11.2.2: Formas Diferenciales

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Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ahora supongamos que\(E_i\) no depende de un parámetro externo, y\(E\) cambia en una pequeña cantidad\(dE\). Calcularemos a partir de las ecuaciones anteriores los cambios en las otras cantidades, manteniendo solo variaciones de primer orden (es decir, descuidando términos como\((dE)^2\) que, por lo suficientemente pequeños\(dE\), son insignificantemente pequeños)

\(\begin{align*} 0 &= \displaystyle \sum_{i} dp_i \tag{11.13} \\ dE &= \displaystyle \sum_{i} E_i dp_i \tag{11.14} \end{align*}\)

\ (\ begin {align*}
dS &=k_ {B}\ sum_ {i}\ ln\ Grande (\ frac {1} {p_ {i}}\ Grande) dp_ {i} +k_ {B}\ sum_ {i} p_ {i} d\ Grande [\ ln\ Grande (\ frac {1} {p_ {i}}\ Grande)\ Grande]\\
&=k_ {B}\ sum_ {i}\ ln\ Grande (\ frac {1} {p_ {i}}\ Grande) d p_ {i} -k_ {B}\ sum_ {i}\ Grande (\ frac {p_ {i}} {p_ {i}}\ Grande) d p_ {i}\\
&=k_ {B }\ sum_ {i} (\ alpha+\ beta E_ {i}) d p_ {i}\\
&=k_ {B}\ beta d E\ tag {11.15}\\
d\ alfa &=\ grande (\ frac {1} {k_ {B}}\ grande) d S-\ beta d E-E d\ beta\\ beta\
&=-E d\ beta\ etiqueta {11.16}\\
d p_ {i} &=p_ {i} (-d\ alfa-e_ {i} d\ beta)\\
&=-p_ {i } (E_ {i} -E) d\ beta\ etiqueta {11.17}
\ final {alinear*}\)

de la que no es difícil mostrar

\ (\ begin {align*}
d E &= -\ Grande (\ sum_ {i} p_ {i} (E_ {i} -E) ^ {2}\ Grande) d\ beta\ tag {11.18}\\
d S &= -k_ {B}\ beta\ Grande (\ sum_ {i} p_ {i} (E_ {i} -E) ^ {2}\ Grande) d\ beta\ tag {11.19}
\ end {align*}\)

Estas ecuaciones pueden ser utilizadas de varias maneras. Tenga en cuenta que todas las variaciones de primer orden se expresan en función de\(d\beta\) lo que es natural pensar en ellas\(\beta\) como la variable independiente. Pero esto no es necesario; estas ecuaciones siguen siendo válidas sin importar qué cambio provoque los otros cambios.

Como ejemplo de la perspicacia obtenida de estas ecuaciones, nótese que la fórmula relativa\(dE\) y\(d\beta\), Ecuación 11.18, implica que si\(E\)\(\beta\) sube entonces baja, y viceversa.