11.2.3: Formas Diferenciales con Parámetros Externos

Ahora queremos extender estas formas diferenciales al caso donde las cantidades de restricción dependen de parámetros externos. En nuestro ejemplo de dipolo magnético, la energía de cada estado depende del campo magnético aplicado externamente\(H\). Cada uno\(E_i\) podría escribirse en la forma\(E_i(H)\) para enfatizar esta dependencia. Así, la restricción podría escribirse para mostrar esta dependencia explícitamente:

\(E = \displaystyle \sum_{i} p_iE_i(H) \tag{11.20}\)

Entonces todas las cantidades (\(p_i, \alpha, \beta\), y\(S\)) pueden pensarse como dependiendo de ambos\(E\) y\(H\). En el caso de nuestro modelo de dipolo magnético, la energía\(E_i(H)\) pasa a ser proporcional a\(H\) con una constante de proporcionalidad que depende\(i\) pero no de\(H\). En otros modelos, para otros sistemas físicos,\(E\) podría depender de\(H\) u otros parámetros de diferentes maneras.

Considera lo que sucede si ambos\(E\) y\(H\) varían ligeramente, por cantidades\(dE\) y\(dH\), a partir de los valores utilizados para calcular\(p_i\)\(\alpha\),,\(\beta\), y\(S\). Habrá pequeños cambios\(dp_i\),,\(d\alpha\)\(d\beta\), y\(dS\) en aquellas cantidades que se puedan expresar en términos de los pequeños cambios\(dE\) y\(dH\). Los cambios debidos\(dE\) han sido calculados anteriormente. Los cambios debidos a\(dH\) entrar a través del cambio en las energías asociadas a cada estado,\(dE_i(H)\) (fórmulas como las siguientes podrían derivarse para cambios causados por cualquier parámetro externo, no solo el campo magnético).

\ (\ begin {align*}
0 &=\ suma_ {i} d p_ {i}\ tag {11.21}\\
d E &=\ suma_ {i} E_ {i} (H) d p_ {i} +\ suma_ {i} p_ {i} d E_ {i} (H)\ tag {11.22}\\
d S &=k_ {B}\ beta d e-K_ {B}\ beta\ suma_ {i} p_ {i} d E_ {i} (H)\ tag {11.23}\\
d\ alfa &=-E d\ beta-\ beta\ suma_ {i} p_ {i} d E_ {i} (H)\ tag {11.24}\\
d p_ {i} &=-p_ {i} (E_ {i} (H) -E) d\ beta-p_ {i}\ beta d E_ {i} (H) +p_ {i}\ beta\ sum_ {j} p_ {j} d E_ {j} (H)\ tag {11.25}\\
d E &=-\ izquierda [\ suma_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha] d\ beta+\ suma_ {i} p_ {i}\ izquierda (1-\ beta\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha)\ derecha) d E_ {i} (H)\ tag {11.26}\
d S &=-k_ {B}\ beta\ izquierda [\ sum_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha] d\ beta-k_ {B}\ beta^ {2}\ sum_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i}\ izquierda (E_ {i}\ izquierda (E_ _ {i} (H) -E\ derecha) d E_ {i} (H)\ tag {11.27}
\ final {alinear*}\)

Para el modelo particular de dipolo magnético considerado aquí, los términos que implican\(dE_i(H)\) pueden simplificarse señalando que la energía de cada estado\(E_i(H)\) es proporcional al parámetro\(H\) y por lo tanto

\(\begin{align*} dE_i(H) &= \Big(\dfrac{E_i(H)}{H}\Big) dH \tag{11.28} \\ \displaystyle \sum_{i} p_idE_i(H) &= \Big(\dfrac{E}{H}\Big)dH \tag{11.29} \end{align*} \)

por lo que estas fórmulas simplifican a

\ [\ begin {align*}
0 &=\ suma_ {i} d p_ {i}\ tag {11.30}\\
d E &=\ suma_ {i} E_ {i} (H) d p_ {i} +\ izquierda (\ frac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {11.31}\\
d S &=k_ {B}\ beta E-\ izquierda (\ frac {k_ {B}\ beta E} {H}\ derecha) d H\ tag {11.32}\\
d\ alfa &=-E d\ beta-\ izquierda (\ frac { \ beta E} {H}\ derecha) d H\ tag {11.33}\\
d p_ {i} &=-p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) (d\ beta+\ izquierda (\ frac {\ beta} {H}\ derecha) d H)\ etiqueta {11.34}\\
d E &=-\ izquierda [\ sum_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha] (d\ beta+\ izquierda (\ frac {\ beta} {H}\ derecha) d H) +\ izquierda (\ frac {E} {H}\ derecha) d H\ tag {11.35 }\\
d S &=-k_ {B}\ beta\ izquierda [\ sum_ {i} p_ {i}\ izquierda (E_ {i} (H) -E\ derecha) ^ {2}\ derecha] (d\ beta+\ izquierda (\ frac {\ beta} {H}\ derecha) d H)\ tag {11.36}
\ end {align*}\ nonumber\]

Estas fórmulas pueden ser utilizadas para relacionar las tendencias en las variables. Por ejemplo, la última fórmula muestra que un cambio de uno por ciento en\(\beta\) produce el mismo cambio en la entropía que un cambio del uno por ciento en\(H\).