12.3.1: Relaciones dinámicas
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El modelo dinámico que rige el movimiento de la aeronave se basa en dos teoremas fundamentales de la mecánica clásica: el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del impulso cinético:
El teorema de la cantidad de movimiento establece que:
\[\vec{F} = \dfrac{d(m \vec{V})}{dt},\label{eq12.3.1.1}\]
donde\(\vec{F}\) es el resultado de las fuerzas externas,\(\vec{V}\) es la velocidad absoluta de la aeronave (respecto a un marco de referencia inercial),\(m\) es la masa de la aeronave, y\(t\) es el tiempo.
Para una aeronave convencional sostiene que la variación de su masa con respecto al tiempo es suficientemente lenta para que se pueda descuidar el término\(\dot{m} \vec{V}\) Ecuación (\(\ref{eq12.3.1.1}\)).
El teorema del impulso cinemático establece que:
\[\vec{G} = \dfrac{d\vec{h}}{dt},\]
\[\vec{h} = I \vec{\omega},\]
donde\(\vec{G}\) es el resultado del impulso externo alrededor del centro de gravedad de la aeronave,\(\vec{h}\) es el momento cinemático absoluto de la aeronave,\(I\) es el tensor de inercia, y\(\vec{\omega}\) es la velocidad angular absoluta de la aeronave.
El tensor de inercia se define como:
\[I = \begin{bmatrix} I_x & -I_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{xy} & I_y & -J_{yz} \\ -J_{xz} & -J_{yz} & I_z \end{bmatrix}.\]
donde\(I_x , I_y, I_z\) están los momentos inerciales alrededor de los tres ejes del sistema de referencia, y\(J_{xy}, J_{xz}, J_{yz}\) son los productos de inercia correspondientes.
Las ecuaciones resultantes de ambos teoremas pueden proyectarse en cualquier sistema de referencia. En particular, proyectarlos en un marco de referencia de ejes de cuerpo (también a un marco de referencia de ejes de viento) tiene importantes ventajas.
Dado un marco de referencia inercial denotado por\(F_0\) y un marco de referencia no inercial\(F_1\) cuya velocidad angular relacionada viene dada por\(\vec{\omega}_{01}\), y dado también un vector genérico\(\vec{A}\), contiene:
\[\{ \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} \}_1 = \{ \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} \}_0 + \vec{\omega}_{01} \wedge \vec{A}_1\]
Los tres componentes expresados en un marco de referencia de ejes del cuerpo de la fuerza total, el momento total, la velocidad absoluta y la velocidad angular absoluta se denotan por:
\[\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)^T,\]
\[\vec{G} = (L, M, N)^T,\]
\[\vec{V} = (u, v, w)^T,\]
\[\vec{\omega} = (p, q, r)^T.\]
Por lo tanto, las ecuaciones que rigen el movimiento de la aeronave son:
\[F_x = m(\dot{u} - rv + qw),\label{eq12.3.1.10}\]
\[F_y = m(\dot{v} + ru - pw),\label{eq12.3.1.11}\]
\[F_z = m(\dot{w} - qu + pv),\label{eq12.3.1.12}\]
\[L = I_x \dot{p} - J_{xz} \dot{r} + (I_z - I_y) qr - J_{xz} pq,\label{eq12.3.1.13}\]
\[M = I_y \dot{q} - (I_z - I_x) pr - J_{xz} (p^2 - r^2),\label{eq12.3.1.14}\]
\[N = I_z \dot{r} - J_{xz} \dot{p} + (I_x - I_y) pq - J_{xz} qr,\label{eq12.3.1.15}\]
Sistema (\(\ref{eq12.3.1.10}\)-\(\ref{eq12.3.1.15}\)) se conoce como ecuaciones de Euler del movimiento de una aeronave.