\(\eta = 0\). Podemos usar el teorema de Noether para encontrar la invariante correspondiente.

Usa la Ecuación\ ref {14.5.1} para encontrar\(G\).

\[\frac{dG}{dt} = pr^{(\mathfrak{n})}U\mathcal{L} + \mathcal{L} \frac{d\xi}{dt} \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \eta^tm\dot{y} + \eta mg \sin y + \mathcal{L} \frac{d\xi}{dt} \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \eta^tm\dot{y} = \dot{y}m \left(\frac{d}{dt} (\eta - \xi\dot{y}) + \xi\ddot{y} \right) \nonumber \]

\[\frac{dG}{dt} = \dot{y}m \left(-\frac{d\xi}{dt}\dot{y} - \xi\ddot{y} + \xi\ddot{y} \right) = 0 \nonumber \]

\[G = 0 \nonumber \]

Usa la ecuación\ ref {14.5.2} para encontrar la invariante.

\[\Upsilon = \eta\dot{y} + \xi \mathcal{L} - \xi m\dot{y}\dot{y} - 0 \nonumber \]

\[\Upsilon = \frac{1}{2} m\dot{y}^2 - mg \cos y - m\dot{y}^2 \nonumber \]

\[\Upsilon = \frac{-1}{2} m\dot{y}^2 - gm \cos y \nonumber \]

La cantidad\(\Upsilon\) se conserva, y es la hamiltoniana la que representa la energía total.

Siempre que el lagrangiano no dependa explícitamente de\(t\) ello, el sistema contiene la simetría continua descrita por el generador infinitesimal\(U = \partial_t\). Este generador infinitesimal tiene\(\xi = 1\) y\(\eta = 0\). De la Ecuación\ ref {14.5.1},\(G\) debe ser cero. De la ecuación\ ref {14.5.2}, la invariante correspondiente tiene la forma

\[\Upsilon = \mathcal{L} - m\dot{y}\dot{y} \nonumber \]

que tiene la magnitud de la energía total (asumiendo que t es tiempo). Esta ecuación es igual a la hamiltoniana de la Ec. 11.3.16. Por lo tanto, si una ecuación de movimiento contiene la simetría\(\partial_t\), se conserva la energía.